导数与微分课件

导数与微分第二章导数与微分导数与微分第二章导数与微分导数与微分§２-１导数的概念导数与微分§２-１导数的概念导数与微分一、导数的定义问题的提出１

１、变速直线运动的速度已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时速度。导数与微分一、导数的定义问题的提出１

１、变速直线运动导数与微分２、

质量非均匀分布的细杆线密度已知质量m=m(x),求某点的线密度。抽象为数学概念：平均变化率：当时的极限称为x0处的导数。导数与微分２、质量非均匀分布的细杆线密度抽象为数学概念：导数与微分导数derivative定义1p24记为：变化率：函数在点的变化速度。定义2：导函数的概念：如果函数f(x)在区间(a,b)内都可导，则区间(a,b)内每一点x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函数f(x)在区间(a,b)内对x的导函数derivedfunction。

导数与微分导数derivative定义1p24记导数与微分左导数和右导数f’(x0)存在的充分必要条件是左右导数存在并相等。导数与微分左导数和右导数f’(x0)存在的充分必要条件是左导数与微分几何意义：是曲线在点的切线斜率。物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。求求导方法：（1）求出函数的增量ABxyx0X0+△x△x△yαφMoMTdy导数与微分几何意义：是曲线在点的切线斜率。求导数与微分２、作出比值：

３、求出时的极限。

二、可导与连续的关系函数在点连续，指,可导是存在。定理：如果y=f(x)

在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。导数与微分２、作出比值：３、求出时的极限。二导数与微分逆命题不成立。

例：例3p24结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。三、导数的基本公式：导数与微分逆命题不成立。例：例3p24三、导数的基本公导数与微分例4：常数函数的导数

设自变量增量，恒有

则

因此

导数与微分例4：常数函数的导数导数与微分

例5：幂函数

（n为正整数）的导数即：导数与微分例5：幂函数导数与微分对于n为任意实数时，上式也成立。

例7：正弦函数

的导数

导数与微分对于n为任意实数时，上式也成立。例7：正弦函数导数与微分xxsin)(cos'-=

例6：对数函数

的导数

导数与微分xxsin)(cos'-=例6：对数函数导数与微分特别地，当时，有

导数与微分特别地，当时，有导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分课件导数与微分§2-2导数的运算法则一、导数的四则运算

定理1

如果u、v都是x的可导函数，则函数也是x的可导函数，可以推广到有限多个函数的代数和。

导数与微分§2-2导数的运算法则定理1如果u、v都是导数与微分定理2如果u、v都是x的可导函数，则y=uv也是x的可导函数，特别地，当u=c(c为常数时)，

可以推广到有限多个函数的乘积的情况。

导数与微分定理2如果u、v都是x的可导函数，则y=uv导数与微分定理3

如果u、v都是x的可导函数，且则函数

也是x的可导函数，证明2

设当自变量有增量时，函数对应增量导数与微分定理3如果u、v都是x的可导函数，且证明2导数与微分例:

例1、2、3、4p26

导数与微分例:例1、2、3、4p26导数与微分二、复合函数求导法则定理4

如果函数在点x可导，在与x对应的u点可导，则复合函数在点x也可导，且dxdududydxdy=导数与微分二、复合函数求导法则dxdududydxdy=导数与微分证明：自变量增量

导数与微分证明：自变量增量导数与微分结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）可以推广到有限次复合函数的求导

例题p28例5－9导数与微分结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以导数与微分例：例：导数与微分例：例：导数与微分例：解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取对数(或)例：导数与微分例：解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取例：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分xyAB6m10m导数与微分xyAB6m10m导数与微分课件导数与微分三、隐函数的求导方法

显函数：函数可表示为其中f(x)由x的解析式表示。隐函数：自变量x与因变量y的对应关系由F(x,y)=0

来确定。

例如：

y不能显化为x的函数导数与微分三、隐函数的求导方法显函数：函数可表示为例导数与微分方法：将方程两边对x求导，在求导过程中，将y看做中间变量（因为y是x的函数），对含有y的函数的项按复合函数的求导法则求导。然后解出y’.例题：p29例10－13导数与微分方法：将方程两边对x求导，在求导过程中，将导数与微分

四、取对数求导方法幂指函数－底数与指数都含有自变量的函数。方法：两边取对数，用隐函数求导方法求导。例：例14、15、16p30五、基本初等函数的导数公式p30导数与微分导数与微分六、高阶导数一阶导数：，一般仍是x的函数。二阶导数：如果仍可导，则把的导数称为f(x)的二阶导数。记为一般，n-1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记为高阶导数：二阶或二阶以上的导数。例：p31

例17－19方法：按求导法则逐阶求导，有些函数n阶导数有规律。导数与微分六、高阶导数一阶导数：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分课件导数与微分§2－3变化率模型一、独立变化率模型

