概率论与数理统计-第三章第09讲

第

3

章

随机向量及其独立性从本讲起，

开始第三章的学习.它是第二章内容的推广.一维随

量及其分布n

维随量及其分布到现在为止，

只

了一维随及其分布.

但有些随机现象用一个随量量来描述还不够，而需要用几个随

量来描述.§

3.1

随机向量及其联合分布为了研究某一地区6

岁儿童的发育状况，对这一地区的儿童进行

.对这一地区的每一个6岁儿童都能观测到他的身高H和体重W，身高H和体重W

都是随

量，则(H,

W

)是二维随机向量.实例1实例2量，则称(X,Y

,Z)是X,Y

,Z

都是随三维随机向量.在三中，飞机的重心在空中的位置是由三个随量(三个坐标X,Y,Z

）来确定的.说明二维随量(X,Y

)的性质不仅与

X

、Y

有关,而且还依赖于这两个随量的相互关系.一般地，

若X1,

X2,

…，Xn都是随

量，则称X

=(X1,X2,…，Xn)为n维随机向量，简称随机向量.对随机事件A,B,A1，A2，，An以后用n{A,B}表示AB,{A1，A2，，An

}表示

Ai

.i

1一、二维随机向量及其联合概率分布函数1.

对于随机向量(X,Y),称F(

x,

y)

P(

X

x,Y

y)为(X,Y)的联合概率分布函数，简称联合分布.若将(X

,Y

)看成是平面上随机点的坐标,则分布函数F

(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点落在以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形区域内的概率.F(

x,

y)

P(

X

x,Y

y)oy(

x,

y){

X

x,Y

y}x(1)F

(x,y)是变量x

和y

的不减函数.对于任意固定的y,当x2

x1

时,F

(

x2

,

y)

F

(

x1

,

y),对于任意固定的x,当y2

y1时,F

(

x,

y2

)

F

(

x,

y1

).2.

分布函数的性质(2)

0

F

(

x,

y)

1,对于任意固定的y,F

(,

y)

lim

F

(

x,

y)

0x且对于任意固定的x,F

(

x,)F

(,yxy(3)

对于x

和y，F(x,

y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有0lim

F

(

x,

y)

F

(

x0

,

y)x

x

0lim

F

(

x,

y)

F

(

x,

y0

)y

y可以用分布函数计算某些事件的概率.对于任意x1

x2

,

y1

y2

,P{

x1

X

x2

,

y1

Y

y2

}y(

x1

,

y1

)o•(

x1

,

y2

)x(

x2

,

y1

)(

x2

,

y2

)

F

(

x2

,

y2

)

F

(

x2

,

y1

)

F

(

x1

,

y2

)

F

(

x1

,

y1

)

0.例4

一电子元件由两个部件构成，以X，Y分别表示两个部件的(单位：千小时).已知X和Y

的联合分布函数为

0,F

(

x,

y)

(1

e

x

)(1

e

y

),

x

0,

y

0求两个部件的其它都超过100小时的概率.解P{

X

0.1,Y

0.1}P{

X

0.1,Y

0.1}

1

P{

X

0.1,Y

}

P{

X

,Y

0.1}

P{

X

0.1,Y

0.1}

1

F

(0.1,)

F

(,0.1)

F

(0.1,0.1)

1

(1

e0.1

)

(1

e0.1

)

(1

e0.1

)(1

e0.1

)yox

0.1(0.1,0.1)y

0.1x

e0.23.二维随机向量的边缘分布函数分别称X的分布函数FX

(x),Y的分布函数FY

(y)为(X

,Y

)关于X和关于Y的边缘分布函数.已知(X

,Y

)的分布,如何确定X

的分布?F(

x,

y)

P(

X

x,Y

y)

,FX

(

x)

P(

X

x)FX

(x)

P(

X

x)

P(

X

x,Y

)

F

(

x,)(X

,Y

)关于X的边缘分布函数.已知(X

,Y

)的分布,如何确定Y

的分布?F(

x,

y)

P(

X

x,Y

y)

,FY

(

y)

P(Y

y)FY

(

y)

P(Y

y)

P(

X

,Y

y)

F(,

y)(X

,Y

)关于Y的边缘分布函数.二、相互独立的随

量或等价地F

(

x,

y)

FX

(

x)FY

(

y).P(

X

x,Y

y)

P(

X

x)P(Y

y),如果对任何实数x,y，事件{

X

x}与{Y

y}独立,则称随

量X,Y独立.随

量X,Y独立

的充分必要条件是对任何实定义1.1数x,

y，对数集A,B,事件{X

A}，{Y

B}相互独立。定理设X

,Y相互独立.例4（续）

一电子元件由两个部件构成，以X，Y分别表示两个部件的

(单位：千小时).

