《高等数学》概率与数理统计课件

1.6概率与数理统计1.6.1概率论的基本概念1随机试验:概率论里所研究的试验有下列特点:在相同的条件下试验可以重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;(3)在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果1.6.1概率论的基本概念1.随机事件2样本空间:给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间,用大写的希腊字母表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊字母表示.随机事件:随机事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母A,B,C,…等表示.3几个特殊的事件基本事件:只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件.必然事件:包括整个样本空间的所有元素的事件,或者就用表示,则每次试验必然发生,因此称为必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用表示,则={}.4事件的包含事件的关系事件的相等事件的并(和)事件的交(积)对立事件事件的差互不相容事件5完备事件组若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.最常用的完备事件组是某事件A与它的逆6例1掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件A表示"奇数点",事件B表示"点数小于5",C表示"小于5的偶数点".用集合的列举表示法表示下列事件:7解:={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5}B={1,2,3,4} C={2,4}A+B={1,2,3,4,5} AB={5}BA={2,4} AB={1,3}AC=

C-A={2,4}8例2从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).试用事件的运算符号表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.9解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:102.概率率给定定事事件件A,存在在着着一一个个正正数数P与之之对对应应,称之之为为事事件件A的概概率率,记作作P(A)或P{A}.最高高的的发发生生概概率率为为1,表示示必必然然发发生生.最低低的的概概率率为为0,表示示不不可可能能发发生生.而一一般般的的随随机机事事件件的的概概率率介介于于0与1之间间.113.古典典概概型型有一一类类试试验验的的特特点点是是:(1)每次次试试验验只只有有有有限限种种可可能能的的试试验验结结果果(2)每次次试试验验中中,各基基本本事事件件出出现现的的可可能能性性完完全全相相同同.具这这两两个个特特点点的的试试验验称称为为古古典典概概型型试试验验.在古古典典概概型型的的试试验验中中,如果果总总共共有有n个可可能能的的试试验验结结果果,因此此每每个个基基本本事事件件发发生生的的概概率率为为1/n,如果果事事件件A包含含有有m个基基本本事事件件,则事事件件A发生生的的概概率率则则为为m/n.12放回回抽抽样样假设设一一副副牌牌有有52张,将它它们们编编号号为为1,2,……,52.每次次抽抽出出一一张张观观察察后后再再放放回回去去(这样样下下一一次次这这张张牌牌仍仍有有机机会会被被抽抽到到),这叫叫放放回回抽抽样样.假设设共共抽抽了了5次,共有有多多少少种种可可能能的的抽抽法法?第一一次次有有52种抽抽法法,在第第一一次次的的每每一一种种抽抽法法中中,第二次又有52种抽法,…,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地,从n个元素中进行行m次放回抽样,则共有nm种抽法.13不放回抽样(排列)还是这52张牌,每次抽出一张张,但不放回,则第二次抽时时只有51张牌,第三次就只有有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取取n个(nN),共有14不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放放回抽样n个,但不关心其顺顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要要比排列的数数目小n!