《二次根式》教材分析报告

《二次根式》教材解析、本章地位与作用本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”此后引入的第三类重要代数式，也是“实数”此后对“数”的认识的深入?本章内容拥有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”从前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”从前，能为解任意直、知识网络归纳角三角形的三边数值扫清阻挡.三、课标及中考要求【课标要求】认识二次根式、最简二次根式的看法，认识二次根式（根号下仅限于数）力口、减、乘、除运算法规，会用它们进行相关的简单四则运算.（不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如a3b,【中考要求】考试要求)AB二次根式认识二次根式的看法，能依照二次根式的性质对代数式作简单变形；及其性质会确定二次根式有意义的条件能在给定条件下，确定字母的值二次根式的理解二次根式的加、减、乘、会进行二次根式的化简，会进行二次根式化简和运算除运算法规的混杂运算（不要求分母有理化）1参照了从前几次同题教材解析稿，例题也大多沿用之约2课时

21.

1二次根式

约2课时21.

2二次根式的乘除

约2课时21.

3二次根式的加减

约3?4课时数学活动与小结四、课时安排建议五、全章授课建议1.

注意本章内容的“工具性”?二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、

二次方程的学习打基础，

因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算(特别是实数的化简和计算)的正确性，提高学生的计算能力?尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用.非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容(如分母有理化等)，相应地，学探诊测试6第6题及此后的题目可不作为基本授课要求.2.从提出二次根式的看法开始，就注意增强“二次根式在必然条件下才有意义”这一看法?防备教材第7页小贴士“在本章中，若是没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导.总有为数很多的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此相关

.3.知识的复习，表现“数式通性”的原则；注意与“整式”

注意对“实数”一章、“分式”相关知识

的联系，相关结论能够类比记忆

.4.注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避

.六、各小节授课建议21.1二次根式(1)实例引入，注意复习开平方、算术平方根的看法和符号表示.(2)二次根式的形式定义：建议不要把精力放在鉴识一个式子可否为二次根式上，而应该重视于理解被开方数是非负数(不要误记为正数)的要求.比方，

2是二次根式吗？按自己的理解，

72作为单独一个数应属于单项式，非二次根式

.学探诊

92页第

6题：以下各式中，必然是二次根式的是：

(A

.W(

B)?(匚

0.3)

2

(

C).-2

(

D.x

,

答案

B.本人认为题干应该改为“以下各二次根式必然有意义的是”总之，真切该提示学生的是“数式通性”：若是被开方数是一个常数，那么它不能够够是负数；若是被开方数含字母，那么它有取值范围的限制(与分式近似)(3)二次根式(根号)的双重非负性：

a—0,(a—0)；(4)教材要求掌握的公式：(.a)2=a(a_0),a^a(a_0),建议授课时提高要求，理解并掌握宵=a=丿a(a.-a(a<0)-a2与(、_a)2的比较：①运算序次不同样：｛,a)2是先求算术平方根再平方，..a2是先平方再求算术平方根;②a的取值不同样：22中a的取值是任意实数；(■.a)中a的取值是a0，而.a③运算结果不同样：(ja)2=a(a^O);恃=心|=丿*?色0).、一a(ac0)(5)代数式的看法：建议合适补充一些代数式的书写规范(若是从前没有讲过)例1:当x是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？(1)+JX-答案：(1)X_1

1;(2)、1-X;(3)---；(4)—.X-1\X-1；(2)X邛；(3)X1；(4)X_O且x=1.提高题：求以下函数解析式中自变量x的取值范围:(1)y=x>2—3-2x;1(2)y-._x———;x+12^1(4)y=.x2-2x2.(3)y=|x|-2答案：(1)31(4)全体实数.—2zx；(2)x乞0且x=—1；(3)x_—且x=2；22例2:若x、y为实数，且y=.、x_2+、2_x+3.求yx的值.(yx=9)例3:判断以低等式可否建立:(=19⑶(-19)2=19).答案：(1)V；(2)X；(3)(4)(5)X；(6)V.例4:已知a,b,c为三角形的三边,.(ab—c)2.(b-c-a)2；(bc-a)2(abc)、、a、、b(1)从详尽到抽象，归纳得出乘法公式:理解二次根式乘除运算法规的合理性：可与anbn=(ab)n做形式上的类比;21.2二次根式的乘除能够利用算术平方根的定义进行推理证明:_—2—2—2_0,、,b一0,,aba、“bab且从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；为降低难度，若是遇到纯二次根式化简问题，能够默认为字母都表示正数;当涉及字母的取值范围问题时，不能够认为字母都是正数.(2)公式的逆用：?ab=?a、:b(a_0,b_0)；.能利用这条性质对二次根式进行化简?注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义，教材在第8页小贴士的讲解：能够开方后移到根号外的因数或因式?在这里，不如多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，尔后再将能开得尽方的因数或因式开出来.初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求:①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，可是单项式；②根号下不再有“开得尽的因数或因式”.⑶除法公式及逆用：0)，：=4心0)注意b0的条件；anfa能够经过归纳、或证明、或类比厂％得出此公式;对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、；运算法规和方法，另一方面，经过一题多解，总结做题经验，使运算■.8：8,2a4jaa更灵便、更简洁.-2a2a2a2aa3_、35_.151555.5(,5)258_22_2_2-a2-a■：..?2a.2a-：/aJa*：aa2—2;又如“JA型，所有:的转变成也许:a型即.a型，所有的，.:转变成.行宁再化简b若是学生感觉不易灵便运用，也可总结为更易操作的“算法”：用详尽的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧?如：当被开方数较大时，可用分解因数的方法将被开方数尽可能写成完好平方数的乘积形式.至此学生应能对12,...1,12.5,等常有数值进行化简.总之，学生在化简运算的简洁性和正确性上都简单出现问题，因此建议在授课过程中先要修业生观察二次根式的特点，依照其特点解析运用哪条性质、哪一种方法来解答，每步运算的依照的什么，培养学生的解析能力和观察能力，以及计算的目的性和条理性.(4)最简二次根式的看法：不要修业生背出定义，重点是遇到实质式子能够加以判断，让学生在练习中熟悉这个看法，同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式.例5::计算：（1）、、3.-.5；1、27；(3)、142、.7；（例6::化简：(1),8；(2)；(3).18；(4)24(5).28；(6).32;(7).48;(8)50；(9)、23(10)'c；16ab例7::计算：(1)(2)325y(3)(4)2；9x⑻匹；(5)(6)3(7)（27(9)计算:2、2,3(1)12已知J22.414，求7200,J0.0002,J0.72的近似值（保留3个有效数字）.21.3二次根式的加减（1）教材采用了“被开方数同样的最简二次根式”的说法；为简洁了然，建议还是类比同类项的看法给出“同类二次根式”的看法，能经过实例判断几个二次根式可否是同类二次根式，注意重申先化简的重要性.例如，分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，最后再给出近似a\1和??12孑的例子.（2）明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质近似分成几个层次进行授课?比方：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等.