例1、2、3p32

直接计算因变量对自变量的导数。二、相关变化率模型

例4、5、p33

建立相关变量等式，分别计算各变量对时间的变化率。导数与微分§2－3变化率模型一、独立变化率模型导数与微分hr24例5p33导数与微分hr24例5p33导数与微分三、边际函数导数与微分三、边际函数导数与微分例：例6、7p34导数与微分例：例6、7p34导数与微分§2-3函数的微分一、微分的概念例1：边长为x正方形，面积S=x2,边长增加Δx,面积增量：x0Δxx第一部分是Δx的线性函数第二部分比Δx更高阶无穷小量。导数与微分§2-3函数的微分一、微分的概念例1：边长为x导数与微分定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数与自变量增量的乘积为函数y=f(x)在点x的微分记为dy=df(x)=

通常自变量的增量称为自变量的微分，

导数与微分定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数与微分

函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，导数也称微商differentialquotient。（可导又称可微）以前将dy/dx看成导数的整体记号，现在它像普通分式一样可运算变形。例：p35例2

导数与微分函数的导数等于函数的微分与自变导数与微分例：正圆锥容器如图。装有1000ml水，如再加10ml水，水面升高多少？hrα导数与微分例：正圆锥容器如图。装有hrα导数与微分二、微分的几何意义：微分dy就是点P切线纵坐标的增量代替曲线y=f(x)在点P的割线纵坐标的增量。p36图2-5导数与微分二、微分的几何意义：微分dy就是点P切线纵导数与微分导数与微分导数与微分三、微分的计算1、基本初等函数的微分公式p362、微分四则运算法则设u、v、w都是可微函数，则((1)

d(u+v-w)=du+dv-dw

(2)d(cu)=cdu

(3)d(uv)=vdu+udv例3p36导数与微分三、微分的计算1、基本初等函数的微分公式p3导数与微分(

(4)一设是的复合函数。由复合函数的求导法则，有则：一阶微分形式不变性导数与微分(

导数与微分这与u是自变量，函数y=f(u)的微分在形式上是一样的。例：p36

例4、5例：例：导数与微分这与u是自变量，函数y=f(u)的微分例：例：导数与微分四、微分的应用

增量与微分关系：当很小时，有导数与微分四、微分的应用增量与微分关系：导数与微分几个近似公式：

例：p38例6、7、8、9例：导数与微分几个近似公式：例：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分课件导数与微分五、误差估计

偶然误差—由于诸多无法控制的属于测量者自身或外界环境干扰等因素所引起的误差。系统误差—由于测量仪器设备的缺陷、测量方法的不尽完善或测量者自身习惯等产生的误差绝对误差：

M—精确值，m—测量值，则称为绝对误差。相对误差：

导数与微分五、误差估计偶然误差—由于诸多无法控制的属于测量导数与微分函数y=f(x),测量x时绝对误差△x,当│△x│很小时，函数的绝对、相对误差为：例10、11p39导数与微分函数y=f(x),测量x时绝对误差△x,当│△x│导数与微分例：测量一立方体边长，其准确度任何，才能使求得的体积相对误差不超过1%。导数与微分例：测量一立方体边长，其准确度任何，才能导数与微分课件导数与微分第二章导数与微分导数与微分第二章导数与微分导数与微分§２-１导数的概念导数与微分§２-１导数的概念导数与微分一、导数的定义问题的提出１

１、变速直线运动的速度已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时速度。导数与微分一、导数的定义问题的提出１

１、变速直线运动导数与微分２、

质量非均匀分布的细杆线密度已知质量m=m(x),求某点的线密度。抽象为数学概念：平均变化率：当时的极限称为x0处的导数。导数与微分２、质量非均匀分布的细杆线密度抽象为数学概念：导数与微分导数derivative定义1p24记为：变化率：函数在点的变化速度。定义2：导函数的概念：如果函数f(x)在区间(a,b)内都可导，则区间(a,b)内每一点x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函数f(x)在区间(a,b)内对x的导函数derivedfunction。

导数与微分导数derivative定义1p24记导数与微分左导数和右导数f’(x0)存在的充分必要条件是左右导数存在并相等。导数与微分左导数和右导数f’(x0)存在的充分必要条件是左导数与微分几何意义：是曲线在点的切线斜率。物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。求求导方法：（1）求出函数的增量ABxyx0X0+△x△x△yαφMoMTdy导数与微分几何意义：是曲线在点的切线斜率。求导数与微分２、作出比值：

３、求出时的极限。

二、可导与连续的关系函数在点连续，指,可导是存在。定理：如果y=f(x)

在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。导数与微分２、作出比值：３、求出时的极限。二导数与微分逆命题不成立。