倍,记作15例3袋内装有5个白球,3个黑球,从中任取两个个球,计算取出的两两个球都是白白球的概率.16例4一批产品共200个,废品有6个,求(1)这批产品的废废品率;(2)任取3个恰有一个是是废品的概率率;(3)任取3个全非废品的的概率解设P(A),P(A1),P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率率,则17加法法则两个互不相容容(互斥)事件之和的概概率等于它们们的概率的和和.即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上,只要P(AB)=0,上式就成立.18如果n个事件A1,A2,…,An互不相容,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)A1A2A3A419若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事事件组,则它们的概率率的和为1,即P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特别地,两个对立事件件概率之和为为1,即A1A2A3A4AA20例如掷3次硬币,求至少一次正正面朝上的概概率.解:假设A={至少一次正面面},则A={全是反面},只包含一个基基本事件.基本事件总数数为23=8,因此经常有一些概概率论的较难难的题,直接计算某事事件的概率困困难,因此考虑先求求此事件的逆逆事件的概率率21例5产品有一,二等品及废品品3种,若一,二等品率分别别为0.63及0.35,求产品的合格格率与废品率率.解令事件A表示产品为合合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相容,并且A=A1+A2,则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.9822例6一个袋内装有有大小相同的的7个球,4个是白球,3个为黑球.从中一次抽取取3个,计算至少有两两个是白球的的概率.解设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容,且23定义在事件B已经发生的条条件下,事件A发生的概率,称为事件A在给定B下的条件概率率,简称为A对B的条件概率,记作P(A|B).相应地,把P(A)称为无条件概概率.4.条件概率与乘乘法法则24乘法法则两个事件A,B之交的概率等等于其中任一一个事件(其概率不为零零)的概率乘以另另一个事件在在已知前一个个事件发生下下的条件概率率,即P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)25例710个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到难签签,甲,乙都抽到难签签,甲没抽到难签签而乙抽到难难签以及甲,乙,丙都抽到难签签的概率.解设事件A,B,C分别表示甲乙乙丙各抽到难难签26全概率定理如果事件A1,A2,…构成一个完备备事件组,并且都具有正正概率,则对任意一事事件B有用全概率定理理来解题的思思路,从试验的角度度考虑问题,一定是将试验验分为两步做做,将第一步试验验的各个结果果分为一些完完备事件组A1,A2,…,An,然后在这每一一事件下计算算或给出某个个事件B发生的条件概概率,最后用全概率率公式综合27贝叶斯定理若A1,A2,…,构成一个完备备事件组,并且它们都具具有正概率,则对于任何一一个概率不为为零的事件B,有贝叶斯定理解解题的题型与与全概率定理理的题型完全全一样,只是要求的是是一个条件概概率,是在信息论中中的重要公式式,即在二次试验验后,观察者只能看看到最后的结结果事件B,却要根据B来推断第一步步试验的哪个个事件发生了了的条件概率率P40例1-4428在使用全概率率公式和贝叶叶斯公式的题题型中,关键的一步是是要使用一完完备事件组,而最常用的完完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事事件组,这时的全概率率与贝叶斯公公式为,(应在考试前专专门将它们记记住).295.