已知X和Y的联合分布函数为

0,

其它F

(

x,

y)

(1

e

x

)(1

e

y

),

x

0,

y

0判断X与Y是否独立？解F

(

x)

F

(

x,)X1

e

,

x

00,

其它

xFY

(

y)

F

(,

y)

1

e

y

,

y

0

0,

其它F

(

x,

y)

FX

(

x)FY

(

y)

,x,y

R.所以X

与Y

相互独立.同理若再求两个部件的

都超过100小时的概率，则P{

X

0.1,Y

0.1}

P{

X

0.1}

P{Y

0.1}

(1

P{

X

0.1})

(1

P{Y

0.1})

FY

0.(1))1

FX

0.(1))1(

e0.1

e0.1

e0.2联合分布和边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.在两个随

量相互独立的情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布.三、n

维随机向量定义1.3

设X

=

(X1,

X2,

…,

Xn)

是n维随机向量，称F

(

x1

,

x2

,,

xn

)

P{

X1

x1

,

X2

x2

,,

Xn

xn

}x1

,x2

,,xn

为任意实数为X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数,简称联合分布.下面将两个随量相互独立的定义推广到多个随

量的情况.定义1.2若对对于所有x1,

x2

,,

xn

有P(

X1

x1

,

X

2

x2

,,

Xn

xn

)

P(

X1

x1

)P(

X

2

x2

)

P(

Xn

xn

)则称X1

,X

2

,,Xn

是相互独立的.21设

,,X,

Xn，X是随

量.设n

维随机向量(X1

,X

2

,,Xn

)的联合分布函数为F

(x1

,x2

,,xn

).设FX

(

xi

)为

Xi

的边缘分布函数,

i

1,2,,

n.i则

X1

,

X

2

,,

Xn

相互独立的充分必要条件是F

(

x1

,

x2

,,

xn

)

FX

(

x1

)FX

(

x2

)FX

(

xn

).1

2

n如果对任何n,

X1

,

X

2

,,

Xn

相互独立,此时称{Xj}是独立序列.就称随

量序列{

X

j

}

{

X1

,

X2

,,

Xn

,}相互独立.容易理解，

当X1

,

X

2

,,

Xn是来自相互独立进行的随机试验的随

量时它们相互独立

.定理1.1

设X1

,

X

2

,,

Xn相互独立.对数集A1

,A2

,,An

,事件{

X1

A1

}，{

X

2

A2

}，，{

Xn

An

}相互独立.对于一元函数g1

(

x1

),

g2

(

x2

),

gn

(,xn

),随

量Y1

g1

(

X1

),Y2

g2

(

X

2

),

Yn

gn

Xn

)(,相互独立.kkk21

,,X,

Xn21

,,x,(xk

)x,随量21

,,,(

),)对3(

于k元函数相互独立.§

3.2

离散型随机向量及其分布一、二维离散型随机向量及其分布一般地，如果X,Y都是离散型随就称(X,Y)是二维离散型随机向量.量，二维离散型随

量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无穷多对.设二维离散型随机向量(X

,Y

)的所有可能取的值为(xi

,y

j

),i

1,2,,j

1,2,.记pij

P{

X

xi

,Y

y

j

},

i

1,2,,

j

1,2,.称上式为随机向量(X,Y

)的联合分布律，也称为概率分布.二维随机向量(X,Y

)的分布律也可表示为XYx1

x2

xi

y

jy1y22122ppp11p12pi1pi

2p1

j

p2

j

设离散型随机向量(X

,Y

)的概率分布为P{

X

xi

,Y

y

j

}

pij

,

i,

j

1,2,.联合分布律的性质pi

j

0,

i,

j

1,2,.

pi

j

1.i

,

j抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔,一支红笔从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,

随机抽取两支,

若

X、Y

分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求

(X,Y

)的联合分布律.解

(

X,

Y

)

所取的可能值是(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0).例13蓝、2红、3绿2838P(

X

0,Y

0)

3C

2C

23支蓝色、2支红色、3支绿色笔，随机抽取两支,

X、Y

分别表示抽出的蓝笔数和红笔数.31438P(

X

0,Y

1)

3

2C

2C

1C

1148P(

X

1,Y

1)

3

2C

2C

1C

13蓝、2红、3绿2818P(

X

0,Y

2)

2C

2C

22898P(

X

1,Y

0)

3

3C

2C

1C

12838P(

X

2,Y

0)

