应用多元统计-第三章

制作者-1应用多元统计分析第三章多元正态总体参数的假设检验主讲人：§

3

.

1§

3

.

2§

3

.

3§

3

.

4§

3

.

5§

3

.

6几个重要统计量的分布单总体均值向量的检验及置信域多总体均值向量的检验协差阵的检验独立性检验正态性检验第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1

几个重要统计量的分布一、正态变量二次型的分布1.分量独立的n维随机向量X的二次型设

Xi

~N(

i

,

2) (i=

1,…

,n

),

且相互独立，记

X

=

(

X1

,

…

,

Xn

)则X

~Nn

(

,2In

),其中

=(

1

,…,

n

)结论1i当

=

0

(

i=

1,

…

,2n

),

1

时,

则2X当

i

=

0

(

i=

1,

…

,

n

),

2

=

1

时,

则n2i~

(n)i

1

X

X

2

2niX

~

(n)

2

2i

1

1

X

X

1

结论2当

i

0

(

i=

1,

…

,

n

)时,

XX

的分布常称为非中心的2分布.2P

(

2

(n

2

j

)

t

)P

(

X

X

t

)

e

j

0其中

jj!定义

3.1.1非中心参数2的

分布，记为2XX

~

(n,

)或XX

~

(

)

.n2设n维随机向量X

~Nn

(

,In

)(

0),则称随

量

=

XX

服从

度为n

、ni

12i

设n维随机向量X

~Nn

(

,2In

),

0,且2

1

,

令

Yi

=

Xi

/则.1

ni

12i

2

1

2其中

21

2nX

X

~

(

)Y

Y

注:结论3设X

~Nn

(0n

,

2In

)

,

A=A,

且rank(A)

=

r

,则

二次型XAX

/2

~

2(r)

A2

=

A证明:令

Y=

X

~Nn

(0n

,

2In

)

,

则

X=

Y

必要性：因为A=A

,所以存在正交阵

使

A

=

diag(1

,

…

,

r

,0

,

…

,

0)

A

=

diag(1

,

…

,

r

,0

,

…

,

0

)Y=

X

~Nn

(0n

,

2In

)

,

X=

Y则222

2

ni

1i

i

Y

/

X

AX

/

Y

AY

/

且Y1,…,Yr

相互独立同N(0,2)分布.故而Yi2

/2

~

2(1)(i=1,…,r

),且相互独立.的特征函数为22ni

1i

i

Y

/

(1-2i1

t)-1/2

•

(1-2i2

t)

-1/2

•

···(1-2ir

t)

-1/22

2

必要性：

A

=diag(1

,…,r

,0,…,0)ni

iY

/

~

2

(r

)i

1又已知

X

AX

/

2

(1-2it)-r

/2故

的特征函数为所以[(1-2i1

t)

(1-2i2

t)···(1-2ir

t)]1/2

=

(1-2i

t)

r

/2从而1

=

…

=

r

=

1diag(1

,

…

,

1

,0

,

…

,

0

)=

A

=

A

•

A

=

A2故

A2

=

A

充分性：因为

A为对称幂等矩阵,

所以存在正交阵

使

Ir

O

O O

A

riYO

O

I

r

O

Y

i

1222

211

1Y

AY

YX

AX

1

2令

Y

=

X

(

即X

=

Y

)则

Y

~Nn

(0n

,

2

In

)

=

Nn

(0n

,

2In

)Y

riYO

O

Ir

O

Y

i

12222111X

AX

Y

AY

1

2因为Y1,…,Yr

相互独立同N

(0,2)分布所以12Y

2ri~

2

(r

)1

2i

1X

AX

结论4设

X

~Nn

(

,

2In

)

,

A

=

A

,

则1/2

X·

AX

~

2(

r

,

)其中

=

1/2

·

A

A2

=

A且

rank(A)=

r

(

r

n

)

.en2it1

2

itn

(

)的特征函数为2

(t

)

(1

2it

)结论

5

二次型与线性函数的独立性:设X

~Nn(

,

2In)

,

A为n阶对称矩阵,

B为mn

矩阵,

令

=

X

AX

,

Z

=

BX(Z为m维随机向量)BX

和X

AX

相互独立

BA

=O

.必要性证明不要求证明:

只证充分性不妨设rank(A)=r

>0

(当r

=0时,A

=O)因A为对称矩阵,所以存在正交阵

使

0

r

r

O O

A

DrO

,

D

0

1O其中1

,

…

,

r

是A的非零特征值.

r

r

O

O

A

Dr

00

O

,1D

O其中1

,

…

,

r

是A的非零特征值.因为其中B为mn矩阵,C1为mr矩阵,C2为m(n-r)矩阵,故C1

Dr=O,

又Dr

可逆

,故C1

=O.rr

O

O

ODO

C C

D

O

CD

OOBA

B1 2

O1

r令

Y=

X

,

即

X=

Y则

Y

~Nn

(

,

2

In

)即Y1,…,

Yn

相互独立,

因由于Y1,…,Yr与Yr+1,…,Yn

相互独立,故X

AX

与BX相互独立.而r2

iYii

1

X

AX

Y

AY

Y

Dr

O

Y

O O

Y

Yn

Y

n

Yr

1

22BX

B

Y

C

1

C

M1

C

M

结论

6

两个二次型相互独立的条件:设X

~Nn(

,2In),A,B为n阶对称矩阵,则AB

=O

X

BX

与X

AX

相互独立.充分性证明同上必要性证明不要求2.一般p

维正态随机向量的二次型结论1设X

~Np

(

,

),

>O

,则X

-1X~2(p

,

)其中

=

-1证明:

因

>

O

,

则

=

C

C

(

C为p

阶可逆矩阵)令

Y

=

C

-1X

,

即

X

=CY则

Y

~N

-1

-1

-1p

(C

,

C

(C

)

)其中

=

(C

-1

)

C

-1

=

-1证明:因

>O

,则

=C

C

(C为p

阶可逆矩阵)令

Y

=

C

-1X

,

即

X

=CY则

Y

~N

-1

-1

-1p

(C

,

C

(C

)

)因

=

C

C

,

所以

Y

~N

(C

-1

,

I

),

且有p

pX

-1X

=

Y

C

-1C

Y

=

Y

Y

~2(

p

,

)结论2设X

~Np

(

,

),

>O

,A=A

,rank(A)

=

r

,则(X-

)A

(X-

)~

2(r)

A

A

=A证明:

因

>

O

,

则rank(

)

=

p

,且存在正交阵

和i

(

i

=1,

…

,

p

)

,

使得

=

1/2

.

1/2其中

1

/

2

diag(

,

L

,

)

1

p

p

)

1/

2

diag(

1

,

L

,

p

1111/

2

diag

,

L

,记令

Y

=

-1/2

(X-

)

~

Np

(

0p

,

Ip

)这里

D(Y

)

=

-1/2

(

-1/2

)

=

Ip(X-

)A

(X-

)

=

Y

1/2

A

1/2

Y

=^=^

Y

CY由1.结论3

知二次型Y

CY

~

2(p)

C

2

=C即

½

A

½

½

A

½

=

½

A

½

A

A

=A结论3设X

~Np

(

,

),

>O

,A和B为p阶对称矩阵,则

(X-

)A

(X-

)

与(X-

)B

(X-

)

独立

A

B

=

Opp证明:

因

>

O

,

则rank(

)

=

p

,且存在正交阵

和i

(

i

=1,

…

,

p

)

,

使得

=

1/2

.

1/2其中

1

/

2

diag(

,

L

,

)

1

p

1/

2

diag(

1

,

L

,

p

)

p

111

1/

2

diag

,

L

,记令

Y

=

-1/2

(X-

)

~

Np

(

0p

,

Ip

)这里

D(Y

)

=

-1/2

(

-1/2

)

=

Ip(X-

)A

(X-

)

=

Y

1/2

A

1/2

Y

=^=^

Y

CY(X-

)B

(X-

)

=

Y

1/2

B

1/2

Y

=^=^

Y

DY即

½

A

½

½

B

½

=O

A

B

=

O

A

B

=

O由1.结论6

知Y

CY

与Y

DY

相互独立

CD

=O3.非中心t

分布和非中心F

分布定义

3.1.2设X

~N(

,1)与Y

~

2(n)相互独立,令则称T

服从度为n

、非中心参数为

的非中心t

分布，记为T

~

t

(n,

).YX

nT

定义

3.1.3设X

~

2

(m,

)与Y

~

2(n)相互独立,令则称T

服从度为n

、非中心参数为

的非中心F分布，记为F

~

F

(m,n,

).Y

/

nX

/

mF

4.非中心2分布,非中心t分布和非中心F

分布的应用一元统计中，在一个正态总体N(

,

2)的均值检验中，检验H0

:

=

0时，检验统计量为S

/

n2X

0T

否定域为{|T>}，其中

满足P{|T>}=(显著性水平).当否定H0时，可能犯第一类错误，且

}

1S

2

/

nP{1

1

0X

（

）第一类错误的概率

P“{

以真当假”}

P{T

0

}

显著性水平当H0相容时，可能犯第二类错误，且第二类错误的概率

P“{

以假当真”}

P{

T

0

}设1

0此时检验统计量T

~

t

(n,

)(非中心参数

n(1

0

)/）此时检验统计量T

~

t

(n,

),(非中心参数

n(1

0

)/）利用非中心t分布可以计算第二类错误

的值。类似地，利用非中心2和非中心F分布在一元统计相应的检验中，可以计算第二类错误

的值。二、威沙特(Wishart)分布1.威沙特分布的定义设X()(

=1,…,n

)为来自总体Np(0,

)的随机样本,记X

=(X(1)

,…,X(n))为np样本数据阵,考虑随机阵n

X

XW

X

(

)

X

(

)

1的分布?当p

=1时,X()~

N

(0,

2),此时W=

X2

+

…

+X2

~

22

(n)(1)

(n)即

W1(n,

2)

就是

22

(n)

.定义

3.1.4设X()~

Np(0,

)(

=1,…,n

)相互独立,记X

=(X(1)

,…,X(n))为np

矩阵,则称随机阵的分布为威沙特分布,记为W

~

Wp(n,

).n

X

X

1W

X

(

)

X

(

)注:①当p

=1时,X()~

N

(0,

2),此时W=

X2

+

…

+X2

~

22

(n)(1)

(n)即W1(n,

2)就是

22

(n)②当p

=1,

2

=1时,W1(n,1)就是2

(n).定义

3.1.4

则称随机阵W=XX服从非中心参数为的非中心威沙特分布,记为W

~

Wp(n,

,),其中

=

MM=

(1n

)

1n

=

1n1n

=

n

n

1

p

LM

1

M

M设X()~

Np(

,

)(

=1,…,n

)相互独立,记

X

=

(X(1)

,

…

,

X(n)

)

为np

矩阵,L

1

p

定义

3.1.4

设X()~

Np(

,

)(

=1,…,n

)相互独立,记

X

=

(X(1)

,

…

,

X(n)

)

为np

矩阵,则称随机阵W

=XX

服从非中心参数为的非中心威沙特分布,记为W

~

Wp(n,

,),其中n

1

M

M

n

1

n

1L

np

11

1

p

M

,

M

M

M

L注:非中心参数这里其中p为随机阵W的阶数,n为

当X()~

Np(

,

)(

=1,…,n

)相互独立时,nn

度.LM

MM

ML

1

n

1np

11

1

p

M

M

1随机阵W的概率密度是威沙特于1928年推导出来的，当n

>

p时

W

~

Wp(n,

)的概率密度为其他0(

)2,

W

OW

exp{12tr

(1W

)}f

(W

)

pi

1

n

i

1n

/

2n

p12

2np

/

2

p(

p1)

/

4

2.威沙特(Wishart)分布的性质性质1设X()~

Np(

,

)(

=1,…,n

)相互独立,则样本离差阵A服从威沙特分布,即n

A

(

X

(

)

X

)(

X

(

)

X

)

~

W

p

(

n

1,

)

1由定义3.1.4可知,A

~

Wp(n-1,

)

.n

1证明:

根据定理2.5.2知,A

Z

Z

1而Z

~

Np(0,

)(

=1,…,n-1)相互独立,性质2

关于度的可加性设Wi

~

Wp(ni

,)(i=1,…,n

)相互独立,则n

n

Wi

~

W

p

(n,

),其中n

nii

1

i

1证明:

只需证明n

=

2.