事件的独立性性定义如果事件A发生的可能性性不受事件B发生与否的影影响,即P(A|B)=P(A),则称事件A对于事件B独立.30由此定义及条条件概率P(A|B)的定义有31如A与B独立,则32例8甲,乙,丙3部机床独立工工作,由一个工人照照管,某段时间内它它们不需要工工人照管的概概率分别为0.9,0.8及0.85.求在这段时间间内有机床需需要工人照管管的概率以及及机床因无人人照管而停工工的概率.解用事件A,B,C分别表示在这这段时间内机机床甲,乙,丙不需工人照照管.依题意A,B,C相互独立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85则这段段时间间内有有机床床需要要工人人照管管的概概率为为33而当至至少有有两部部机床床需要要照管管的时时候,就有机机床因因无人人照管管而停停工了了,这样的的事件件是34按取值值情况况可将将随机机变量量分为为两类类:(1)离散型型随机机变量量只可能能取有有限个个或无无限可可列个个值.(2)非离散散型随随机变变量可能取取任何何实数数.而非离离散型型随机机变量量中最最常用用的为为连续型型随机机变量量.1.6.2一维随随机变变量及及数字字特征征1.随机变变量的的概念念(p42)352.离散型型随机机变量量的分分布36定义如如果随随机变变量x只取有有限个个或可可列个个可能能值,而且以以确定定的概概率取取这些些不同同的值值,则称x为离散散性随随机变变量.为直观观起见见,将x可能取取的值值及相相应概概率列列成概率分分布表表如下xx1x2…xk…Pp1p2…pk…此外,x的概率率分布布情况况也可可以用用一系系列等等式表表示:P(x=xk)=pk(k=1,2,…)这被称称作随随机变变量x的概率函函数(或概率率分布布)37例9一批产产品的的废品品率为为5%,从中任任意抽抽取一一个进进行检检验,用随机机变量量x来描述述废品品出现现的情情况.并写出出x的分布布.解用用x表示废废品的的个数数,则它只只能取取0或1两个值值."x=0"表示"产品为为合格格","x=1"表示"产品为为废品品",则概率率分布布表如如下x01P0.950.05即P{x=0}=0.95,P{x=1}=0.05,或可写写为P{x=k}=0.05k0.951-k(k=0,1)38随机变变量的的分布布函数数定义若x是一个个随机机变量量(可以是是离散散型的的,也可以以是非非离散散型的的),对任何何实数数x,令F(x)=P(xx)称F(x)是随机机变量量x的分布布函数数39例10求本节节例1中的分分布函函数x01P0.950.05其分布布函数数为解在在例1中x的概率率函数数如下下表所所示:40分布函函数与与概率率函数数满足足关系系:由于P(x1<x2)=F(x2)-F(x1)因此,若已知知的分布布函数数F(x),就能知知道在任何何一个个区间间上取取值的的概率率,从这个个意义义上说说,分布函函数完完整地地描述述了随随机变变量的的变化化情况况41分布函函数F(x)具有如如下几几个性性质:42两点分分布:只有两两个可可能取取值的的随机机变量量所服服从的的分布布,称为两两点分分布.其概率率函数数为P(x=xk)=pk(k=1,2)概率分分布表表为:xx1x2Pp1p2430-1分布:只取0和1两个值值的随随机变变量所所服从从的分分布称称为0-1分布.其概率率函数数为P(x=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)概率分分布表表为:x01P1-pp44连续型型随机机变量量的分分布离散型型随机机变量量，用用概率率函数数来描描述即即简单单又直直观。。对于连连续型型随机机变量量也希希望有有一种种比分分布函函数更更直观观的描描述方方式。。这就是是““概率密密度函函数”45定义对对于于连续续型随随机变变量x,如果存存在一一定义义在(-,+)上的非负函函数(x),对于任任意实实数x都有(x)0,且满足足,x落在任任意区区间内内的概概率为为j(x)在此区区间的的积分分,即则称j(x)为x的概率密密度函函数.46用概率率密度度函数数计算算x落在任任何区区间内内的概概率如下下图所所示意意.abx0j(x)P(axb)47概率密密度函函数的的两个个性质质(1)(x)048概率密密度函函数(x)与分布布函数数F(x)的关系系为x0j(x)x49例11已知连连续型型随机机变量量x有概率率密度度求系数数k及分布布函数数F(x),并计算算P(1.5<x<2.5)解因50则j(x)及其图图形如如下120xj(x)51x当x<0时,120xj(x)52x当0<x<2时,120xj(x)53当x>2时,x120xj(x)54综合前前面最最后得得120xF(x)55120xj(x)120xF(x)将概率率密度度函数数j(x)与分布布函数数F(x)对照56现根据据概率率密度度函数数和分分布函函数分分别计计算概概率P{1.5<x<2.5}根据分分布函函数计计算:P{1.5<x<2.5}=P{1.5<x2.5}-P(x=2.5)=F(2.5)-F(1.5)-0=1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625根据据概概率率密密度度函函数数进进行行计计算算则则是是574.