2020北京数学高三一模20题汇编

2020北京数学高三一模20汇编1、（2020北京朝阳一模）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）判断函数的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．2、（2020北京东城一模）已知函数().（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间上的最小值.3、（2020北京房山一模）已知函数f（I）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（II）讨论函数f(x)的单调性；（III）若a>0,设函数gx=f4、（2020北京丰台一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.5、（2020北京适应一模）已知椭圆C的两个端点分别为A（0,1），B（0，-1），焦距为.（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为，证明：点D在轴上.6、（2020北京自适应一模）椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为．求椭圆的方程：设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点．7、（2020北京海淀一模）已知椭圆C:x2a2（I）求椭圆C的方程；（II）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A8、（2020北京密云一模）已知椭圆C:x2a2(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段为M.直线AM与直线y=-1交于点N,D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.9、（2020北京平谷一模）已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.(I)求椭圆C的标准方程;(II)求证:为定值.10、（2020北京人大附一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左、右焦点分别为F1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)②利用①中的结论证明直线AB恒过定点(2211、（2020北京15中一模）．已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．12、（2020北京石景山一模）已知函数fx（Ⅰ）若f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，过f(x)上一点(1，1)作13、（2020北京顺义一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和长半轴长都为2，过椭圆C（I）求椭圆C的方程；（II）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP,AQ分别与直线x=4相交于点M,N求证：以MN为直径的圆恒过点F。14、（2020北京通州一模）已知函数，设.（Ⅰ）求的极小值；（Ⅱ）若在上恒成立，求a的取值范围.15、（2020北京西城一模）设椭圆E:x22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.16、（2020北京延庆一模）已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F-2,0,且经过点C(-2,1),A,B（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若PQ=3，求直线l（Ⅲ）若∆BOP的面积是ΔBMQ的面积的4倍，求直线l的方程.答案：1、解：（Ⅰ）因为，所以，，．所以曲线在点处的切线的方程为．（Ⅱ）函数有且仅有两个零点．理由如下：的定义域为．因为，所以在和上均单调递增．因为，，所以在上有唯一零点．因为，，所以在上有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线在点处的切线方程为，即．设曲线在点处的切线斜率为，则，，，即切点为．所以曲线在点处的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以．所以．所以这两条切线重合．所以结论成立．…………15分2、解：（Ⅰ）当时，，所以.又因为，所以切线方程为，即.…………4分（Ⅱ），设，当时,易证在单调递增，不合题意.当时，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以在处取得极大值.依题意，函数有两个零点，则即，解得.又由于，，，由得实数的取值范围为时，有两个极值点.…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以在上单调递减，在区间上的最小值为.………15分3、解：（Ⅰ）由，，得曲线QUOTEy=fx在点QUOTE0，f0处的切线方程为（Ⅱ）定义域为R，令，解得若，，在上单调递增；若，在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；若，上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；（Ⅲ）若，函数的单调减区间为，单调递增区间为.当时，即，由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递减，则当时，即，在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值则，若，则，即综上，实数的取值范围为4、解：（Ⅰ）由题意解得.所以椭圆的方程为.…………5分（Ⅱ)假设存在点使得.设，因为,所以.则.即，所以.因为直线交椭圆于两点，则两点关于轴对称.设，因为，则直线的方程为：.令，得.直线的方程为：.令，得.因为，所以.又因为点在椭圆上，所以.所以.即.所以存在点使得成立.…………14分5、解答：（Ⅰ）由题意知，所以椭圆C的方程为：。（Ⅱ）由题意可设,。则---①因为点D为直线AN上一点，所以，所以所以整理得将①代入整理得，，即所以点D在轴上。6、【解答】解：由题意可知，，解得，，所以椭圆的标准方程；证明：方法一：设点，，，，．其中，，由，，，，即，，注意到，，于是，，，所以，，满足，由的任意性可知，，，即直线恒过一个定点．