3C

2C

23蓝、2红、3绿故所求分布律为Y

X012123

289

283

28二维离散型随机向量的联合分布律与边缘分布律的关系是什么？设二维离散型随机向量(X

,Y

)的所有可能取的值为(xi

,y

j

),i

1,2,,j

1,2,.pi,

j

P{X

xi

,Y

y

j

},i

1,2,,

j

1,2,.随

量X的概率分布为pi

P{

X

xi

}

P{

X

xi，y

y

j

}

pij

,j

1

j

1i

1,2,,j

1,2,,

P{

X

xi，Y

y

j

}

pij

,i

1

i

1pj

P{Y

y

j

}称X

的分布{pi

}和Y的分布{pj

}为(X

,Y

)的边缘分布.随

量Y的概率分布为j

1P{

X

xi

}

pij

,

i

1,2,.P{Y

y

j

}

pij

,

j

1,2,.i

1XYx1x2

xiy1p11p12p1

jp21p22p2

j

pi

1

pi

2y2y

j例2

已知随机向量

(X,Y

)的联合分布如如下,

求其边缘分布.Y

X0

1XY101212426142012pi

P{X

xi

}jp

P4242注意联合分布边缘分布解477314737设随

量X

在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,

另一个随

量Y

在

~1X中等可能地取一整数值试求

X

Y

),的(.

联合分布与边缘分布.解

{

X

i,Y

j}例3i

1,2,3,4,j取不大于i的正整数.由乘法公式得pij

P{

X

i,Y

j}

P{

X

i}

P{Y

j

X

i}4

i

1

1i

1,2,3,4,

j

i.于是(X

,Y

)的概率分布为XY12341234111

11114下面求边缘分布XY1234pj141121148311

7

441116pi二、离散型随

量的独立性定理2.1P{

X

xi

,Y

y

j

}

P{

X

xi

}P即pij

pi

pj

,

i

1,2,,

j

1,2,.j对任何xi可能取的值为(xi

,y

j

),i

1,2,,j

1,2,.则X

和Y

相互独立的充分必要条件是设二维离散型随机向量(X

,Y

)的所有两个离散型随量相互独立时，它们的联合分布律等于两个边缘分布律的乘积.量X

在1,2,3,4四个整数中例3（续）设随等可能地取值,

另一个随

量Y

在

~1X中等可能地取一整数值试求

X

Y

),的(.

联合分布与边缘分布.判断X,Y是否相互独立?XY1234pj141121148311

7441116pi14X与Y不相互独立.因为

X

与

Y

相互独立,

所以P

X

xi

Y

yj

P

X

xi

P

Y

yj

}{解求随

量

(

X,

Y

)

的分布律.例4

设两个独立的随量X与Y

的分布律为X

1

3PX

0.3

0.7Y

2

4PY

0.6

0.4P

Y

21

0.3

0.6

0.18,P

X

Y

P

X

P{

X

1,Y

4}

P{

X

1}P{Y

4}

0.3

0.4

0.12,P{X

3,Y

2}

P{X

3}P{Y

2}

0.7

0.6

0.42,P{X

3,Y

4}

P{X

3}P{Y

4}

0.7

0.4

0.28.因此(X

,Y

)的联合分布律为YX2

4130.180.420.120.28三、n维离散型随机向量一般地，如果X1,X2,…,Xn

都是离散型随

量，就称X

=

(X1,

X2,

…,

Xn)

是n维离散型随机向量.如果X所有可能不相同的取值是(x(j1

),

x(j2

),

…,

x(jn

)),

j1

,

j2

,

…,jn=1,2,….则称p(

j1

,

j2

,

…,jn)=P

(X1

=x(j1

),

X2

=

x(j2

),

…,

Xn

=

x(jn

))是X的联合概率分布.设实验S只有3种可能的结果A1,A2,A3，对试验S进行n次独立重复试验,用Xi

表示这

n

次试验中事件Ai发生的次数,i

=1,2,

3.

试求

(X1,X2)的联合概率分布与边缘分布.X1

,X

2

,X

3可能取的值为0，1，2，，n解例3又X1

X

2

X

3

n,且X1

X

2

n.对非负整数k1

,

k2

,且k1

k2

n,

事件{

X1

k1

,

X

2

k2

}

{

X1

k1

,

X

2

k2

,

X

3

n

k1

k2

}.事件{

X1

k1

,

X

2

k2

}发生的方式共有1Ck

C

k2

C

nk1

k2n

nk1

nk1

k2种.k1!k2

!(n

k1

k2

)!n!设P(

Ai

)

pi

,

i

1,2,,

n,

pi

p2

p3

1.