随机机变变量量的的数数字字特特征征通常常求求出出随随机机变变量量的的分分布布并并不不是是一一件件容容易易的的事事,而人人们们更更关关心心的的是是用用一一些些数数字字来来表表示示随随机机变变量量的的特特点点,这些些与与随随机机变变量量有有关关的的数数字字,就是是随随机机变变量量的的数数字字特特征征.最常常用用的的数数字字特特征征为为数数学学期期望望,方差差和和相相关关系系数数.58数学学期期望望数学学期期望望是是任任何何一一个个随随机机变变量量的的最最重重要要的的也也被被最最广广泛泛使使用用的的数数学学特特征征,英文文是是expectation,另一一种种叫叫法法为为均均值值(meanoreveragevalue)它的的实实际际意意义义就就是是平平均均值值.但属属于于一一种种更更为为严严格格的的平平均均值值,和本本书书后后面面讲讲到到的的统统计计平平均均值值有有一一些些小小差差别别.59定义义假设设离离散散型型随随机机变变量量x有概概率率函函数数P{x=xk}=pk(k=1,2,...),若级级数数绝对对收收敛敛,则称称这这级级数数为为x的数数学学期期望望,简称称期期望望或或均均值值,记为为Ex,即60例若x服从0-1分布,其概率函函数为P{x=k}=pk(1-p)1-k(k=0,1),求Ex解Ex=0(1-p)+1p=p61例12甲乙两名名射手在在一次射射击中得得分(分别用x,h表示)的分布律律如下表表所示,试比较甲甲,乙两射手手的技术术.解Ex=10.4+20.1+30.5=2.1Eh=10.1+20.6+30.3=2.2这表明,如果进行行多次射射击,他们得分分的平均均值分别别是2.1和2.2,故乙射手手较甲射射手的技技术好.x123P0.40.10.5h123P0.10.60.362定义设连续型型随机变变量x有概率密密度j(x),若积分63例13计算在区区间[a,b]上服从均均匀分布布的随机机变量x的数学期期望.解依题题意,64数学期望望的性质质常量的期期望就是是这个常常量本身身,即E(c)=c.(2)随机变量量x与常量c之和的数数学期望望等于x的期望与与这个常常量c的和E(x+c)=Ex+c(3)常量c与随机变变量x的乘积等等于这个个常量与与此随机机变量的的期望的的乘积,(cx)=cEx(4)随机变量量的线性性函数的的数学期期望等于于这个随随机变量量期望的的同一线线性函数数,即E(kx+c)=kEx+c65(5)两个随机机变量之之和的数数学期望望等于这这两个随随机变量量数学期期望之和和.E(x+h)=Ex+Eh(6)两个相互互独立随随机变量量乘积的的数学期期望等于于它们数数学期望望的乘积积,即E(xh)=ExEh66例14某种无线线电元件件的使用用寿命x是一个随随机变量量,其概率密密度为其中l>0,求这种元元件的使使用寿命命.67方差68如果x是离散型型随机变变量,并且P{x=xk}=pk(k=1,2,...),则可见随机机变量的的方差是是非负数数,Dx0,常量的方方差是零零.当x的可能值值密集在在它的期期望值Ex附近时,方差较小小,反之则方方差较大大.因此方差差的大小小可以表表示随机机变量分分布的离离散程度度69例15计算参数数为p的0-1分布的方方差解根据据x的概率函函数P{x=1}=pP{x=0}=1-p=q则Ex=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p==p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq70方差的性性质常量的方方差等于于零(2)随机变量量与常量量之和的的方差就就等于这这个随机机变量的的方差本本身(3)常量与随随机变量量乘积的的方差,等于这常常量的平平方与随随机变量量方差的的乘积.(4)两个独立立随机变变量之和和的方差差,等于这两两个随机机变量方方差的和和71计算Ex2的办法:(5)任意随机机变量的的方差等等于这个个随机变变量平方方的期望望与其期期望平方方之差,即Dx=Ex2-(Ex)272例16计算在区区间[a,b]上服从均均匀分布布的随机机变量x的方差.