即设Wi

~

Wp(ni

,)(i=1,2)相互独立,则W1

+

W2

~

Wp(n1

+

n2,

)n2i

n1

1dn1d根据定义3.1.4知,W

1

X

(

)

X

(

)i

1,

W

2

X

(

)

X

(

)其中X()~

Np(

,

)(

=1,…,n1+n2)相互独立,又根据定义3.1.4知,d~

Wp

(n1

n2,

)n1n2W1

W2

X()

X()i1性质3设p阶随机阵W~

Wp(n

,

),C是mp常数矩阵,则m阶随机阵CWC

也服从威沙特分布,即CWC

~

Wm(n

,

C

C

)d

ni

1证明:

根据定义3.1.4知,W

Z

Z

p其中Z

~

N

(0,

)

(

=

1,

…

,

n)

相互独立.dn

n令Y

=

CZ

,

则Y

~

Nm(0

,

C

C

)

.

故

YY

CZ

ZC

CWC

~

Wm

(n,

CC

)i

1

i

1注:

W~

Wp(n

,

)(

>0,为常数)(2)

设l

=(l1,

…

,

lp) ,

则lWl=

~

W1(n

,l

l

),即

~22

(n)(其中

2

=l

l

).性质4

分块威沙特矩阵的分布设

X()

~

Np(0

,

)

(

=

1,

…

,

n

)相互独立,

其中又已知随机阵(2)

当12=O时,W11与W22相互独立.

21 22

11

12

~

W

(n,

)rpW

p

rW12

(

)

(

)

W

21 22

W11X

则(1)

W11~

Wr(n

,

11

)

,

W22~

Wp

-

r

(n

,

22

)

;nW

X

1性质5-1设

W~

Wp(n,

)

,

记W22.1

=

W22

-

W21W11

W12

,W22.1

~

Wp

-

r

(n-r,

22.1

)22.1则其中

=

-

-122

21

11

1222.111,

且W

与W

相互独立.证明:

取(p-r)p

常数矩阵121121

11121121

1121

11221122111C

W

W

21 22

21 22

111 12

p

rp

r

p

rp

r

IICC

11 12

WI

WWp

r

WWWW1

W

W

I则CWC

I根据性质3知,CWC

=

W22.1

~

Wp

-

r

(n-r,

22.1

)性质6设随机阵W~

Wp(n,

)

,

则

E(W)

=

n

。证明:d

n

X

X

1W

X

(

)

X

(

)n

n

1

1其中X

~

Np(0,

)(

=1,…,n)相互独立.因此E

(W

)

E

(

X

(

)

X

(

)

)

E

(

X

(

)

X

(

)

)

n性质7设X

~

Nnp

(M,

In

)

,

A为n阶对称矩阵

,

则XAX

~

Wp(r,

,

)，其中

=

MAM

A2

=A,

且rank(A)

=

r

.注:这是一元统计中n维观测向量X的二次型分布在p维情况下的推广.性质8设X

~

Nnp

(M,

In

)

,

A和B均为n阶对称幂等矩阵

,

则XAX与XBX

相互独立

AB

=O

。注:这是一元统计中(p=1)n维观测向量X的两个二次型相互独立的条件在p维情况下的推广.~

t

(n

)X

/

n下面把t

2

=nX2/

=nX

-1

X的分布推广到p元总体.相互独立,

则随

量t

三、(Ho ling)T2分布T2分布的定义1.一元统计中,若X~

N

(0,

1),

~

2(n),X与设X~Np(0,

),随机阵W

~

Wp(n,

)(

>0,n

p),T2

=

nX

W

-1

X的分布?定义

3.1.5设X~

Np(0,

),随机阵W

~

Wp(n,

)(

>O,n

p),且X与W相互独立,则称统计量T2

=

nXW

-1X为

T2统计量,

其分布称为服从n个

度的T2分布，记为

T2

~

T2(

p,

n)

.定义

3.1.5设X~

Np(

,

),随机阵W

~

Wp(n,

)(

>O,n

p),且X与W相互独立,则称统计量T2

=

nXW

-1X为非中心

T2统计量,

记为T2

~

T2(

p,

n

,

)

.2.

