线性代数 复习题及 答案课件

线性代数复习题及答案线性代数复习题及答案1问题1常用的计算行列式的方法

有哪些？习题一1.已知四阶行列式D的第二行元素依次是2，-1，3，5，各个元素对应的余子式的值依次是1，-3，4，2。求行列式D的值。2.计算行列式问题1常用的计算行列式的方法

有哪些？23.计算行列式试把第3题的算法和结论推广至n阶行列式。4.计算

3.计算行列式3线性代数复习题及答案课件4线性代数复习题及答案课件5线性代数复习题及答案课件6提取公因子，化为上三角行列式综上，行列式提取公因子，化为上三角行列式7推广到n阶行列式：n阶行列式的值推广到n阶行列式：n阶行列式的值84.解：用行列式性质，化为下三角行列式从第二行起，分别提取非零数4.解：用行列式性质，化为下三角行列式从第二9再把第二行的倍、第三行的倍、

第四行的倍加到第一行对应元素上，使得第一行的元素依次是由此得到一个下三角行列式，所以行列式的值是熟悉“箭形”行列式的一般算法再把第二行的倍、第三行的倍、10问题2方阵可逆的定义是什么？试写出几个方阵可逆的充分必要条件。之间有怎样的关系？习题二1.求下列方阵的逆矩阵。（1）（2）问题2方阵可逆的定义是什么？试写出几个方阵可逆的充分必11（3）2.已知四阶方阵A的行列式，是A的伴随矩阵。计算：（1）（2）（3）（3）12解答n阶方阵A可逆的定义：若n阶方阵A与B满足，则称方阵A可逆，称B为A的逆矩阵，亦记A的逆矩阵为。同理，方阵B也可逆，有

方阵可逆的充分必要条件有：方阵A可逆方阵A可逆方阵A可逆A的n个列（行）形成的n个列（行）向量线性无关方阵A可逆A的n个特征值都不等于0解答n阶方阵A可逆的定义：若n阶方阵A与13之间的关系是习题二1.（1）（2）逆矩阵是之间的关系是14（3）用行初等变换由（3）用行初等变换由15（继续）（下一页）（继续）16（继续）得到（继续）172.解（1）（2）（3）2.解（1）18问题3试叙述向量线性相关、线性无关的定义。若已知则下列说法哪一个是正确的？（1）线性无关（2）线性相关（3）线性无关（4）线性相关问题3试叙述向量线性19习题三1.设向量组A：求向量组的秩和一个最大线性无关组，并用无关组中向量表示A中其余向量。习题三1.设向量组A：202已知向量线性无关，证明：线性相关。2已知向量线性无21解答向量线性相关、线性无关的定义：若存在不全为零的数使得则称向量线性相关；否则，称线性无关。即：当且仅当时，有则称向量线性无关。解答向量线性相关、22哪一个说法正确？（1）错若，则是零向量（2）错若，则是非零向量（3）正确是（一个）非零向量（4）错是非零向量

注意：用定义判断！哪一个说法正确？（1）错若，则23习题三1.解令矩阵

对A作行初等变换：习题三1.解令矩阵

对A作行初等变换：24因为，所以向量组的秩是2，是一个最大线性无关组；对以上最后一个矩阵继续行初等变换，化为最简形矩阵：（即解方程）因为，所以向量组的秩是2，25即用表示，有即用表示262.证明：令即

因为线性无关，所以2.证明：令27由得到齐次线性方程组有非零解，即存在不全为零的使得亦即线性相关。由28问题4线性方程组，其中有解的充分必要条件是什么？有解的情形什么条件下解是唯一的？什么条件下解有无穷多个？有无穷多个解时，解的结构是怎样的？问题4线性方程组，其中29习题四1.设解线性方程组习题四1.设解线性方程组30（1）此线性方程组是否有解？

（说明理由）（2）写出这个线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系；（3）求此非齐次线性方程组的通解。（1）此线性方程组是否有解？

