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定积分的基本公式定积分的基本公式定积分的基本公式资料仅供参考文件编号：2022年4月定积分的基本公式版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：第三讲定积分的基本公式【教学内容】1．变上限积分函数2．牛顿－莱布尼兹公式【教学目标】1．掌握变上限积分函数2．掌握牛顿－莱布尼兹公式【教学重点与难点】牛顿－莱布尼兹公式【教学过程】一、引例一物体作变速直线运动时，其速度，则它从时刻到时刻所经过的路程：另一方面，如果物体运动时的路程函数，则它从时刻到时刻所经过的路程等于函数在上的增量同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的，∴∵∴二、变上限积分函数1．定义：如果函数在区间上连续，那么对于区间上的任一点来说，在区间上仍连续，所以函数在上的定积分存在。也就是说，对于每一个确定的值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限的函数，此函数定义在区间上，把它叫做变上限积分函数，记为。即2．定理1如果函数在区间上连续，则变上限积分函数是函数的原函数，即或证设给以增量，则函数的相应增量为由定积分中值定理有(在和之间)因为在上连续，而时，，因此例1已知，求.解例2已知，求.解例3已知，求.解∵∴例4已知，求.解∵∴三、牛顿－莱布尼兹公式定理2(牛顿－莱布尼兹公式)如果是连续函数在上的一个原函数，则证由定理１知是函数的一个原函数，又是的一个原函数，∴在上式中令，∵，得，代入上式得在上式中令，并把积分变量换为，便得到这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton－Leibnitz）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式。为了方便起见，以后把记成为或，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成或这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取）在积分区间上的增量。计算.

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