T2分布的性质性质1设X()(

=1,…,n

)是来自p元正态总体Np(

,

)的简单随机样本,本均值向量和样本离差阵,则统计量T

2

(n

1)[

n(

X

)]A1[

n(

X

)]

n(n

1)(X

)

A1

(

X

)

~

T

2

(

p,

n

1)X

和A

分别是样n证明:因

X

~

N

(,

1

)则pn(

X

)

~

N

p

(0,

)

n(n

1)(X

)

A1

(

X

)

~

T

2

(

p,

n

1)n(

X

)]而A

~

Wp(n-1,

),且A

与X

相互独立,由定义3.1.5可知,T

2

(n

1)[

n(

X

)]A1[性质2

T2与F分布的关系:~

F(

p,

n

p

1)np设

T2

~

T2(

p,

n),

则

n

p

1

T

2当p

=1时,一元总体X~

N

(0,

2),X()(

=1,…,n

)为来自总体X

的随机样本,则~

t

(n

),则X

/

n注:①一元统计中,若t

t

2

/

n

X

2

/

1

~

F

(1,

n

)~

F

(1,

n

)n所以

n

T

2W

W

/

2

n

nX

W

1

X

nX

2

(

X

/

)22

2

21d

n

n()

()()

()~W

(n,

)

(n)XX

XW

X11注:

②

一般地,且

与

独立.1pX

W

Xpn

p

1

T

2p

ndn

p

1

/

n

p

1

/

p~

F(

p,

n

p

1)defn

p

1

X

1

XX

W

1

Xp

n

p

1

X

1

XX

1

X其中

=X

-1X~2(p,

)(

=

0).还可证明

X

W

1

X

~

2

(n

p

1)性质3设X()(

=1,…,n

)是来自p元正态总体Np(

,

)的随机样本,

X

和A

分别是样本均值向量和样本离差阵,记T

2

n(n

1)X

A1

X~

F

(

p,

n

p,

)则统计量

n

p

T

2p n

1其中

=

n

-1

.性质4T2

统计量的分布只与p,

n有关,

而与无关.事实上,因X~

Np(0,

)(

>0),W~

Wp(n,

),则

-1/2

X~

Np(0,Ip

),且

-1/2W

-1/2

~

Wp(n,Ip

)0设U~

Np(0,Ip

),W0

~

Wp(n,Ip

),U和W0

相d1

UnX

W

1

X

~

T

2

(

p,

n)互独立,则nU

W0

,

W

1

/

2

X

1

/

2W

1

/

2因此U所以dd0dnU

W

1UnX

W

1

X

~

T

2

(

p,

n)性质5令Y()

=

C

X()

+

d

,

其中C为pp非

常数矩阵,d为p维常向量,则可证明T

2

统计量对非变换保持不变.设X()(

=1,…,n

)是来自p元总体Np(

,

)的随机样本,Xx和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和样本离差阵,则由性质1有1T

2x

x

x

x

n(n

1)(

X

)

A

(

X

)

~

T

2

(

p,

n

1)2x2yT

T

/

nF

/

m

~

F

(

m

,

n

)(Wilks)统计量及其分布四、1.分布的定义一元统计中,设

~

2(m),

~

2(n),且相互独立,则x2

y在两个总体N(112

,

)和N(2

,

)方差齐性检验中(H0

:

2

=

2),设Xx

y

(i)(i=1,…,m

)为来自N(1

,x2)的随机样本,Y(j)(j=1,…,n

)为来自N(22

,

2)的随机样本,取

2和

2的估计y

x

y量分别为则检验统计量~

F

(

m

1

,

n

1

)s

2s

2F

y

xH

0

下ymnxi

1(

i

)i

1(

i

)s

2n

1

(

X

X

)

2

,

s

2

m

1

11(Y

Y

)

2在p元总体X~Np(

,

)中,协方差阵的估计量为1n

11n

1A

)ˆ

A

(或在检验H0

:1

=2

时,如何用一个数值来描述对矩阵的离散程度的估计呢?一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度.定义

3.1.6设X~

Np(,

),则称协方差阵的行列式为X的广义方差.若X()(

=1,…,n

)为p元总体

X的随机样本,A

为样本离差阵,则称1/n.A或1/n-1.A为样本广义方差.定义

3.1.7设A1~

Wp(n1,

),A2~

Wp(n2,

)(

>0,n1

p),且A1与A2独立,则称广义方差之比为A

1A

1

A

2

统计量或统计量,其分布称为威尔克斯分布,记为~

(p,n1

,n2).注:当p=1时,统计量的分布正是一元统计中的参数为n1

/

2,

n2/

2的

分布,

记为

(n1

/

2,n2

/

2).在实际应用中,常把统计量化为T2统计量,进而化为F

统计量.然后利用熟悉的F统计量来解决多元统计分析中有关检验的问题.2.