（说明理由）（2）写出这个线性312.已知是四元非齐次线性方程组，是的三个解，且

求的通解。2.已知是四元非齐次线性方32分析因为，所以对应的四元齐次方程组的基础解系中有一个解向量。已知一个非齐次方程组的解，再要找齐次方程组的一个非零解。分析因为33解答非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即若，则有唯一解；若，则有无穷解；若，则无解。解答非齐次线性方程组有解34若，则对应的齐次线性方程组的基础解系有个线性无关的解向量，记作非齐次线性方程组的一个特解是，则非齐次线性方程组解的结构（通解）是若，则对应的齐次线35习题四1.解（1）写出增广矩阵，进行行初等变换。由习题四1.解（1）写出增广矩阵，进行行初等36（继续）因为，所以，此线性方程组有解；（继续）37（2）因为，所以

对应的齐次线性方程组的基础解系中有

个解向量，由最简形矩阵得到一个解向量（基础解系）（2）因为38（3）非齐次线性方程组解的结构是非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个解（特解）+对应的齐次线性方程组的通解此方程组的一个特解是所求线性方程组的通解是（3）非齐次线性方程组解的结构是非齐次线性方程组的通解=392.解因为所以令，则有即是的非零解。2.解因为40又，所以的基础解系中解向量是的一个特解是所求的通解是又41问题5方阵可以化为对角矩阵的充分必要条件是什么？哪些方阵必定可以化为对角矩阵？通常，化方阵为对角矩阵有哪些方法？分别适用于什么类型的方阵？问题5方阵可以化为对角矩阵的充分必要条件是什么？42解答*n阶方阵A可以化为对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量*对称矩阵可以化为对角矩阵*有n个互不相同的特征值的方阵可以化为对角矩阵*化方阵为对角矩阵的方法有：（1）相似变换用可逆矩阵使得；（2）合同变换对于对称矩阵A（即）用可逆矩阵使得；（3）正交变换用正交矩阵使得；（4）配方法化二次型为标准形（使二次型的矩阵为对角阵）解答*n阶方阵A可以化为对角矩阵的充分必要43习题51.设方阵（1）求A的特征值与特征向量；（2）A能否与对角阵相似（说明理由）？（3）写出能把A化为对角阵的可逆矩阵P。习题51.设方阵442.已知两个正交的向量（1）求向量，使得与都正交；（2）把化为规范正交向量组。2.已知两个正交的向量453.已知3阶方阵的特征值对应的特征向量依次是求方阵。3.已知3阶方阵的特征值46习题五1.解（1）由得到A的特征值习题五1.解（1）由47=1，由得到；=2，由=1，由48得到=5，由得到（2）因为三阶方阵A有三个线性无关的特征向量，所以A能与对角阵相似。（不同特征值对应的特征向量线性无关）得到49（3）可逆矩阵有（3）可逆矩阵502.解（1）设则由题设，有一个非零解是（2）把化为规范正交向量组：2.解（1）设则由题设，有513.解令可逆矩阵，则由得到3.解令可逆矩阵52问题6什么是“二次型”？怎样把二次型用矩阵形式表示？什么是正定二次型？什么是正定矩阵？怎样判断一个二次型是否正定二次型？

