等比数列的性质

.z.教学内容【知识构造】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示〔q≠0〕，即：=q〔q≠0〕1"从第二项起〞与"前一项〞之比为常数(q)｛｝成等比数列=q〔,q≠02隐含：任一项"≠0〞是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．3q=1时，{an}为常数2.等比数列的通项公式1:3.等比数列的通项公式2:4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则称这个数G为a与b的等比中项.即G=±〔a,b同号〕如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，反之，假设G=ab,则，即a,G,b成等比数列∴a,G,b成等比数列G=ab〔a·b≠0〕6．等比数列的性质：假设m+n=p+k，则在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？由定义得：，则等比数列的增减性：当q>1,>0或0<q<1,<0时,{}是递增数列;当q>1,<0,或0<q<1,>0时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;【热身练习】求以下各等比数列的通项公式：1.=2,=82.=5,且2=33.=5,且解：1.2.3.以上各式相乘得：【例题精讲】例1是项数一样的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，则数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.例2：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：也成等比数列证明：由题设：b2=ac得：∴也成等比数列例3(1){}是等比数列，且,求(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，成等比数列，求解：(1)∵{}是等比数列，∴＋2＋＝(＋)＝25,又>0,∴＋＝5;(2)∵a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,又a,1,c成等比数列,∴ac＝1,有ac＝1或ac＝－1,当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，∴ac＝－1,∴.例4无穷数列，求证：〔1〕这个数列成等比数列〔2〕这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的，〔3〕这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：〔1〕〔常数〕∴该数列成等比数列〔2〕，即：〔3〕，∵，∴∴且，∴，〔第项〕例5设均为非零实数，，求证：成等比数列且公比为证一：关于的二次方程有实根，∴，∴则必有：，即，∴成等比数列设公比为，则，代入∵，即，即证二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴例6．设为数列的前项和，，，其中是常数．〔1〕求及；〔2〕假设对于任意的，，，成等比数列，求的值．解〔1〕当，〔〕经历，〔〕式成立，〔2〕成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，例7在等差数列｛an｝中，假设a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n〔n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，假设b9＝1，则有等式成立答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n〔n＜17，n∈N*〕；解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，假设a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n〔n＜17，n∈N*〕。【备选例题】例8．如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an〔n∈N*〕，证明{an}是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1〔n≥2〕，于是a1=πr12=，故{an}成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进展分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。例9数列和满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.〔Ⅰ〕对任意实数λ，证明数列不是等比数列；〔Ⅱ〕试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.解：〔Ⅰ〕证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不是等比数列.(Ⅱ)解：因为又,所以当λ＝－18，(∈N+),此时不是等比数列：当λ≠－18时，,由上可知，∴(∈N+).故当λ≠-18时，数列是以－〔λ＋18〕为首项，－为公比的等比数列.点评：此题主要考察等比数列的概念和根本性质，推理和运算能力。例10等比数列{}的前n项和为，对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.〔1〕求r的值；〔2〕当b=2时，记求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以〔2〕当b=2时，,则相减,得所以【稳固练习】1.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=.2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为1或-.3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,则b=-3,ac=9.4.在等比数列{an}中，a1a3a11=8，则a2a8=4.5.假设数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是1.6.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，的值为.7.等比数列{an}前n项的积为Tn,假设a3a6a18是一个确定的常数，则数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是T17.8.在等比数列中,,前项和为,假设数列也是等比数列,则等于〔C〕.(A)(B)(C)(D)C.提示：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，应选择答案C。9.假设互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则〔D〕A．4B．2