微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题(A卷).填空题(每空2分，共20分).已知limf(x)=A，则对于Vs>0，总存在b>0，使得当xt1+时，恒有I/(x)—A|<£oTOC\o"1-5"\h\z.已知lima2+b+5=2，则a=,bn-g3n-2=oa-B.若当x-x0时，屿。是等价无穷小量，则lim=。x—x0P.若f(x)在点x=a处连续，则limf(x)=。x—a.f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是。.设函数丫=/(x)在xo点可导，则limf(x0+3h)-f(xJ=oh—0h.曲线y=X2+2X-5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为。.d(Jxf'(x)dx)-。.设总收益函数和总成本函数分别为R-24Q-2Q2,C=Q2+5，则当利润最大时产量Q是。.单项选择题(每小题2分，共18分).若数列｛4｝在2的邻域(a-尸+)内有无穷多个点，则()o(A)数列仪「必有极限，但不一定等于a(B)数列｛乂3极限存在，且一定等于a

(D)数列&｝的极限(C)数列｛xn｝(D)数列&｝的极限一定不存在TOC\o"1-5"\h\z.设f(x)=arctg则x=1为函数f(x)的()。x一1(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷型间断点(D)连续点3.lim(1+—)3x-i=()。X.8x(A)1(B)8(C)e2(D)e3.对需求函数Q=e-p，需求价格弹性Ed=-P。当价格p=()时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。(A)3(A)3(B)5(C)6(D)10.假设limf(x)=0，limg(x)=0if(x)，g'(x)在点x0的某邻域内(x0可以除外)存x.x0x.x0在，又a是常数，则下列结论正确的是()。(A)若limf-(x)-二a或8，则limf(xL=a或8x.x0g(x)x-x0gf(x)(B)若lim于(x)二a或8，则limf(x)=a或8x.x0g'(x)x-x0g(x)(C)若limf(l不存在，则limf(-)不存在x.x0g'(x)x-x0g(x)(D)以上都不对.曲线f(x)=x3+ax2+bx+a2的拐点个数是((A)0(B)1(A)0(B)1(C)2(D)37.曲线7.曲线y=4%T((X-2)2)。(A)只有水平渐近线；(A)只有水平渐近线；(B)只有垂直渐近线；(C)没有渐近线；又有垂直渐近线.假设f(%)连续，其导函数图形如右图所示，则f(%)具有((A)两个极大值一个极小值(B)两个极小值一个极大值(C)两个极大值两个极小值(D)三个极大值一个极小值.若/凶的导函数是1-2,则/(x)有一个原函数为()。(A)ln%;(B)Tn%;(C)-X-1；(D)-%-3三．计算题(共36分).求极限lim"+%一％(6分)%f0%%f+8sin2%,%•设%f+8sin2%,%•设f(%)=1a%sin-+b%<0%=0，求a，b的值，使f(%)在(-8,+8)上连续。(6分)%>0〔%．设e%+y=%y+1,求y'及y'(6分)%=0•求不定积分J%e-2%d%(6分).求不定积分1％4一x2dx.(6分)四.利用导数知识列表分析函数y=-1-的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)1一x2五.设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(J」，试证：⑴至少存在一点q^^D，使f&)=己；(2)至少存在一点”在0,q)，使f'm)=1；(3)对任意实数九，必存在x0G(0,q)，使得f(x0)-入［f(x0)-x0］=1。(12分)微积分试题(B卷)一.填空题(每空3分,共18分)Jbf，Q+b)dx=a，e-2xdx二0关于级数有如下结论：①若级数£u,丰0)收敛，则不—发散.nnun=1n=1n②若级数£uQ中0)发散，则£1-收敛.nnun=1n=n=1③若级数£un=1和£V都发散，则£(u+V)必发散.nnnn=③若级数£un=1和£V都发散，则£(u+V)必发散.nnnn=1n=1④若级数£u收敛，£V发散，则£（u土V）必发散.nnnnn=1n=1n=1⑤级数£kunn=1（k为任意常数）与级数£u的敛散性相同.