?加减法的练习

也同样可细加减运算中常出现的错误种类有：①运算结果含有J2「8或近似的式子；②运算过程中有J4十9=2+3或J?=^J3或近似的问题；片444_2—③运算过程中有.23=5或1_、、2=>12或近似的问题.33（4）二次根式的混杂运算.教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系：第14页：“在有理数范围内建立的运算律，在实数范围内仍建立”；第17页：“在二次根式的运算中，多项式乘法法规和乘法公式依旧适用”.解析式子结构，明确运算序次；关注乘法公式和运算律的应用；例10计算：（1）.8-、.2(2)4、545-84、.228!18-132?2.12-41348-(3)(4)2724'廖+(-1)3-2汉￥(n1)0(5)(6)低-\~45-1024-(7)(8)例11计算：计算少跳步，防备近似5.35-\3=16,2.2.2=8之类的典型错误.（-?、6(5..48-6、274.15)".3.10(3.15-5、6)(3)(4)3、3一263,(5)(、8、48)(2-.12)-(、2(6)(2、33、2)(2、3-3、、2)(7)(43-5)2(8)(5打2.6)?2-2、、3)(9)(3.10)15(3-、10)15(10)(2,33V.6)(2、3-3'、2二)(11).2亠一2站（一3小心b1(12)J(13)叫AB贏八?誇(14)(15)1I22121-221-,32(16)..ab—、a—、b+.ab2(a>0,b>0)\b\a\ba例12一个长方体的长为2.2cm，宽为?3cm，高为,2cm，则它的表面积为______________cm2，体积为cm3.(86、6,4.3)例13若8_..冇的整数部分是a,小数部分是b，则2ab_b2二______________.(5)★章节复习及综合条件求值类题目:例14甲、乙两人对题目“求值：「J』2，其中a二1”有不同样的解答,549甲的解答：1,!?a2-2工1?-a)2J丄a飞，a\aaaaa乙的解答：丄?.12a2aaa谁的解答是错误的？为什么?例16(1)若是a?b=4?.a?2b-5，那么a2b=例15(2)若实数X,y满足..X2y2-23y?3=0，则xy的值是①已知：a+丄-10,求a2^2的值.(6)aa②已知：x=丄?.7-.-」5,y=丄?一7-i5,求x2-xy+y2的值.(11)222(2)搜寻规律、现场学习类:例17已知以低等.9919=10，.9999199=100，.9999991999=1000，依照上述等式的特点，请你写出第四个等式，并经过计算考据等式的正确性;观察上述等式的规律，请你写出第n个等式.4-3(赞同写成Q9^L9的形式)一3)n个9例18观察以低等式:2-121■3—2;(.21)(.2-1)'(32)(、3-2).3.2(、4,3)(一4回答以下问①利用你观察到的规律，化简:1②计算：+..——(9)1」22<332例19有这样一类题目：将.a_2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2?n2二a且mn，则a_2b可变成m2?n2—2mn，即变成(m_n)2开方，从而使得■,a_2；b化简.比方：5_2、_6=322.6=(、-3)2C、2)22J3=(、3,2)2,???、5_2「6(3、2)232请模拟上例解以下问题：(1)\5-26;(、、、42,32七、***拓展专题(1)分母有理化：11^+1a-b,、例20化简：r,1?—产---?--(a=b)3.2’-3一2'.3-1'a_b计算：(―11111d_________________________________________例2111...-----------')(.20081)?21.3、2.4、3.2008,2007二次根式比较大小：例22比较大小：3与2、2(平方法)(3)(2)—5.、7与—65(被开方数)(分母有理化)(4)..2002—.2001与,2001—?.2000(倒数法/分子有理化)例23观察以下各式的特点:、2-1、3-2,3-i22-、3,2—；3?5-2,(1)请依照以上规律填空.2007--2006______”2008-.2007>⑵请依照以上规律写出第n(n一1)个不等式，并证明你的结论.计算以下算式：I

I+

—

_

_

_逅+1

73+0T3+V2

石+阳

74+府亦+7411100、、99101.100(101_、.29)（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）例24（1）已知a<0，化简二次根式..._a3b的正确结果是（）.A—a、.,B.-a..abC.a