解已知x的概率密度为为在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/273定义如果随机变量量x有概率函数其中0<p<1,q=1-p,则称x服从参数为n,p的二项分布.简记作x~B(n,p).5.几种重要的分分布(1)二项分布74例17某工厂每天用用水量保持正正常的概率为为3/4,求最近6天内用水量正正常的天数的的分布.解设最近6天内用水量保保持正常的天天数为x,则x~B(6,0.75),因此75其分布表如下下表所示x0123456P0.00020.00440.0330.13180.29660.3560.178分布图:76二项分布的期期望和方差77例某班有学生23名,其中有5名女同学,今从班上任选选4名学生去参观观展览,被选到的女同同学数x是一个随机变变量,求x的分布.解x可取0,1,2,3,4,这5个值,相应概率为(2)超几何分布78概率分布表为为x01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布图为为:79定义设N个元素分为两两类,有N1个元素属于第第一类,N2个元素属于第第二类(N1+N2=N).从中按不重复复抽样取n个,令x表示这n个中第一(或二)类元素的个数数,则x的分布称为超超几何分布.其概率函数为为:80根据概率分布布的性质,必有81超几何分布的的数学期望和和方差82定义如果随机变量量x的概率函数是是(3)普哇松(Poisson)分布83普哇松分布的的数学期望和和方差84例17检查了100个零件上的疵疵点数,结果如下表:疵点数0123456频用普哇松分分布公式计算算疵点数的分分布,并与实际检查查结果比较.解85计算出来的图图表如下所示示:疵点数0123456频率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.1350.2710.2710.180.090.0360.0186(4)指数分布定义如随机变量x的概率密度为为87指数分布的分分布函数88对任何实数a,b(0a<b),有指数分布的数数学期望和方方差：Ex=l-1Dx=l-289例18某元件寿命x服从参数为l(l-1=1000小时)的指数分布,3个这样的元件件使用1000小时后,都没有损坏的的概率是多少少?P(x>1000)=1-P(x1000)=1-F(1000)=e-1各元件寿命相相互独立,因此3个这样的元件件使用1000小时都未损坏坏的概率为e-3(约为0.05).解指数分分布的分布函函数为90定义如果连连续型随机变变量x的概率密度为为其中s,m为常数,并且s>0,则称x服从正态分布布,简记作x~N(m,s2).特别地,当m=0,s=1时,称其为标准正正态分布,其概率密度记记为j0(x),这时x~N(0,1).(5)正态分布91j0(x)的图形xj0(x)01-192j0(x)除一般概率密密度的性质外外,还有下列性质质(1)j0(x)有各阶导数(2)j0(-x)=j0(x),偶函数(3)在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0处达到最大值值:(4)在x=1处有两个拐点点;(5)x轴是j0(x)的水平渐近线线93Ex=m正态分布的数数学期望和方方差94一般正态分布布与标准正态态分布的关系系定理1如果x~N(m,s2),h~N(0,1),其概率密度分分布记为j(x)和j0(x),分布函数分别别记为F(x)及F0(x),则95定理2如果x~N(m,s2),而h=(x-m)/s,则h~N(0,1)96例19x~N(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1<x2),P(x5.9).解P(x1.96)=0.975=F0(1.96)P(x-1.96)=P(x1.96)=1-P(x<1.96)=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)P(|x|1.96)=P(-1.96x1.96)=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95P(-1<x2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-[1-F0(1)]=0.81855P(x5.9)=F0(5.9)=197概括起来,如果x~N(0,1),则98例20x~N(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s99总体样本统统计量1.6.3数理统计的的基本概念念1.