数字信号处理课件-第一章第五节

时域离散系统和信号的频域表示对于连续时间系统

h(t)，只要满足条件变换对：

h(t)dt

（绝对可积），则存在H

(

j)

F

[h(t)]

h(t)e

dt

jth(t)

F

1[H

(

j)]

1

2jtH

(

j)e

d时域离散系统和信号的频域表示对于连续时间信号系统，存在卷积定理：y(t)

h(t)*

x(t)Y

(

j)

X

(

j)H

(

j)1.5.1

离散系统对复指数序列的频率响应对于线性时不变系统，若输入序列为x(n)

e

jn

(复指数序列)，则

k

k

e

jn

H

(e

j

)y(n)

h(k

)e

j

(nk

)

e

jn

h(k

)e

jk1.5.1

离散系统对复指数序列的频率响应1．

H

(e

j

)

h(k)e

jkk

2．

y(n)

H

(e

j

)e

jn1.5.1

离散系统对复指数序列的频率响应说明：1．e

jn

称为特征函数。2．H

(e

j

)是一个复常数，称为权重系数。该系数和h(n)和

相关。H

(e

j

)与

的函数关系起到滤波作用。1.5.1

离散系统对复指数序列的频率响应说明：3．输出信号的频率的和输入相同，不可能产生额外的频率。否则必定是非线性或者移变的，或者两者都是。1.5.2

离散系统频率响应离散系统频率响应H

(e

j

)

h(k)e

jk

k

H

(e

j

)是数字角频率

的连续函数，并且是以周期为2

的周期函数1.5.2离散系统频率响应H

(e

j

)

h(n)e

jnn该频率响应的表达式具有 级数的形式，并且是

的周期函数，因此其系数h(n)可以这样求得

1

2h(n)

H

(e

j

)e

jnd1.5.2离散系统频率响应H

(e

j

)可以写成实部和虚部的形式，也可以写成幅度和相角的关系。幅度函数称为幅频响应函数，

相角函数成为相频响应函数。1.5.2离散系统频率响应离散系统频率响应例子1：一个系统的单位取样响应为矩形窗求其频率响应H

(e

j

)0

n

N

1Nh(n)

R

(n)

1/

N0其他n1.5.2离散系统频率响应22

12jH

(e

)

jnh(n)e

njNe

N(

)1

2

jNe

jn1

N

1n0N

j

j1

1

e

j

Ne

N

1

e

j

j

N

j

N

j

N

2e

e

e

N

sin

1

e2

e

22

sin

2

N

5

时图见P15图1－15。1.5.2离散系统频率响应矩形窗N=5时幅度响应和相位响应y=[1

1

1

1

1]/5[Yz,

w]

=

freqz(y,

1,

512,'whole');plot(w/pi,

abs(Yz));

gridxlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('N=5时幅度响应');plot(w/pi,

angle(Yz));

gridxlabel('\omega/\pi');ylabel('相位');title('N=5时相位响应');000.20.40.60.81.21.41.61.821/0.30.20.10.410.90.80.70.60.5幅度N=5时幅度响应0.247200.51/1.52-33210-1-2N=5时相位响应相位000.20.40.60.81.21.41.61.821/10.90.80.70.60.50.40.30.20.1幅度N=10时幅度响应000.20.40.60.81.21.41.61.821/10.90.80.70.60.50.40.30.20.1幅度N=20时幅度响应000.20.40.60.81.21.41.61.821/10.90.80.70.60.50.40.30.20.1幅度N=40时幅度响应1.5.2离散系统频率响应如前面所述，在知道一个系统的单位取样序列h(n)时，可以由：H

(e

j

)

h(n)e

jnn求得系统的频率响应。由于H

(e

j

)是周期函数，并且具有级数的形式，因此可以用级数的公式求得其系数h(n)。即

1

2h(n)

H

(e

j

)e

jnd1.5.2离散系统频率响应例子1：求理想低通滤波器的单位取样响应序列h(n)1

cc

H

(e

j

)

0H

(e

j

)

2

c

c2011.5.2离散系统频率响应理想低通滤波器的单位取样响应序列

sin

cn

1H

(e

j

)e

jnd2h(n)

