一般二次曲面的化简与分类课件

6.2一般二次曲面的化简与分类

（Simplificationandclassificationofgeneralquadraticsurfaces）6.2.1代数理论(Thealgebraictheory)由代数知识知道,实对称矩阵可用正交矩阵对角化,即对实对称矩阵A,存在正交矩阵T,使为对角矩阵,且对角线上的元素为A的特征值(特征根)1,2,3,即方程

的根,它们全为实数,因而有经过直角坐标变换(转轴变换),曲面方程为

(6.2-3)6.2一般二次曲面的化简与分类

（Simplificati1二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程==0称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.它是关于的一元三次方程,即解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质：（1）1,2,3不全为零;（2）1,2,3都是实数;（3）1+2+3=I1;（4）123=I3.二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程26.2.2二次曲面的分类与化简

（simplificationandclassificationofquadraticsurfaces）在（6.2-3）的基础之上,通过配方,在作移轴,就可将方程（6.2-3）进一步化简,并了解所对应的曲面.1）情形1：1,2,3,都不为0.这时，有I3≠0,即曲面为中心型曲面。作移轴可得（6.2-4）6.2.2二次曲面的分类与化简

（simplificatio3（1）1,2,3a'44>0,

1)1,2,3同号,标准方程.虚椭球面2)1,2,3异号,标准方程.单叶双曲面

(2)1,2,3a'44<0,3)1,2,3同号,标准方程.椭球面4)1,2,3异号,标准方程.双叶双曲面(3)a'44=0,

5)1,2,3同号,标准方程.一点;6)1,2,3异号,标准方程.二次锥面

（1）1,2,3a'44>0,42)情形2：1,2,3中只有一个为0这时有I3=0,I4

≠0,即曲面为非中心型曲面.不妨设3=0，作移轴则有

（6.2-5）2)情形2：1,2,3中只有一个为05(1)若a34

≠0,再作移轴化简为（6.2-6）7)12>0,标准方程.椭圆抛物面8)12<0,标准方程.双曲抛物面(1)若a34≠0,再作移轴化简为6(2)若a34=0,a'44≠0,

方程化简为9)1,2同号,但与a'44异号,标准方程.椭圆柱面10)1,2,a'44同号,标准方程.虚椭圆柱面11)12<0,标准方程可化为.双曲柱面.(2)若a34=0,a'44≠0,方程化简为7(3)若a34=a'44=0

12)1,2同号,即1,2>0,标准方程.一对相交于一条实直线的虚平面;

13)1,2异号,即1,2<0,标准方程.一对相交平面.(3)若a34=a'44=012)1,2同号,83)情形3:1,2,3中有两个为0.这时有I3=0，I4=0,不妨设1≠0,作移轴

则有（1）a24,a34中至少有一个不为0,作变换可化简成14)标准方程抛物柱面.3)情形3:1,2,3中有两个为0.9(2)a24=a34=015)1与a'44异号,标准方程.一对平行平面;16)1与a'44同号,标准方程.一对虚的平行平面;17)a'44

=0,标准方程.一对重合平面.(2)a24=a34=015)1与a'44异号,标10定理1

选取适当的坐标系,二次曲面方程（6.1-1）总可以化简为以下五类简化方程中的一个：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)一般二次曲面的化简与分类课件11并且可以写成下面十七种标准方程的一中形式：（1）（椭球面）（2）（虚椭球面）

（3）（点或称虚母线二次锥面）（4）（单叶双曲面）（5）（双叶双曲面）（6）（二次锥面）并且可以写成下面十七种标准方程的一中形式：12（7）（椭圆抛物面）

（8）（双曲抛物面）

（9）（椭圆柱面）

（10）（虚椭圆柱面）

（11）（交于一条实直线的一对共轭虚平面）

（12）（双曲柱面）

（7）13（13）（一对相交平面）（14）（抛物柱面）（15）（一对平行平面）（16）（一对平行的共轭虚平面）（17）（一对重合平面）EndEnd14谢谢大家！Thankyou!谢谢大家！Thankyou!156.2一般二次曲面的化简与分类

（Simplificationandclassificationofgeneralquadraticsurfaces）6.2.1代数理论(Thealgebraictheory)由代数知识知道,实对称矩阵可用正交矩阵对角化,即对实对称矩阵A,存在正交矩阵T,使为对角矩阵,且对角线上的元素为A的特征值(特征根)1,2,3,即方程

的根,它们全为实数,因而有经过直角坐标变换(转轴变换),曲面方程为

(6.2-3)6.2一般二次曲面的化简与分类

（Simplificati16二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程==0称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.它是关于的一元三次方程,即解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质：（1）1,2,3不全为零;（2）1,2,3都是实数;（3）1+2+3=I1;（4）123=I3.二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程176.2.2二次曲面的分类与化简

（simplificationandclassificationofquadraticsurfaces）在（6.2-3）的基础之上,通过配方,在作移轴,就可将方程（6.2-3）进一步化简,并了解所对应的曲面.1）情形1：1,2,3,都不为0.这时，有I3≠0,即曲面为中心型曲面。作移轴可得（6.2-4）6.2.2二次曲面的分类与化简

（simplificatio18（1）1,2,3a'44>0,

1)1,2,3同号,标准方程.虚椭球面2)1,2,3异号,标准方程.单叶双曲面

(2)1,2,3a'44<0,3)1,2,3同号,标准方程.椭球面4)1,2,3异号,标准方程.双叶双曲面(3)a'44=0,

5)1,2,3同号,标准方程.一点;6)1,2,3异号,标准方程.二次锥面

（1）1,2,3a'44>0,192)情形2：1,2,3中只有一个为0这时有I3=0,I4

≠0,即曲面为非中心型曲面.不妨设3=0，作移轴则有

（6.2-5）2)情形2：1,2,3中只有一个为020(1)若a34

≠0,再作移轴化简为（6.2-6）7)12>0,标准方程.椭圆抛物面8)12<0,标准方程.双曲抛物面(1)若a34≠0,再作移轴化简为21(2)若a34=0,a'44≠0,

方程化简为9)1,2同号,但与a'44异号,标准方程.椭圆柱面10)1,2,a'44同号,标准方程.虚椭圆柱面11)12<0,标准方程可化为.双曲柱面.(2)若a34=0,a'44≠0,方程化简为22(3)若a34=a'44=0

12)1,2同号,即1,2>0,标准方程.一对相交于一条实直线的虚平面;

13)1,2异号,即1,2<0,标准方程.一对相交平面.(3)若a34=a'44=012)1,2同号,233)情形3:1,2,3中有两个为0.这时有I3=0，I4=0,不妨设1≠0,作移轴

则有（1）a24,a34中至少有一个不为0,作变换可化简成14)标准方程抛物柱面.3)情形3:1,2,3中有两个为0.24(2)a24=a34=015)1与a'44异号,标准方程.一对平行平面;16)1与a'44同号,标准方程.一对虚的平行平面;17)a'44

=0,标准方程.一对重合平面.(2)a24=a34=015)1与a'44异号,标25定理1

选取适当的坐标系,二次曲面方程（6.1-1）总可以化简为以下五类简化方程中的一个：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)一般二次曲面的化简与分类课件26并且可以写成下面十七种标准方程的一中形式：（1）