基本概念100数理统计的的任务在概率论的的各个题目目中,随机变量的的分布往往往是知道的的,是通过某些些已知的信信息计算另另一些信息息.而在实际中中,经常是有一一个我们关关心的总体体X,我们即不知知道它的分分布,也不知道它它的数学期期望和方差差.但是,我们可以对对其进行反反复地试验验,则试验n次,得到n个样本值,这n个样本值可可以看作是是对n个与总体分分布相同的的样本进行行观察而获获得的.101样本均值102样本方差103定理1设(X1,X2,...,Xn)是取自正态态总体N(m,s2)的样本,若2.常用的重要要结论104这个定理是是为解决这这样的问题题105定理2设X1,X2,...,Xn相互独立,Xi~N(0,1),i=1,2,...,n,则即n个相互独立立的标准正正态分布的的随机变量量的平方和和服从n个自由度的的c2(n)分布106定理3设(X1,X2,...,Xn)是取自正态态总体N(m,s2)的样本,则有107此定理的用用处在于108定理4设两个随机机变量x与h相互独立,并且x~N(0,1),h~c2(n),则109推论设设(X1,X2,...,Xn)是取自正态态总体N(m,s2)的样本,110此推论的意意义在于111定理5设两个随机机变量x1和x2相互独立,且x1~c2(n1),x2~c2(n2),则有112推论设设设X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Ym分别来自两两个相互独独立的正态态总体1131.6.4参数估计人们经常遇遇到的问题题是如何选选取样本以以及根据样样本来对总总体的种种种统计特征征作出判断断。实际际工作中碰碰到的随机机变量(总体)往往是分布布类型大致致知道,但确切的形形式并不知知道,亦即总体的的参数未知知.要求出总体体的分布函函数F(x)(或密度函数数j(x)),就等于要根根据样本来来估计出总总体的参数数.这类问题称称为参数估估计.1141.参数的点估估计（1）矩估计法法115(2)最大似然估估计法现在要根据据从总体x中抽到的样样本(X1,X2,...,Xn),对总体分布布中的未知知参数q进行估计.最大似然法法是要选取取这样的估估计值,当它作为q的估计值时时,使观察结果果出现的可可能性最大大.对于离散型型的随机变变量就是估估计概率函函数中的参参数q,对于连续型型的随机变变量就是估估计概率密密度中的q.116设x为连续型随随机变量,它的分布函函数是F(x;q),概率密度是是j(x;q),其中q是未知参数数,可以是一个个值,也可以是一一个向量,由于样本的的独立性,则样本(X1,X2,...,Xn)的联合概率率密度是对每一取定定的样本值值x1,x2,...,xn是常数,L是参数q的函数,称L为样本的似然函数117设x为离散型随随机变量,有概率函数数P(x=xi)=p(xi;q),则似然函数数118最大似然估估计值119例21已知x1,x2,...,xn为x的一组样本本观察值,求q的最大似然然估计.120解似然函函数121例22已知x服从正态分分布N(m,s2),(x1,x2,...,xn)为x的一组观察察值,用最大似然然估计法估估计m,s2的值.122解似然方程程组123例23求普哇松分分布中参数数l的最大似然然估计.解已知总总体x的概率函数数为124因此1251262.参数的区间间估计用点估计来来估计总体体参数,即使是无偏偏有效的估估计量,也会由于样样本的随机机性,从一个样本本算得估计计量的值不不一定恰是是所要估计计的参数真真值.而且,即使真正相相等,由于参数值值本身是未未知的,也无从肯定定这种相等等.到底二者相相差多少呢呢?这个问题换换一种提法法就是,根据估计量量的分布,在一定的可可靠程度下下,指出被估计计的总体参参数所在的的可能数值值范围.这就是参数数的区间估估计问题.127区间估计的的具体做法法是,找两个统计计量128区间间估估计计示示意意图图1-aa/2a/21-a为置信信系系数数,置信信概概率率或置信信度度a为检验验水水平平129(1)总体体分分布布未未知知利用用切切贝贝谢谢夫夫不不等等式式进进行行估估计计.