12cce

jnd

n2c

时图见P16

图1－17。理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系统，是物理不可实现的。1.5.2离散系统频率响应例子1：求理想低通滤波器的

h(n)t

=0.5*(-10:10);h=0.5*sinc(t);stem(2*t,h)hold

et(2*t,h)-10-8-6-4-20246810-0.2-0.100.10.20.30.40.51.5.2离散系统频率响应理想低通滤波器的单位取样响应序列理想低通滤波器频带有限，但为非因果且不稳定系统，是物理不可实现的。1.5.2离散系统频率响应理想低通滤波器的单位取样响应序列因为h(n)不是绝对可和的，因此相应的h(n)的变换sin

cne

jnH

(e

j

)

n

n并不对于所有的

都一致收敛。1.5.2离散系统频率响应理想低通滤波器的单位取样响应序列为

了

说

明

， 比

较jesin

cn

n

jnnH

(e

)

和sin

cn

nMj

jnnMHM

(e

)

e

的图形。omega_c=pi/2;%%%%%%%%%%%%%M=1;omega=-pi:0.01:pi;

temp=size(omega);lp=zeros(size(omega));lp(temp(2)/4:3*temp(2)/4)=1;H=zeros(size(omega));for

m=1:temp(2)for

n=-M:MH(m)=H(m)+0.5*sinc(1/2*n)*exp(-j*omega(m)*n);endendsubplot(221)plot(omega/pi,(H),omega/pi,lp,'r');title('M=1')xlabel('\omega/\pi');

ylabel('·ù¶È');%%%%%%%%%%%%%%%%%%%M=3;omega=-pi:0.01:pi;

temp=size(omega);H=zeros(size(omega));for

m=1:temp(2)for

n=-M:MH(m)=H(m)+0.5*sinc(1/2*n)*exp(-j*omega(m)*n);endendsubplot(222)plot(omega/pi,(H),omega/pi,lp,'r');title('M=3')xlabel('\omega/\pi');

ylabel('·ù¶È');%%%%%%%%%%%%%%%M=7;omega=-pi:0.01:pi;

temp=size(omega);H=zeros(size(omega));for

m=1:temp(2)for

n=-M:MH(m)=H(m)+0.5*sinc(1/2*n)*exp(-j*omega(m)*n);endendsubplot(223)plot(omega/pi,(H),omega/pi,lp,'r');title('M=7')xlabel('\omega/\pi');

ylabel('·ù¶È');%%%%%%%%%%%%%%5M=17;omega=-pi:0.01:pi;

temp=size(omega);H=zeros(size(omega));for

m=1:temp(2)for

n=-M:MH(m)=H(m)+0.5*sinc(1/2*n)*exp(-j*omega(m)*n);endendsubplot(224)plot(omega/pi,(H),omega/pi,lp,'r');title('M=17')xlabel('\omega/\pi');

ylabel('·ù¶È');-1-0.50.51-0.500.511.50/M=1幅度-1-0.50/0.51-0.500.511.5M=3幅度-1-0.50.51-0.500.511.50/M=7幅度-1-0.50/0.51-0.500.511.5M=17幅度1.5.3

序列的

变换序列的

变换(Fourier

Transform)某些参考书上称为离散时间

变换，Discrete

Time

Fourier

Transform。缩写为DTFT1.5.3

序列的变换定义：若序列

满足条件对可和），则存在序列的变换：x(n)x(n)

（绝x(n)e

jnjX

(e

)

n

1

2x(n)

X

(e

j

)e

jnd1.5.3

序列的变换序列的

变换X

(e

j

)是关于数字角频率

的连续函数，

T

。X

(e

j

)是关于数字角频率

的周期函数，周期为2

。1.5.3

序列的变换序列的

变换c).

由于

X

(e

j

)

是关于数字角频率

的连续、周期函数，故可以将其展开成

级数形式，x(n)

则对应其展开系数变换存在的条件是x(n)

（绝对可和），此nx(n)e

jn

级数绝对收敛。j时

X

(e

)

n1.5.3

序列的变换序列的

变换例1：求单位取样序列

(n)的变换例

2；求指数序列

x[n]

nu(n)；

1的变换1.5.3

序列的变换序列的

变换例子３：若x(n)为因果序列，且记F[x(n)]

X

(e

j

)，求F[x(2n)]？n0

x(0)

x(2)e

j

x(4)e

j

2

x(6)e

j

3

j

n2

1n0

222F

[x(2n)]

x(2n)e

jn[

x(n)

(1)n

x(n)]ex(n)e

j

n

j

n

1

2

n0x(n)(1)n

ej

n012122x(n)e

j

(

)n)X

(en012j

(

2

)2j

X

(e

2

)