方法二：设点，过点且与圆相切的直线，，切点分别为，，由圆的知识可知，，是圆以为直径的圆和圆的两个交点，由，消去二次项得直线方程为，由的任意性可知，，，即直线恒过一个定点．方法三：由圆的极点极线可知，已知，为圆外一点，由点引圆的两条切线，，其中，为切点，则直线的方程为，特殊地，知，为圆外一点，由点引圆的两条切线，，其中，为切点，则直线的方程为．设点，由极点与极线可知，直线的方程，即，由的任意性可知，，，即直线恒过一个定点．所以直线恒过一个定点．7【解析】（1）由题得ca=∴椭圆C的方程为：x（2）方法一：设M可求得直线A1M：联立y=y0x0同理：直线A直线A1B：可求得：BQ2BP2而x=4[=4(其中x===2∴BQ2∴∆方法二：设M可求得直线A1M：联立:y=y0同理：直线A直线A1B：线段PQ的中点H,y∴∵===∴PQ的斜率不存在∴PQ⊥AH∴∆方法三：∵QPBQ2BP2而x=4[=4(其中x===∴BQ2∴∆8、解：方法一因为，所以令，得.（1）当时，方程无解，此时函数无零点；（2）当时，解得，此时函数有唯一的一个零点.综上所述，当时，函数无零点；当时，函数有一个零点.方法二（1）当时因为，所以函数无零点；（2）当时因为，，在区间单调递增，所以在区间内有且仅有唯一的零点；若，则，又因为，所以．即函数在区间内没有零点．故当时，有且仅有唯一的零点．（3）当时因为，，并且在区间单调递减，所以在区间内有且仅有唯一的零点；若，则，又因为，所以．即函数在区间内没有零点．故当时，有且仅有唯一的零点．综上所述：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点.9、解：（I）因为，PF1+点M(2,1)在椭圆椭圆C的方程为x2（II）证明：设Ax1,y1,Bx2,与椭圆方程联立得x2+2所以x1直线MA的直线方程为y-1=y1-1x1-2同理xE=-OD=22=代入整理得：OD所以OD+OE为定值············10、解：（Ⅰ）由F1F得c=2椭圆C的方程为：x2（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x29x0②l的方程为：x=9设A(x1,y1)，由①的结论MA的方程为x1x9又其过M92同理有2x2+4t∴点A(x1,y1)，当x=22,y=0时，方程∴直线AB过定点(22,0)11、解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a＝2因为，所以c＝1，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝．所以x0＝，y0＝．因为点F坐标为（1，0），①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．②当k≠±时，则直线PF的斜率kPF＝＝．所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），即．点E到直线PF的距离又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则①当x0＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．②当x°≠1时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．12、解：（I）令hx所以h令h'x=当x变化时，h'x(0,a(h-0+h减极小值增··········5所以在(0,+∞)的最小值为ha令ha2所以当0<a<2e时，hx>0恒成立，即fx（II）可作出2条切线············8理由如下：当a=1时，g设过点(1,1)的直线l与gx=ln则g'x整理得x0令mx=xlnx-2x+1,则mx在(0,+∞)m'x=lnx-1,令当x变化时，m'xx(0,e(m'-0+m减极小值增所以mx在(0,e)且mmme所以mx在1e2,e和e,e2上各有一个零点，即xlnx-2x+1=0有两个不同的解所以，过点13、（I）由题意得2c=2a=2a2=故椭圆C的方程为x24(II)F1,0,A-2,0,直线l由y=k(x-1)3x直线l过椭圆C的焦点，显然直线l椭圆C相交设Px1,y直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2)同理：N(4,6∴FM又FM·F=9+=9+=9+=9-9=0∴以MN为直径的圆恒过点F-------14分14、解：（Ⅰ）………………1分由题意可知，所以………………2分当时，在上单调递增；………………3分当时，在上单调递减………………4分所以在处取得极小值，为………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得当时，………………6分所以在单调递增，所以………………7分即时在恒成立.………………8分当时，………………9分又，………………10分又由于在上单调递增；在上单调递减；所以在上一定存在使得，………………11分所以在递减，在递增，所以………………12分所以在存在，使得，………………13分所以当时，在上不恒成立所以a的取值范围为.………………14分15、（I）由题意可得：AB所以S（II）由题意可设l由x=ty+mx2所以y且∆=4m2AB==同理可得CD因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB即m2=n2,因为（III）不能为矩形。理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为所以点O到直线l1，直线假设平行四边形是矩形，则OA那么x12所以x1=x这与直线l1即平行四边形ABCD不能为矩形。16、解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得（试根法）所以椭圆的标准方程为.…3分法二：设椭圆的右焦点为，则，，，，所以椭圆的标准方程为.…3分（Ⅱ）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在，…4分设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线与该椭圆的交点为由可得，…5分易知，且，…6分则…7分，所以(负舍)，所以直线的方程为.…8分用到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，设点，又解得：所以直线的方程为，即.（Ⅲ）设，，则，易知，.由，，所以直线的方程为.…9分若使的面积是的面积的4倍，只需使得，…10分法一：即=1\*GB3①.…11分设直线的方程为，由得，…12分由得，，…13分代入=1\*GB3①可得，即：（约分后求解）解得，所以.…15分法二：所以