因为为对对任任何何随随机机变变量量x(不论论它它的的分分布布如如何何),只要要Ex,Dx存在在,对任任给给的的正正数数e>0,满足足130从总总体体x中抽抽取取样样本本(X1,X2,...,Xn),131若要要求求132一般般地地,若要要求求133切贝贝谢谢夫夫区区间间估估计计示示意意图图1-aa/2a/2134例24某灯泡厂厂某天生生产了一一大批灯灯泡,从中抽取取了10个进行寿寿命试验验,得数据如如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200已知其方方差Dx=8,试找出灯灯泡的平平均寿命命区间(a=5%).135(2)正态总体体136则137例如,当a=0.05时,ua=1.96,有138查表示意意图x0a/21-a/2ua139例25某灯泡厂厂某天生生产了一一大批灯灯泡,假设灯泡泡的寿命命x服从正态态分布,x~N(m,8),从中抽取取了10个进行寿寿命试验验,得数据如如下(单位:小时):1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200,试找出平平均寿命命区间(a=0.05).解因为为a=0.05,所以ua=1.96,而n=10,s=2.8284140例26已知某炼炼铁厂的的铁水含含碳量在在正常生生产情况况下服从从正态分分布,其方差s2=0.1082.现在测定定了9炉铁水,其平均含含碳量为为4.484.按此资料料计算该该厂铁水水平均含含碳量的的置信区区间,并要求有有95%的可靠性性.解设该该厂铁水水平均含含碳量为为m,已知a=5%,所以ua=1.96,m的置信系系数为95%的置信区区间是141引例1抛掷一枚枚硬币100次,"正面"出现了40次,问这枚硬硬币是否否匀称?若用x描述抛掷掷一枚硬硬币的试试验,"x=1"及"x=0"分别表示示"出现正面面"和"出现反面面",上述问题题就是要要检验x是否服从从p=1/2的0-1分布?1.6.5假设检验验142引例2从1975年的新生生儿(女)中随机地地抽取20个,测得其平平均体重重为3160克,样本标准准差为300克.而根据过过去统计计资料,新生儿(女)平均体重重为3140克.问现在与与过去的的新生儿儿(女)体重有无无显著差差异(假设新生生儿体重重服从正正态分布布)?若把所有有1975年新生儿儿(女)体重体现现为一个个总体x,问题就是是判断Ex=3140是否成立立?143引例3在10个相同的的地块上上对甲,乙两种玉玉米进行行对比试试验,得如下资资料(单位:公斤)甲95196610081082983乙730864742774990从直观上上看,二者差异异显著.但是一方方面由于于抽样的的随机性性,我们不能能以个别别值进行行比较就就得出结结论;另一方面面直观的的标准可可能因人人而异.因此这实实际上需需要比较较两个正正态总体体的期望望值是否否相等.144这种作为为检验对对象的假假设称为为待检假假设,通常用H0表示.例如,引例1的假设是是H0:x~B(1,0.5)引例2的假设是是H0:Ex=3140引例3的假设是是H0:EX=EY(X与Y是两种玉玉米的产产量期望望值)如何根据据样本的的信息来来判断关关于总体体分布的的某个设设想是否否成立,也就是检检验假设设H0成立与否否的方法法.145置信区间间方法用置信区区间的方方法进行行检验,基本思想想是这样样的:首先设想想H0是真的成成立;然后考虑虑在H0条件下,已经观测测到的样样本信息息出现的的概率.如果这个个概率很很小,这就表明明一个概概率很小小的事件件在一次次试验中中发生了了.而小概率率原理认认为,概率很小小的事件件在一次次试验中中是几乎乎不可能能发生的的,也就是说说导出了了一个违违背小概概率原理理的不合合理的现现象.这表明事事先的设设想H0是不正确确的,因此拒绝绝原假设设H0.否则,不能拒绝绝H0.146至于什么么算是"概率很小小",在检验之之前都事事先指定定.比如概率率为5%,1%等,一般记作作a.a是一个事事先指定定的小的的正数,称为显著性水水平或检验水平平.147两类错误误由于人们们作出判判断的依依据是样样本,也就是由由部分来来推断整整体,因而假设设检验不不可能绝绝对准确确,它也可能能犯错误误.其可能性性的大小小,也是以统统计规律律性为依依据的,所可能犯犯的错误误有两类类.第一类错错误是:原假设H0符合实际际情况,而检验结结果把它它否定了了,这称为弃弃真错误误.第二类错错误是:原假设H0不符合实实际情况况,而检验结结果把它它肯定下下来了,这称为取取伪错误误.148一个正态态总体的的假设检检验设总体为为x~N(m,s2).关于总体体参数m,s2的假设检检验问题题,一般有下下列四种种:(1)已知方差差s2,检验假设设H0:m=m0;(2)未知方方差s2,检验假假设H0:m=m0;(3)未知期期望m,检验假假设H0:s2=s02;(4)未知期期望m,检验假假设H0:s2s02