nn=1写出正确结论的序号..设二元函数z=%—+y+（%+i）inG+y），则dz=.（1,0）.若D是由x轴、y轴及2X+y-2=0围成的区域，则JJd%dy=.D.微分方程%y'+y=0满足初始条件y（1）=3的特解是.二.单项选择题（每小题3分,共24分）.设函数f(%)=J%(t-1)(t+2)dt,则f(%)在区间［-3,2］上的最大值为(0）.2(A)-2311.设I=JJcos%2+D103(C)1(D)4y2dO,I=JJcos(%2+y2)dO,I2D=JJcos(%2+y2)2doD，其中d={(%,y)%2+y241},则有(）.(A)I>I>I(B)I>I>I123321I>I>I(D)I>I>I213312.设u>0,n=123・，若£u发散，£（-1）n-1u收敛，则下列结论正确的是（）.nnnn=1n=1£u£u2,-收敛，£u2,发散£u收敛，£u发散

2n2n-1n=1n=n=1n=1n=1n=1(C)£(u+(C)£(u+u)收敛2n-12nn=1(D)£(u2n-1i2n)收敛n=1.函数f(%,y)在点P(%,y)的某一邻域内有连续的偏导数，是f(%,y)在该点可微的()条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)既非充分又非必要.下列微分方程中，不．属．于．一阶线性微分方程的为().%cosln%(A)%y-y=(B)%yln%+y=3%(In%+1)，ln%(C)(2y-%)y'-y=2%(D)(%2-1)y-%y+2=0TOC\o"1-5"\h\z.设级数£a绝对收敛，则级数£(1+1)na().nnnn=1n=1(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)不能判定敛散性散.设F(%)=J%+2Kesintsintdt，则F(x)().%(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数dudududu_.设u=f(%-y,y-z,t-z)，则一+一+一+一=().d.%dydzdt(A)2f(B)2f(C)2/(D)0123四.计算下列各题(共52分)K_-.J2x,cos%-cos3%d%(5分).2.求曲线y=%2-2%，y=0，%=1，%=3所围成的平面图形的面积.(6分).已知二重积分JJX2do，其中口由y=1—匚江，X=1以及y=0围成.D(工)请画出D的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；(3分)(口)请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；(4分)(印)选择一种积分次序计算出二重积分的值.(4分).设函数u=fQ,y,1有连续偏导数，且z=^(x,y)是由方程xez—yey=*所确定的二元函数，求包,包及du.(8分)d.xdy.求幂级数Y(—1)〃X2n的收敛域及和函数S(x).(8分)2nn=1.求二元函数f(x,y)=(x2+y)e2y的极值.(8分).求微分方程y〃+2y'二e-—x的通解，及满足初始条件f(0)=1,f"(0)=0的特解.(6分)五.假设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)<0,记1x—aF(x)=——JXf(t)dt，证明在(a,b)内F'(x)<0.(6x—a微积分试卷(C)填空题(每空2分,共20分).数列｛x｝有界是数列｛X｝收敛的条件。nn.若y=sinx2,则dy=。.函数y=—，x=0是第类间断点，且为tanx间断点。.若lima^b=3，则a=，b=。XfX—1.在积分曲线族J2xdx中，过点(0，1)的曲线方程.函数f(x)=x在区间［-1,1］上罗尔定理不成立的原因.已知F(x)=Jxe-tdt，则F'(x)=。0P.某商品的需求函数为Q=12--,则当p=6时的需求价格弹性为EQEP单项选择题(每小题2分,共12分))。(B)0(C).若lim—=3，则lim___=(x—x0Px—x0)。(B)0(C)(A)-2