问题6什么是“二次型”？怎样把二次型用矩阵形式表示？53习题61.二次型（1）写出二次型的矩阵表达式；（2）用正交变换化二次型为标准形，并写出相应的正交矩阵。习题61.二次型542.判断取何值时二次型是正定二次型。2.判断取何值时二次型55解答二次型的概念称解答二次型的概念称56记且则二次型的矩阵形式是记57正定二次型对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零，即正定二次型对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺58习题六1.解（1）习题六1.解（1）591.解（2）求A的特征值。由1.解（2）求A的特征值。由60得到A的特征值求与特征值对应的特征向量：得到A的特征值61正交化标准化线性代数复习题及答案课件62所求正交矩阵是正交变换化二次型为标准形所求正交矩阵是632.解二次型的矩阵形式是二次型矩阵2.解二次型的矩阵形式是64各阶顺序子式依次是当即亦即时二次型是正定二次型。各阶顺序子式依次是65线性代数复习题及答案课件66要求推荐准客户的理想时机成交约会结束前递交保单时多次促成但无结果时67——衔接培训ZGKT-ZJS——要求推荐准客户的理想时机成交约会结束前67——衔接培训ZGK表哥（姐）：您好！我在平安保险公司服务一段时间了，这些日子以来受您许多的照顾，真是十分感谢！今天您能够接受这份“家庭风险管理计划”对我而言更是最佳的鼓励。表哥，您平常为人很成功，人缘也广，尤其愿意提携后进，可否请您帮个忙，替我想一想在您的朋友当中有谁像您这样有爱心、深具责任感的，让我认识，或者有哪几位跟您一样需要这份保障的。表哥，请您放心，我绝不会勉强您的朋友一定要购买这份保险，就像我没有勉强您一样，他给我三十分钟，我给他一个值得交的朋友。麻烦您帮我写介绍函好吗？68——衔接培训ZGKT-ZJS——表哥（姐）：68——衔接培训ZGKT-ZJS——陈先生，非常感谢您给我机会与您分享保险，虽然您暂不考虑投保，但是我想您的圈子里也许有朋友正好想买保险的，不知您可不可以将他们的名字给我，让我去跟他们谈一下呢？69——衔接培训ZGKT-ZJS——陈先生，非常感谢您给我机会与您分享保险，虽然您暂我相信您也了解，我们从事销售行业需要用很多时间和精力做好客户的售后服务，所以没有更多的时间结交很多新朋友。而我们这个行业是需要不停地接触新朋友的，不知您可不可以介绍几个想了解保险的朋友给我，如果谈好了，也是你帮了朋友的一个忙，如果不成，你就算帮我认识了一个新朋友。70——衔接培训ZGKT-ZJS——我相信您也了解，我们从事销售行业需要用很多时间和寿险业务员的工作，就是要透过专业的寿险需要分析才能决定客户是否有寿险需要；重申销售工作是需要不断地接触新朋友，而不限于有寿险需求的客户。71——衔接培训ZGKT-ZJS——寿险业务员的工作，就是要透过专业的寿险需要分析才能决定客户是比如和你一起去吃饭的同事；或者与你一起打球，逛街，看戏，甚至打麻将的朋友?72——衔接培训ZGKT-ZJS——比如和你一起去吃饭的同事；或者与你一起我有很多客户在给我名单的时候都有这个顾虑，不如我现在解释一下我联系准客户的原则与程序。让您多了解一些，才决定是否介绍您的朋友给我认识。73——衔接培训ZGKT-ZJS——我有很多客户在给我名单的时候都有这个顾虑，不如我我们公司的寿险顾问都会遵守以下3个原则：第一是保守秘密，我与您见面谈过的内容，我保证不会透露给你的朋友知道，又或者您朋友的资料我也是绝对不会讲出去的。74——衔接培训ZGKT-ZJS——我们公司的寿险顾问都会遵守以下3个原则：第一是保第二是专业精神，就是说我们不会勉强您朋友见我或者购买保险，就好象我约见您都是先征求您同意，才约见您，这样就不会使您为难。75——衔接培训ZGKT-ZJS——第二是专业精神，就是说我们不会勉强您朋友见我或者第三是密切跟进，整个过程无论成功与否，我都会联络您，让您知道进展，这样您可以放心啦。76——衔接培训ZGKT-ZJS——第三是密切跟进，整个过程无论成功与否，我都会联络而整个过程是：首先请在这里写下您朋友的名字。跟着，我会联络他，如果您的朋友觉得有需要见我的话，我会安排与他见面的时间。77——衔接培训ZGKT-ZJS——而整个过程是：首先请在这里写下您朋友的名字。跟着线性代数复习题及答案线性代数复习题及答案78问题1常用的计算行列式的方法