例：例3p24结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。三、导数的基本公式：导数与微分逆命题不成立。例：例3p24三、导数的基本公导数与微分例4：常数函数的导数

设自变量增量，恒有

则

因此

导数与微分例4：常数函数的导数导数与微分

例5：幂函数

（n为正整数）的导数即：导数与微分例5：幂函数导数与微分对于n为任意实数时，上式也成立。

例7：正弦函数

的导数

导数与微分对于n为任意实数时，上式也成立。例7：正弦函数导数与微分xxsin)(cos'-=

例6：对数函数

的导数

导数与微分xxsin)(cos'-=例6：对数函数导数与微分特别地，当时，有

导数与微分特别地，当时，有导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分课件导数与微分§2-2导数的运算法则一、导数的四则运算

定理1

如果u、v都是x的可导函数，则函数也是x的可导函数，可以推广到有限多个函数的代数和。

导数与微分§2-2导数的运算法则定理1如果u、v都是导数与微分定理2如果u、v都是x的可导函数，则y=uv也是x的可导函数，特别地，当u=c(c为常数时)，

可以推广到有限多个函数的乘积的情况。

导数与微分定理2如果u、v都是x的可导函数，则y=uv导数与微分定理3

如果u、v都是x的可导函数，且则函数

也是x的可导函数，证明2

设当自变量有增量时，函数对应增量导数与微分定理3如果u、v都是x的可导函数，且证明2导数与微分例:

例1、2、3、4p26

导数与微分例:例1、2、3、4p26导数与微分二、复合函数求导法则定理4

如果函数在点x可导，在与x对应的u点可导，则复合函数在点x也可导，且dxdududydxdy=导数与微分二、复合函数求导法则dxdududydxdy=导数与微分证明：自变量增量

导数与微分证明：自变量增量导数与微分结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）可以推广到有限次复合函数的求导

例题p28例5－9导数与微分结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以导数与微分例：例：导数与微分例：例：导数与微分例：解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取对数(或)例：导数与微分例：解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取例：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分xyAB6m10m导数与微分xyAB6m10m导数与微分课件导数与微分三、隐函数的求导方法

显函数：函数可表示为其中f(x)由x的解析式表示。隐函数：自变量x与因变量y的对应关系由F(x,y)=0

来确定。

例如：

y不能显化为x的函数导数与微分三、隐函数的求导方法显函数：函数可表示为例导数与微分方法：将方程两边对x求导，在求导过程中，将y看做中间变量（因为y是x的函数），对含有y的函数的项按复合函数的求导法则求导。然后解出y’.例题：p29例10－13导数与微分方法：将方程两边对x求导，在求导过程中，将导数与微分

四、取对数求导方法幂指函数－底数与指数都含有自变量的函数。方法：两边取对数，用隐函数求导方法求导。例：例14、15、16p30五、基本初等函数的导数公式p30导数与微分导数与微分六、高阶导数一阶导数：，一般仍是x的函数。二阶导数：如果仍可导，则把的导数称为f(x)的二阶导数。记为一般，n-1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记为高阶导数：二阶或二阶以上的导数。例：p31

例17－19方法：按求导法则逐阶求导，有些函数n阶导数有规律。导数与微分六、高阶导数一阶导数：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分课件导数与微分§2－3变化率模型一、独立变化率模型

例1、2、3p32

直接计算因变量对自变量的导数。二、相关变化率模型

例4、5、p33

建立相关变量等式，分别计算各变量对时间的变化率。导数与微分§2－3变化率模型一、独立变化率模型导数与微分hr24例5p33导数与微分hr24例5p33导数与微分三、边际函数导数与微分三、边际函数导数与微分例：例6、7p34导数与微分例：例6、7p34导数与微分§2-3函数的微分一、微分的概念例1：边长为x正方形，面积S=x2,边长增加Δx,面积增量：x0Δxx第一部分是Δx的线性函数第二部分比Δx更高阶无穷小量。导数与微分§2-3函数的微分一、微分的概念例1：边长为x导数与微分定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数与自变量增量的乘积为函数y=f(x)在点x的微分记为dy=df(x)=

通常自变量的增量称为自变量的微分，

导数与微分定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数与微分

函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，导数也称微商differentialquotient。（可导又称可微）以前将dy/dx看成导数的整体记号，现在它像普通分式一样可运算变形。例：p35例2

导数与微分函数的导数等于函数的微分与自变导数与微分例：正圆锥容器如图。装有1000ml水，如再加10ml水，水面升高多少？hrα导数与微分例：正圆锥容器如图。装有hrα导数与微分二、微分的几何意义：微分dy就是点P切线纵坐标的增量代替曲线y=f(x)在点P的割线纵坐标的增量。p