2(D)232.在2.在％=1处连续但不可导的函数是()。y=xy=x-1y=x-1y=ln(x2-1))。(D))。(D)有最大值，但无(D)y=(x-1)23.在区间(-1,1)内，关于函数/(x)=-x2不正确的叙述为((A)(B)有界(C)有最大值，且有最小值最小值4.当x-0时，sin2x是关于乂的()。(A)同阶无穷小(B)低阶无穷小(C)高阶无穷小(D)等价无穷小5.曲线y=x5.曲线y=x+x3在区间()内是凹弧。(-8,0)(0,+8)(-8,+8)(D)以上都不对6.函数ex与6.函数ex与"满足关系式()。ex<exex>exex>ex(D)ex<ex三．计算题(每小题7分,共42分).求极限lim.求极限limxf0x(ex-1)1-cosx一、单项选择题一、单项选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分)：五五.证明题（每小题6分,共12分）x.求极限hm2n•sm—(x为不等于0的常数)。TOC\o"1-5"\h\znT82n一.(1+Q2x.求极限liml——。X.81X/.已知y=1+x”,求yy及可。X=0X=0.求不定积分Jsin!Xdx。x.求不定积分Jxln(x+1)dx。x+1四.已知函数y=三，填表并描绘函数图形。（14分）定义域y'二y〃=单调增区间单调减区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线图形：.设偶函数f(x)具有连续的二阶导函数，且f〃(x)中0。证明：x=0为f(x)的极值点。.就k的不同取值情况，确定方程x-^sinx=k在开区间(0,1)内根的个数，并证明你22的结论。《微积分》试卷(D卷)1.函数f（x，y）在Q,y）=Q0,y0）处的偏导数存在是在该处可微的（）条件。A.充分；B.必要；C.充分必要；D.无关的．.函数z=ln(3+y3)在(1,1)处的全微分A.充分；B.必要；C.充分必要；D.无关的．.函数z=ln(3+y3)在(1,1)处的全微分dz=()。A.dx+dy；B.2(dx+dy)；C.3(dx+dy)；D.3Qx+dy).2.设D为：x2+y2<R2二重积分的值JJxx2+y2dxdy=(）。D.J兀R44微分方程y〃-4y'-5y=e-x+sinx的特解形式为（）。Aae-x+bsinx；ae-x+bcosx+csinx；Caxe-x+bsinx；axe-x+bcosx+csinx.5.下列级数中收敛的是（）。A,£上匕；

n

n=1B.£2n+1n=1C.三21；n2n=1D．£-i"sm—nn=1二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：1x2arcsinx.J1——dx=-1\：1—x2）处取得最大值。.f(x)=Jx(t+1)(t-2)山，则在区间［-2,3］上f(x)在x=(-1）处取得最大值。.已知函数z=xy（x>0）,则生d.xd.zdy4微分方程y'=4x3y在初始条件y=4下的特解是：y=x=0.幂级数£：”xn-1的收敛半径是：R=10nn=1三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：.已知工=f(x-y用)，其画具有二介连续偏导数，求急.已知X=ln三，求生，生。zySx81y.改换二次积分J2dxj2siny2dy的积分次序并且计算该积分。0x.求微分方程y〃-4y'+3y=0在初始条件y=6,y，=10下的特解。x=0xx=0.曲线C的方程为J=f(x)点(3,2)是其一拐点直线/,l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)12处的切线，其交点为(2,4)，设函数f(x)具有三阶导数，计算J3(x2+x)f〃'(x)dx。0四、求幂级数£(-1)〃及的和函数s(x)及其极值(10分工2nn=1五、解下列应用题(本题共2小题，每小题10分，共20分)：(、一a1.某企业生产某产品的产量Q(x,y)=100x4y4，其中x为劳动力人数，y为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性n=2P2，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即Q（0）=10000,求需求函数Q（P）。《微积分》试卷（E卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）.设函数f（1=卜2;X-1在X=1处可导，则（）[ax+b;x>1A.a=0,b=1B.a=2,b=-1C.a=3,b=-2D,a=-1,b=2.已知f（x）在x=0的某邻域内连续，且f（0）=0,lim_f3-=2，则在x=0处Xf01-cosxf（x）满足（）A.不可导B.可导C.取极大值D.取极小值.若广义积分J+s”丁收敛，则（）2x（lnx）kA.k>1B.k>1C.k<1D.k-1

limex+i=(X-—1A.0B产C.不存在口以上都不对5.当5.当x-0时，1一c0sx是关于x2的(A.同阶无穷小.B.低阶无穷小.).C.高阶无穷小.D.等价无穷小.6.函数f6.函数f(x)具有下列特征：f(0)=1,f'(0)=0，当x丰0时，八x)>0,f〃(x)<0,x<0>0,x>0则f(x)的图形为()。(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)二、填空(每小题3分，共18分)sinx.limxx-8.J1<1-x2dx=-i