统计量与T2或F

统计量的关系结论1当n2

=1时,设n1

=n

>p,则或1n1

1

T

2

(

p,

n

)d(

p,

n,1)

np

pd

F

(

p,

n

p

1)n

p

1

T2

n

p

1

1

(

p,

n,1)T

2

(

p,

n

)

n

1

(

p,

n,1)证明:设X()~

Np(0,

)(

=1,…,n+1)相互独立同分布,显然有

1

X

(

)

X

(

)W

X

(

)

X

(

)

1W

1~

W

p

(

n

1,

)n

1~

W

p

(

n

,

)n由定义3.1.7知W~

(

p

,

n

,1

)

W

1利用分块矩阵行又因W=Wl

+X(n+1)

X(n+1)

,列式的公式得)1(

n

1

)1 (

n

1

)

1W

1(

n

1

)(

n

1

)(

n

1

)

1

X

W

(1

X

Wp1

X

(

n

1

)1X

X

W

W

X所以11Wnd1

1

T

2

(

p

,

n

)(

n

1

)

1

X1

X

(n

1

)W

1

W

1

结论2当n2

=2时,设n1

=n

>p,则pn

p

1

1

d

F

(

2

p,2(

n

p

1))(

p,

n,2)(

p,

n,2)结论3

当p

=

1时,

则2d

F

(n2

,

n1

)n

(1,

n1

,

n2

)n1

1

(1,

n1

,

n2

)注:(1,n1

,n2)就是

(n1

/2,n2

/2),以及分布与分布F的关系得此结论.结论4当p

=2时,则n1

1

1

n2d

F

(

2n2

,2(n1

1))(2,

n1

,

n2

)(2,

n1

,

n2

)结论5

当n2

>

2

,p

>2

时,

可用2统计量或F统计量近似.注:①设~

(p,n1

,n2

),则当n1

时-rln

~

2(pn2)其中r

=n1–0.5•(p-n2+1).②当n1不太大时,3.

两个重要结论结论1

若~(p,

n1,

n2

)

,

则存在Bk

~

((n1-p+k)

/

2,

n2

/

2)

(k

=1

,…,

p)相互独立，使得d…

=

B

B1

2pB

.3.

两个重要结论结论2

若n2

<

p,

则d1

2

2

1

2

(p,

n

,

n

)

=

(n

,

p,

n

+

n

_

p).注:这是一元统计中F(n,m)d=1/F(m,n)的推广.§3.2

单总体均值向量的检验及置信域一、均值向量的检验设总体X

~Np(

,

),随机样本X()(

=1,…,n)，检验H0

:

=

0

,

H1

:

01.当

=

0已知时均值向量的检验1.当

=

0已知时均值向量的检验0(0,

)pp

0nX

~

N

(

,

1

),

n(

X

)

~

N0(

X

)

(

12

)

(

X

)

~

(

p

)0

0

0

0T

2H

0下

n

(

X

)

)

~

2

(

p

)

1

(

X利用二次型分布的结论，知1n取检验统计量为对给定的显著性水平

，H0

的否定域为因20{T

2

(

p

)}假定在H0成立情况下,

随

量20由样本值计算得到T

的值为d

,以计算以下概率值:2p

=

P{

T0

≥

d

}常称此为显著性概率值,或简称为p

值.0

0

0

0H

0下

n

(

X

)

)

~

2

(

p

)同时可T

2

1

(

X对给定的显著性水平

，当p

<

时,则在显著性水平

下否定假设H0

;在这种情况下,可能犯第一类错误,且

就

是犯第一类错误的概率.当p≥

时,则在显著性水平

下H0

相容;在这种情况下,可能犯第二类错误,且犯第二类错误的概率β

为0β

=

P{

T

2

2

(

p)

|当

=

1

0

}T

2

~

2(p

,

)

