2021年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第 0讲 抛物线

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,4acb2)处取得最|值；4a抛物线的解析式有以下三种形式：yax2bxc；ya(xh)2k；2③交点式：ya(xx)(xx) ,这里x、x是方程ax2bxc0的两个实根．21 2 1确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应积极捕捉、创造对称关系,以便从整体上把握问题,由抛物线捕捉对称信息的方式有：从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；从抛物线的对称轴方程与抛物线被x轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】二次函数yx2bxc的图象如下图,那么函数值y0时,对应x的取值范围是 ．思路点拨由图象知抛物线顶点坐标(一1一4)可求出b ,c值,先求出y0时对应x的值．公众号：惟微小筑【例2】抛物线yx2bxc(a<0)经过点(一1,0),且满足4a2bc0．以下结论：①ab0ac0abc0b22ac5a2()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路点拨由条件大致确定抛物线的位置,a、b、c标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．】如图有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN＝4分米抛物线顶点处到边MN的4分米要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点C落在边MN上,AD落在抛物线上问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8?思路点拨恰当建立直角坐标系,易得出MN及抛物线顶点坐标,式,设A(x,y),x的方程,矩形铁皮的周长能否等于8分米x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注：把一个生产、生活中的实际问题转化,成数学问题,需要观察分析、建模,建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法,同一问题有不同的建模方式,通过分析比拟可获得简解．y1x23xm2x轴交于A(A在点B左边),y2 2轴交于C点且∠ACB＝90°．(1)(2)y轴不重合,与△ABC两边相交的直线使截得的三角形与△ABC相似,1,(注：设4计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A、、C三点坐标可用m的代数式表示利用相似三角形性质建立含m方程；(2)通过特殊点构造相似三角形根本图形确定设计方案．公众号：惟微小筑注：解函数与几何结合的综合题,善于求点的坐标,进而求出函数解析式是解题的根底；而充分发挥形的因素,数形互助,把证明与计算相结合是解题的关键．【例】 函数y(a2)x22(a21)x1,其中自变量x为正整数,a也是正整数,求x何值时,函数值最|小．思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式 ,其对称轴为x

a21(a2 3 ,因0 3

1 ,a2

a2 a2a21a1,故函数的最|小值只可能在x取a2 ,a2 ,a21时到a2

a2

a2达．所以,解决本例的关键在于分类讨论．学历训练如图,假设抛物线yax2与四条直线x1、x2、y1、y2所围成的正方形有公共点,那么a的取值范围是 ．yax2bxcx轴的正半轴交于A,B,y轴交于C,且线段AB的长为1,△ABC的面积为1那么b的值为 ．如图抛物线的对称轴是直线x1 ,它与x轴交于B两点与y轴交于点C,点AC的坐标分别为(-l,0)、(0,32

),那么(1)抛物线对应的函数解析式为 假设点P为此抛物线上位于x轴上方的一个动点那么△ABP面积的大值为 ．yax2bxc的图象如下图,且OA＝OC,那么由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的式子①4acb21 ,②acb10 ,③abc0 ,④abc0 ,>0,4a其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填1 2 5．a1,点(a1,y),(a ,y ),(a1,y)都在函数yx2的图象上,那1 2 A．y yy B．y yy C．y yy D．y yy1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3把抛物线yx2bxc的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位所得图象的解析式为yx23x5,那么( )公众号：惟微小筑A．b3,c7 B．b9 ,cC．b3,c＝3 D．b9 ,c21二次函数yax2bxc的图象如下图,那么(ab ,ac)所在的直角坐标系( A．一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限周长是4m的矩形它的面积与一边长x(m)的函数图象大致( )答复以下问题："：二次函数yax2bxc的图象经过点A(0,a),B(1,-2) ,求证：这个次函数图象的对称轴是直线x2．题目中的横线局部是一段被墨水污染了无法识别的文字．根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的解析式?假设能,,说明理由．请你根据已有信息,在原题中的横线上填加一个适当的条件,把原题补充完整．10．如图4米处跳起投篮球运行的路线是抛物线距离为米时,大高度米心到地面的距离为米．,求抛物线的解析式；1.8米在这次跳投中球在头顶上方米处出手问：球出手时?如图抛物线和直线ykx4k (k0)与x轴y轴都相交于AB两点抛物线的对称轴x1与x轴相交于C点,且∠ABC＝90°求抛物线的解析式．抛物线yax2bxc与x轴交于AB两点与y轴交于点C假设△ABC是直角三角形,那么ac ．公众号：惟微小筑如图,直线y2x3与抛物线yx2相交于AB两点,O为坐标原点那么△OAB的面积等于 ．二次函数yax2bxc ,一次函数yk(xk2．假设它们的图象对于任意的实数4是都只有一个公共点,那么二次函数的解析式为 ．如图yax2bxc与两坐标轴的交点分别是A,B,E,且△ABE是等腰直角三角形,AE＝BE,那么以下关系式中不能总成立的( )ADCA．b=0 B．S ＝c2 C．ac＝一1 D．a+c＝ADC,yx2bxc的图象过点(1,0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x2对称根据现有信息题中的二次函数不具有的性质( )A．过(3,0) B．顶点(2,一2)C．在x轴上截得的线段长为2 D．与y轴的交点(0,3)1 ,2002),B(x,2002)是二次函数yax2bx5 (a0)的图象上两xxx 时1 1 2次函数的值( )A．2ba

5 B．b25 C．2002 D．54a1000吨()()(如图1所示))销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．假设生产出的产品都能在当年销售完,问年产量是多少吨时,所获毛利润最|大?(毛利润＝销售额一费用)．,y2x22x轴交于AB两点点A在点By轴交于点Cx轴交于点D．求A、C三点的坐标；在直线x＝m(m>1)上有一点P(点P),使得以P、B为顶点的三角形与、O,求P用含m)；在(2)y2x22上是否存在一点Q使得四边形ABPQ为公众号：惟微小筑平行四边形?如果存在这样的点Q,请求出m的值；如果不存在,请简要说明理由．二次函数yx2x2及实数a,(1)函数在一2<x≤a的|小值；(2)函数在a≤x≤a+2的最|小值．如图在直角坐标：xOy中,二次函数图象的顶点坐标为C(4, 3),且在x轴上截的线段AB的长为6．求二次函数的解析式；y轴上求作一点P使PA+PC最并求P点坐标；x轴的上方的抛物线上,Q,AB三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,求出Q点的坐标；如果不存在,请说明理由．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2xa变化时1发现当实数a变化时,假设把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少a ,纵坐标增加,得1 1到A点的坐标；假设把顶点的横坐标增加a ,纵坐标增加a ,得到B点的坐标,那么AB两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下,运用"一般--特殊-一般〞的思想,你还能发现什么?你能用