X

(e

2

)

1.5.3

序列的

变换序列的

变换例子3实际上是一个倍率为2的下抽样器M倍下抽样前的输出信号和输入信号的DTFT满足如下关系：抽样前和抽样后信号频谱显示如下（先拉伸，后移动2pik：F

[x(2n)]Y

eM

1k

01jXeMj

2

k

/

M

1.5.3

序列的变换序列的

变换为了避免混叠，应当对下抽样前的信号进行滤波，截至频率取

/

M1.5.3

序列的

变换下抽样器演示代码freq

=

[0

0.42

0.48

1];mag

=

[0

1

0

0];x

=

fir2(101,

freq,

mag);[Xz,

w]

=

freqz(x,

1,

512);

subplot(211)

;plot(w/pi,abs(Xz));

gridxlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('输入频谱');pause%

Generate

the

down-sampled

sequenceM=input('输入下采样比=');y

=

x([1:

M:length(x)]);[Yz,

w]

=

freqz(y,

1,

512);subplot(212)

;plot(w/pi,abs(Yz));

gridxlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('输出频谱');000.10.20.30.40.60.70.80.910.5/10.80.60.40.2幅度输入频谱000.10.20.30.40.60.70.80.910.5/0.50.40.30.20.1幅度输出频谱1.5.3

序列的变换序列的

变换例子4：复指数序列x(n)

e

j

0

n

的DTFT？

2

0

2

r

r

1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法系统的频率响应对于线性移不变系统，可以用单位脉冲h(n响应表示，也可以用h(n示。变换H

(e

j

)表x(n)y(n)h(n)H

(e

j

)X

(e

j

)Y

(e

j

)H

(e

j

)

F

[h(n)]

nh(n)e

jn

H

(e

j

)

e

j

argH

(e

j

)1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法1．时域卷积定理：若y(n)

x(n)

h(n)则：Y

(e

j

)

X

(e

j

)H

(e

j

)时域卷积定理证明h(n

k

)e

j

(nk

)x(k

)h(n

k

)e

jnx(k)h(n

k

)e

jnx(k)e

X

(e

j

)H

(e

j

)jY

(e

)

nnnk

k

y(n)e

jn[x(n)

h(n)]e

jnk

n

jkm1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法2.

频域卷积定理：若y(n)

x(n)h(n)则Y

(e

j

)

X

(e

j

)

H

(e

j

)。X

(e

j

'

)H

(e

j

(

')

)d

'

1

2频域卷积定理证明X

(e

j

'

)e

j

'nd

'

h(n)e

jnh(n)e

j

(

')n

d

'X

(e

j

'

)H

(e

j

(

')

)d

'y(n)e

jnx(n)h(n)e

jn

1

2

12X

(e

)j

'jY

(e

)

nnnn

2

1

X

(e

j

)

H

(e

j

)1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法3.

对于线性时不变系统，若输入序列为x(n)

e

j0n

(复指数序列)，则y(n)

e

j0n

H

(e

j0

)。1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法离散信号通过系统的频率表示法4.

帕斯瓦尔定理a)x(n)

y

*(n)

1

X

(e

j

)Y

*(e

j

)dnb)22X

(e

j

)

d22

1 x(n)

n帕斯瓦尔定理证明由于F[y

*(n)]

Y

*(e

j

)，根据频域卷积定理，则有F

[x(n)

y

*(n)]

x(n)

y

*(n)e

jn

12

12nX

(e

j

)Y

*(e

j

(

)

)dX

(e

j

)Y

*(e

j

(

)

)d两边取

0

，则有X

(e

j

)Y

*(e

j

)d2x(n)

y

*(n)

1n。帕斯瓦尔定理证明取x(n)

y(n)，代入前面结果即可。物理意义：通过时域或者频域的方法计算信号的能量，其结果是一致的。1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法离散信号通过系统的频率表示法例：一个线性时不变系统，有h(n)

1

(n)

(n

1)

1

(n

2)2

2(1).求H

(e

j

)当x(n)

5

cos

n

时，求y(n)4(2).1.5.4

离散信号通过系统的频率表示法离散信号通过系统的频率表示法

j

2h(n)e

jn

212

121212jH

(e

)

1

(n)

(n

1)

1

(n

2)

e

jnn

2n

j

jj

ee

ee

e

j1

2

e

j