,其中检验统计量非中心参数0

=

n

(1

-

0

)0-1

(1

-

0

)p

值的直观意义:_检验统计量T

2的大小反映X

与0的偏差的大020小,

当H

成立时0T

的值应较小.0现由观测数据计算T

2值为d

;0当H

成立时统计量T02

~

2(p)由2分布可计算该统计量≥d

的概率值(即p

值).2.当

未知时均值向量的检验1

H0下X

~

N

p

(

0

,

n

),H

0下n(

X

0

)

~

N

p

(0,

)

X)

~

W

p

(n

1,

)nA

(

X

i

X

)(

X

i

1因样本离差阵为由定义3.1.5知0

00

021

21

n(n

1)(X

)

A

(

X

)

~

T

(

p,

n

1)T

(n

1)[

n(

X

)]

A

[

n(

X

)]取检验统计量为~

F(

p,(n

1)

p

1)(n

1)

p(n

1)

p

1F

TH0下2H0下~

F(

p,

n

p)对给定的显著性水平

，H0

的否定域为{

F

F

(

p

,

n

p

)}假定在H0成立情况下,

随

量20由样本值计算得到T

的值为d

,

同时可以计算以下概率值:p

=

P{

F≥d

}常称此为显著性概率值,或简称为p

值.(n

1)

p(n

1)

p

1F

H0下~

F(

p,

n

p)T

2对给定的显著性水平

，当p

<

时,则在显著性水平

下否定假设H0

;在这种情况下,可能犯第一类错误,且

就

是犯第一类错误的概率.当p≥

时,则在显著性水平

下H0

相容;当p≥

时,则在显著性水平

下H0

相容;在这种情况下,可能犯第二类错误,且犯第二类错误的概率β

为β

=

P{

F

F

(

p,

n-p)

|当

=

1

0

}-1其中F~F(p,n-p,

)非中心参数

=

n

(1

-

0

)0(1

-

0

)例3.2.1人的出汗多少与内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验H0:=

0=(4,

50,

10)

H1:

0.解:

记随机向量X=

(X1,X2,X3)′,假定X～N3(,

)

.

检验H0:=

0=(4,50,

10)′，

H1:

0.取检验统计量为3795.98

107.16

68.92654.708A

190.190

34.372由样本值计算得:X

(4.64,45.40,9.965),T

2

(

p

3,

n

20)(n

1)

pn

pF

0.00031930.0135773

0.000083

0.02114980.0308503A1

0.001162进一步计算得:

0

)

A

1

(

X

)

9

.73880

2.9045T

2(

n

1)

pn

pF

n(

n

1)(

XT

2对给定

=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得

=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及临界值,因F值=2.9045＜3.2,

故H0相容.利用统计

进行检验时,

首先计算p值(此时检验统计量F～F(3,17))：p

=

P{F≥2.9045}=0.06493

.因p值=0.06493＞0.05=

,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为=P{

F≤3.2|

=X

}=0.3616(假定总体均值

=

1

0,

取

1=X

).二、似然比统计量设p元总体的密度函数为f

(x

,

)，其中是未知参数，且

(参数空间),又设0是的子集,

对下列假设：H0

：

0

,

H1

：

0作出判断,

即给出H0的否定域

.二、似然比统计量从总体X抽取容量为n的样本.把样本的联合密度函数它是样本X(t

)(t

=1,…,n)的函数,常称为似然比统计量.nt

1L(

x(1

)

,

L

,

x(

n

)

;

)

f

(

x(

t

)

;

)

0

记为L(X

;

),并称它为样本的似然函数.引入统计量

max

L(

X

;

)

max

L(

X

;

)显然0

1由最大似然比原理知,如果取值太小,说明

H0为真时观测到此样本X(t

)(t

=1,…,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t

=1,…,

n)的概率小得多.故有理由认为H0不成立,所以以上检验问题的否定域为{

(X(1)

,

…

,

X(n)

)

<

}对给定的显著性水平

,临界值由下式确定P{(X(1),…,X(n))<

|

H0成立}=下面给出似然比统计量的抽样分布

.定理

3.2.1

当样本容量n很大时,近似服从度为f

的2

分布,其中f=

的维数-0的维数.