一类迭代函数性质进一步探究

一类迭代函数性质的进一

(浙江省杭州学军中学,数列an}为递增数列,且1=a2-1题目fx)=x2+a

an+1- f1(x)=f(x)fn(x)=f(fn-1(x))(n=2,3,⋯)

an-11

an+12 1

a+1

a

·a 证明M

-2

.[14

当|x|=2(2006,高中数赛

n(x)=1(n=1,2 )此题是一道函数迭代问题,实质是在 an= 定有界集内,求参数a的取值范围问题.与.为此提出如下的问题:fx)=x2+a

当|x|<1时,an22f1(x)=f(x)fn(x)=f(fn-1(x))(n=2,3,⋯)

n

an=12S={fn(x)|n=1,2,是否有界?何时有界

当|x|>12an+1≥an≥⋯≥a1>12 an+1-an=a2-an+nan=fnx),an+1=a2+a,na0=x以下分六种情形研究(限于篇幅,

an

1222≥a1- 122212122≥a1+(n- a1 1作较为详细地论述a=141

故liman=+n 当|x|=fn(x)=S fx)=x2+4 界12 当|x|<1时,x2+1≤fnx)<1,S有界124an+1=an an + an 41收稿日期:2007-06- 修回日期:2007-09-

当|x|

时,limfn(x)=+∞,S na>4

,n

fn(x)=+∞,S

会出现类似Cantor集的结构),则当|x|>1(1 1-4a)时0≤a<1,41

n

fn(x)=+∞,S2x=2

(1 1-4a

当|x

≤1(1+ 1-4a),有如下的2fn(x)=1(1+ 1-4a)S有界;当|x|>1(1 1-4a)时

引理引理fn(x)=-1(1 1-4a)有2 fnx)>1(1+ 1-4a)limfn(x) n -1(1 1-4a),

1-41-4+∞, 11-

1-4a)<|x|<

(1 的不同根.fn(x)=1(1 1-4a)有2n 1 1-4

属 21-4a2有界±当x= 1±

(1

<fn(x)≤x2+a,1-4a)时fn(x)

-1(1 1-4a),1(1 1-4 的不同根由引理可得命题1(1 1-4a),S有界 命题 设

={x|fn(x)

-1(12当|x|<2

(1 1-4a)时,x2+a 1-4a),1(1 1-42

},fnx)<1(1 1-4a),S有界2a=-2当|x|≤2时,|fnx|≤2S有界

fn+1(x)=1(1 1-422n1个不同的根1当|x|>2时,n

fn(x)=+∞,S

-2(1 1-4a)=x1<x2<1注:a=-2fn(x,2cos2n,2

|

≤2

<x2n+1=2(1 1-4a)2Fn=∪[x2k1x2k],k= 2 2 2x+ 2

+x-

,|x|

fn(x)=1(1 1-4a)2-2<a0,当|x|≤1(1 1-4a)时

证明:n01-4F={x|f(x)∈-1(1 1-4a)1(1-4 ,1-4a≤fn(x)≤1(1 1-4a),S有界 -1(1 1-4a)1(11-42当|x|>1(1 1-4a)时

,满足条件n

fn(x)=+∞,S

设n时命题成立,fn+2(x)=1(1 1-4a)若a<-2(情况变得比较复杂,甚 即fn+1(x)=1(1 1-42或fn+1(x)=-1(1 1-4a)2

,y2k1y2k的构造方法x∈x2k-1x2kx∈y2k-1y2k时因此fn2x)=2

(1 1-4a2n1

fn+1(x)≥-1(1 1-4a)2x∈y2k-1y2k个根实质为fn1(x)=

1+ 1-4a)

fn+1(x)<-1(1 1-4a)2n+1个根x<x<⋯<xn+1与fn+1(x) n+

又Fn1ΑFn,-2(1 1-4a)的 个根y1<y2< 2<yn+1之并 f( 2(1 1-4a)2下面证明yi2n个区间[x2k1x2kk1,2,⋯,2n中的不妨取[x2k1x2k],fn(x2k)=-1(1 1-4a)

于是,fn+1(x)≤1(1 1-4a)22综上Fn1=∪(x2k1y2k-1∪y2kx2k]k=命题 {x|数列{fn(x)}有界}fn(

)2k-

1(12

1-4a)

+∩Fnn=证明显然x|数列f

(x有界}由介值定理可知,t0∈x2k1x2k)n

∩Fn+使得f(t0)=0.因此 n=++fn+1( 1

xFn,n0∈N+,t0=a<-21 1-4a

n=1n1|f0(x)|>2(1 1-4a) (n+ )=fn+1( (2 2k- 由(4可知lim

(x)=+=1(1 1-42

nx|数列f

(x

+ΑΑn=>-1(1 1-4a)2

x|数列f

(

+}有界}=Fnn=再次应用连续函数介值定理可知,

+11y2k-1∈x2k-1t0y2k∈t0x2k),

n=≤n( ( (2k-

)=

1(12

1-4a)

-2(1 1-4 11fn+1(y2k)=21

(1

1-4a)

≤(1 1-4a)2S有界1-4|≤1(1 1-4fn+1(x)= (1 1-4 当| 时,

xn=2n+1y1