定积分的概念讲义

定积分的概念讲义定积分的概念讲义定积分的概念讲义资料仅供参考文件编号：2022年4月定积分的概念讲义版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念①分割如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…xi－1<xi<…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，区间[xi－1，xi]的长度SKIPIF1<0。②近似取代“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③求和作和式eq\i\su(i＝1,n,)f(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，④取极限当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx.即：SKIPIF1<0注：在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数SKIPIF1<0连续且恒有SKIPIF1<0。那么定积分SKIPIF1<0表示由直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0所围成的曲边梯形的面积。(3)定积分的性质①SKIPIF1<0②eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)．（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）③eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx.（定积分的线性性质）④eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：SKIPIF1<0②推广:SKIPIF1<0③性质解释：性质4性质1性质4性质112yx12yxo例1．计算定积分SKIPIF1<0分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为SKIPIF1<0。即：SKIPIF1<0思考：若改为计算定积分SKIPIF1<0呢改变了积分上、下限，被积函数在SKIPIF1<0上出现了负值如何解决呢例2．求曲线SKIPIF1<0与x=1,y=0所围成的区域的面积解：①分割将区间SKIPIF1<0等分为n个小区间：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，每个小区间的长度为SKIPIF1<0②近似取代过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为SKIPIF1<0为高，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0③求和所有这些小矩形的面积之和为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+…+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0④取极限SKIPIF1<0【习题精练】函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上，（）A.SKIPIF1<0的值变化很小B.SKIPIF1<0的值变化很大C.SKIPIF1<0的值不变化D.当n很大时，SKIPIF1<0的值变化很小答案：D当n很大时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值，可以用下列函数值近似代替的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0答案：C“以直代曲”中，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值SKIPIF1<0B.只能是右端点的函数值SKIPIF1<0C.可以是该区间内任一点的函数值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）D.以上答案均正确答案：C设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，将SKIPIF1<0n等分，在每个小区间上任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0答案：B设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的平均值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0答案：D已知和式SKIPIF1<0当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为 （ ） A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0答案：B下列定积分为1是 （ ） A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0答案：C求由SKIPIF1<0围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（） A．［0，SKIPIF1<0］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］答案：B由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．答案：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。计算SKIPIF1<0=。答案：SKIPIF1<0。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负 （1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．答案：（1）正(2)正(3)负。 ②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。答案：SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0。计算下列定积分：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。答案：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)0；(4)0。利用定积分表示图中四个图形的面积：xOaxOay=x2(1)xO2–1y=x2(2)yyy=(x-1)2-1Ox–12(3)xabOy=1(4)yy答案：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【课下练习】设函数SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，定积分SKIPIF1<0的符号（）A.一定是正的B.一定是负的C.当SKIPIF1<0时是正的，当SKIPIF1<0时是负的D．以上结论都不对答案：A下列式子中不成立的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0答案：CSKIPIF1<0= （ ） A．0 B.SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D。SKIPIF1<0答案：A由直线SKIPIF1<0，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A．SKIPIF1<0 B。SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D。SKIPIF1<0答案：C和式SKIPIF1<0当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为。 答案：SKIPIF1<0。曲线SKIPIF1<0，所围成的图形的面积可用定积分表示为．答案：SKIPIF1<0计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12