高中数学核心方法汇编：主元法课件

主元法高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）主元法高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问1一次函数的保号性2二次函数有解问题3二次不等式恒成立问题4构造二次齐次式目录5多元问题分步设定主元1一次函数的保号性2二次函数有解问题3二次不等式恒成立问题4

第一部分一次函数的保号性PART0101第一部分PART0101例1.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解析：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m

＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.

由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，

所以解得x<1或x>3.

故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．例1.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)

第二部分

二次函数有解问题PART0202第二部分PART0202例2.如图，建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。ox(km)解：(1)最大射程是10千米。（过程略）(2)令y=3.2，则：在k>0时有解，由于此二次函数开口向上，对称轴大于0，且过点

故只要即可，解得：。所以飞行物的横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中它。例2.如图，建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上，y轴

第三部分

二次不等式恒成立问题PART0303第三部分PART0303例3.不等式对任意R恒成立，求实数的取值范围．解：原不等式恒成立例3.不等式

第四部分

构造二次齐次式PART0404第四部分PART0404例4.已知实数满足，求的取值范围.分析：本题可以利用基本不等式：也可以构造二次齐次式：答案：[1,9].例4.已知实数满足

第五部分

多元问题分步设定主元PART0405第五部分PART0405例5.不等式对任意

恒成立，求实数c的取值范围。例5.不等式练习1.不等式对满足的一切实数m

恒成立，求x

的取值范围.练习2.已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.练习：练习3.函数的最大值为__________．练习1.不等式练习4.设实数x,y满足：,求的最小值。练习5.已知函数若对任意的，不等式在上恒成立，求b

的取值范围。练习4.设实数x,y满足：,求感谢聆听批评指导感谢聆听批评指导主元法高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）主元法高中数学核心素养、核心思想专题汇编（附详解）所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问1一次函数的保号性2二次函数有解问题3二次不等式恒成立问题4构造二次齐次式目录5多元问题分步设定主元1一次函数的保号性2二次函数有解问题3二次不等式恒成立问题4

第一部分一次函数的保号性PART0101第一部分PART0101例1.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解析：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m

＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.

由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，

所以解得x<1或x>3.

故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．例1.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)

第二部分

二次函数有解问题PART0202第二部分PART0202例2.如图，建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由。ox(km)解：(1)最大射程是10千米。（过程略）(2)令y=3.2，则：在k>0时有解，由于此二次函数开口向上，对称轴大于0，且过点

故只要即可，解得：。所以飞行物的横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中它。例2.如图，建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上，y轴

第三部分

二次不等式恒成立问题PART0303第三部分PART0303例3.不等式对任意R恒成立，求实数的取值范围．解：原不等式恒成立例3.不等式

第四部分

构造二次齐次式PART0404第四部分PART0404例4.已知实数满足，求的取值范围.分析：本题可以利用基本不等式：也可以构造二次齐次式：答案：[1,9].例4.已知实数满足

第五部分

多元问题分步设定主元PART0405第五部分PART0405例5.不等式对任意

恒成立，求实数c的取值范围。例5.不等式练习1.不等式对满足的一切实数m

恒成立，求x

的取值范围.练习2.已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.练习：练习3.函数的最大值为__________．练习1.不等式练习4.设实数x,y满足：