.已知八x0)存在,则limh-0.设y=ln(X+1)，那么y(n)(x)=.0et2dt=。dxx2•某商品的需求函数Q=75-P2,则在P=4时，需求价格弹性为nP=4ER收入对价格的弹性是竺EPP=4三、计算(前四小题每题5分，后四小题每题6共44分)1．limJXarctantdtXX2+1．limJXarctantdtXX2+12．2XlimX-83．JexInxdx14．jdxx(1+x6).求由Jyetdt+Jxcostdt=0所决定的隐函数y=y4)的导数电00dx.已知吧3是f(x)的原函数，求Jxf'(x)dx。x7•求由曲线y=x3与x=1,y=0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

8•求曲线y=X2与直线y=kx+1所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？x2四、(A类12分)列表分析函数y=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出1+x函数图形。解:(1)函数的定义域D:(f-1)■(-"，无对称性;(2)y'=X2+2X=0,Bx=-2,x=0(1+X)212〃—(2X+2)(1+X)2-2(X2+2X)(1+x)_2yG+X)4(1+X)3(4)垂直渐近线：X=-(4)垂直渐近线：X=-1x(-8,-2)-2(-2,-1)(-1,0)0(0,+8)y'+00+y"+++y/,n极大值-4、,nF，Uy极小值0Z,u；斜渐近线⑸绘图,描几个点(-La,*2，421极小值f21极小值f(0)=0;拐点(1,ln2)(B类12分)列表分析函数y=ln(l+x2)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。解：⑴函数定义域D：(-8,+8)，偶函数关于Y轴对称;=-1,x=1〃2(1+x2)-2"2x2(1+x)(1—=-1,x=1y===0,1+x2为(1+x2)2

⑷该函数无渐近线；⑸绘图，描几个点：(0,0),(-1,ln2),(1,ln2)五、(B类8分)设f(x)连续，证明：Jxrf⑷该函数无渐近线；⑸绘图，描几个点：(0,0),(-1,ln2),(1,ln2)五、(B类8分)设f(x)连续，证明：JxrfufQ)dt]oLo」du-Jx(x-u)f(u)du0证明：令F(x)-JxJuf(t)dt00F(x)-Jxf(t)dt0G(x)-Jx(x-u)f(u)du只需证明F'(x)-G(x)(3分)0G(x)-xJxf(u)du-Jxuf(u)du)du+xf(x)-xf(x)-Jxf(u)du0所以F'(x)=G'(x)(8分)(A类8分)设f(x)在［a,b］上连续在(a◎内可导且f(x)<01F(x)Jxf(t)dt,xe(a,b)x-aa试证(1)F(x)在(a,b)内单调递减(2)0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)证(1)F'(x)=(x-a)f(x)-fxf(t)dt己ea,x

f(x)~f()

x-aa(x-a)2(x-a)f(x-f()(x-a)(x-a)2由f'(x)<0知f(x)单调减，即在(a◎内当&<x时有f(x)<fg)又(x-a)>0可得F'(x)<0.即F(x)在(a力)内单调减.1(2)F(x)-f(x)=——Ixf(t)dt-f(x)x-aa=====f(g-f(x)>0又由f(x)单调减知,f(a)>f《)〉f(x)>f(切于是有0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)《微积分》试卷（F卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）1.设函数f（x）=]x2;x<1在x=1处可导，则（1.lax+b;x>12.A.a=0,b=1B.2.A.a=0,b=1B.a=2,b=-1当xf0时，1-cosx是关于％2的（A.同阶无穷小.B.低阶无穷小.a=3,b=一2a=-1,b=2）.C.高