有哪些？习题一1.已知四阶行列式D的第二行元素依次是2，-1，3，5，各个元素对应的余子式的值依次是1，-3，4，2。求行列式D的值。2.计算行列式问题1常用的计算行列式的方法

有哪些？793.计算行列式试把第3题的算法和结论推广至n阶行列式。4.计算

3.计算行列式80线性代数复习题及答案课件81线性代数复习题及答案课件82线性代数复习题及答案课件83提取公因子，化为上三角行列式综上，行列式提取公因子，化为上三角行列式84推广到n阶行列式：n阶行列式的值推广到n阶行列式：n阶行列式的值854.解：用行列式性质，化为下三角行列式从第二行起，分别提取非零数4.解：用行列式性质，化为下三角行列式从第二86再把第二行的倍、第三行的倍、

第四行的倍加到第一行对应元素上，使得第一行的元素依次是由此得到一个下三角行列式，所以行列式的值是熟悉“箭形”行列式的一般算法再把第二行的倍、第三行的倍、87问题2方阵可逆的定义是什么？试写出几个方阵可逆的充分必要条件。之间有怎样的关系？习题二1.求下列方阵的逆矩阵。（1）（2）问题2方阵可逆的定义是什么？试写出几个方阵可逆的充分必88（3）2.已知四阶方阵A的行列式，是A的伴随矩阵。计算：（1）（2）（3）（3）89解答n阶方阵A可逆的定义：若n阶方阵A与B满足，则称方阵A可逆，称B为A的逆矩阵，亦记A的逆矩阵为。同理，方阵B也可逆，有

方阵可逆的充分必要条件有：方阵A可逆方阵A可逆方阵A可逆A的n个列（行）形成的n个列（行）向量线性无关方阵A可逆A的n个特征值都不等于0解答n阶方阵A可逆的定义：若n阶方阵A与90之间的关系是习题二1.（1）（2）逆矩阵是之间的关系是91（3）用行初等变换由（3）用行初等变换由92（继续）（下一页）（继续）93（继续）得到（继续）942.解（1）（2）（3）2.解（1）95问题3试叙述向量线性相关、线性无关的定义。若已知则下列说法哪一个是正确的？（1）线性无关（2）线性相关（3）线性无关（4）线性相关问题3试叙述向量线性96习题三1.设向量组A：求向量组的秩和一个最大线性无关组，并用无关组中向量表示A中其余向量。习题三1.设向量组A：972已知向量线性无关，证明：线性相关。2已知向量线性无98解答向量线性相关、线性无关的定义：若存在不全为零的数使得则称向量线性相关；否则，称线性无关。即：当且仅当时，有则称向量线性无关。解答向量线性相关、99哪一个说法正确？（1）错若，则是零向量（2）错若，则是非零向量（3）正确是（一个）非零向量（4）错是非零向量

注意：用定义判断！哪一个说法正确？（1）错若，则100习题三1.解令矩阵

对A作行初等变换：习题三1.解令矩阵

对A作行初等变换：101因为，所以向量组的秩是2，是一个最大线性无关组；对以上最后一个矩阵继续行初等变换，化为最简形矩阵：（即解方程）因为，所以向量组的秩是2，102即用表示，有即用表示1032.证明：令即

因为线性无关，所以2.证明：令104由得到齐次线性方程组有非零解，即存在不全为零的使得亦即线性相关。由105问题4线性方程组，其中有解的充分必要条件是什么？有解的情形什么条件下解是唯一的？什么条件下解有无穷多个？有无穷多个解时，解的结构是怎样的？问题4线性方程组，其中106习题四1.设解线性方程组习题四1.设解线性方程组107（1）此线性方程组是否有解？

（说明理由）（2）写出这个线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系；（3）求此非齐次线性方程组的通解。（1）此线性方程组是否有解？

（说明理由）（2）写出这个线性1082.已知是四元非齐次线性方程组，是的三个解，且

求的通解。2.已知是四元非齐次线性方109分析因为，所以对应的四元齐次方程组的基础解系中有一个解向量。已知一个非齐次方程组的解，再要找齐次方程组的一个非零解。分析因为110解答非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即若，则有唯一解；若，则有无穷解；若，则无解。解答非齐次线性方程组有解111若，则对应的齐次线性方程组的基础解系有个线性无关的解向量，记作非齐次线性方程组的一个特解是，则非齐次线性方程组解的结构（通解）是若，则对应的齐次线112习题四1.解（1）写出增广矩阵，进行行初等变换。由习题四1.解（1）写出增广矩阵，进行行初等113（继续）因为，所以，此线性方程组有解；（继续）114（2）因为，所以

对应的齐次线性方程组的基础解系中有

个解向量，由最简形矩阵得到一个解向量（基础解系）（2）因为115（3）非齐次线性方程组解的结构是非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个解（特解）+对应的齐次线性方程组的通解此方程组的一个特解是所求线性方程组的通解是（3）非齐次线性方程组解的结构是非齐次线性方程组的通解=1162.解因为所以令，则有即是的非零解。2.解因为117又，所以的基础解系中解向量是的一个特解是所求的通解是又118问题5方阵可以化为对角矩阵的充分必要条件是什么？哪些方阵必定可以化为对角矩阵？通常，化方阵为对角矩阵有哪些方法？分别适用于什么类型的方阵？问题5方阵可以化为对角矩阵的充分必要条件是什么？119解答*n阶方阵A可以化为对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量*对称矩阵可以化为对角矩阵*有n个互不相同的特征值的方阵可以化为对角矩阵*化方阵为对角矩阵的方法有：（1）相似变换用可逆矩阵使得；（2）合同变换对于对称矩阵A（即）用可逆矩阵使得；（3）正交变换用正交矩阵使得；（4）配方法化二次型为标准形（使二次型的矩阵为对角阵）解答*n阶方阵A可以化为对角矩阵的充分必要120习题51.设方阵（1）求A的特征值与特征向量；（2）A能否与对角阵相似（说明理由）？（3）写出能把A化为对角阵的可逆矩阵P。习题51.设方阵1212.已知两个正交的向量（1）求向量，使得与都正交；（2）把化为规范正交向量组。2.已知两个正交的向量1223.已知3阶方阵的特征值对应的特征向量依次是求方阵。3.已知3阶方阵的特征值123习题五1.解（1）由得到A的特征值习题五1.解（1）由124=1，由得到；=2，由=1，由125得到=5，由得到（2）因为三阶方阵A有三个线性无关的特征向量，所以A能与对角阵相似。（不同特征值对应的特征向量线性无关）得到126（3）可逆矩阵有（3）可逆矩阵1272.解（1）设则由题设，有一个非零解是（2）把化为规范正交向量组：2.解（1）设则由题设，有1283.解令可逆矩阵，则由得到3.解令可逆矩阵129问题6什么是“二次型”？怎样把二次型用矩阵形式表示？什么是正定二次型？什么是正定矩阵？怎样判断一个二次型是否正定二次型？

问题6什么是“二次型”？怎样把二次型用矩阵形式表示？130习题61.二次型（1）写出二次型的矩阵表达式；（2）用正交变换化二次型为标准形，并写出相应的正交矩阵。习题61.二次型1312.判断取何值时二次型是正定二次型。2.判断取何值时二次型132解答二次型的概念称解答二次型的概念称133记且则二次型的矩阵形式是记134正定二次型对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零，即正定二次型对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺135习题六1.解（1）习题六1.解（1）1361.解（2）求A的特征值。由1.解（2）求A的特征值。由137得到A的特征值求与特征值对应的特征向量：得到A的特征值138正交化标准化线性代数复习题及答案课件139所求正交矩阵是正交变换化二次型为标准形所求正交矩阵是1402.解二次型的矩阵形式是二次型矩阵2.解二次型的矩阵形式是141各阶顺序子式依次是当即亦即时二次型是正定二次型。各阶顺序子式依次是142线性代数复习题及答案课件1