高中数学三角恒等变换练习

..高中数学三角恒等变换练习一．选择题〔共12小题1．〔2016•XX模拟已知sin〔x+=,则cosx+cos〔﹣x的值为〔A．﹣ B． C．﹣ D．2．〔2016•XX一模cos160°sin10°﹣sin20°cos10°〔A．﹣ B． C．﹣ D．3．〔2015•天津校级一模若sin2α=,sin〔β﹣α=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是〔A． B． C．或 D．或4．〔2015•XX一模sin15°﹣cos15°=〔A． B． C．﹣ D．﹣5．〔2015•XX一模sin135°cos〔﹣15°+cos225°sin15°等于〔A．﹣ B．﹣ C． D．6．〔2015•XX校级二模若向量=〔sin〔α+,1,=〔1,cosα﹣,⊥,则sin〔α+=〔A．﹣ B． C．﹣ D．7．〔2015•XX校级四模在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC=〔A． B． C． D．8．〔2015•XX一模已知α,β∈〔0,π且,则2α﹣β=〔A． B． C． D．9．〔2015•XX校级模拟已知向量,且,则sin2θ+cos2θ的值为〔A．1 B．2 C． D．310．〔2015•XX一模已知12sinα﹣5cosα=13,则tanα=〔A．﹣ B．﹣ C．± D．±11．〔2015春•XX期末下列各式中,值为的是〔A．sin15°cos15° B．C． D．12．〔2015秋•XX校级期末已知tanx=﹣,则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为〔A．﹣ B．2 C．﹣2或2 D．﹣2二．填空题〔共15小题13．〔2016春•XX校级月考cos〔α+β=,tanαtanβ=,求cos〔α﹣β=．14．〔2016•凉山州模拟设向量=〔3cosx,1,=〔5sinx+1,cosx,且∥,则cos2x=．15．〔2015•XX模拟已知α为第二象限角,,则cos2α=．16．〔2015•XX校级四模若cos2〔α+=,则sin2α=．17．〔2015•XX三模已知sinα﹣cosα=〔0＜α＜,则sin2α=,sin〔2α﹣=．18．〔2015•XX模拟若,则cos2α=．19．〔2015•闵行区一模已知θ∈〔,π,sin﹣cos=,则cosθ=．20．〔2015春•黄冈月考已知α为第四象限角,sinα+cosα=,则cos2α=．21．〔2016•XX一模已知θ是第三象限角,且sinθ﹣2cosθ=﹣,则sinθ+cosθ=．22．〔2015•徐汇区模拟若sinαcosα=﹣,α∈〔,π,则sinα﹣cosα=．23．〔2015秋•XX期末若tanα=2,则的值为．24．〔2015春•邗江区期中sin40°〔tan10°﹣=．25．〔2015春•宜城市校级期中化简=．26．〔2012•靖宇县校级模拟=．27．〔2012•XX模拟在△ABC中,若tanA+tanB+tanC=1,则tanAtanBtanC=．三．解答题〔共3小题28．〔2016•宝山区一模设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边,若向量,且,〔1求tanA•tanB的值；〔2求的最大值．29．〔2016•XX模拟已知向量=〔sinA,cosA,=〔,1,•=,且A为锐角．〔1求角A的大小；〔2求函数f〔x=cos2x+8sinAsinx〔x∈R的值域．30．〔2016•嘉定区一模已知x∈R,设,,记函数．〔1求函数f〔x的最小正周期和单调递增区间；〔2设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f〔C=2,,a+b=3,求△ABC的面积S．2016年04月06日917852049@的高中数学三角变换组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题1．〔2016•XX模拟已知sin〔x+=,则cosx+cos〔﹣x的值为〔A．﹣ B． C．﹣ D．[考点]两角和与差的余弦函数．[专题]计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．[分析]根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．[解答]解：cosx+cos〔﹣x=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin〔x+=,故选：B．[点评]本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式,属于基础题．2．〔2016•XX一模cos160°sin10°﹣sin20°cos10°〔A．﹣ B． C．﹣ D．[考点]两角和与差的正弦函数．[专题]计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．[分析]根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出．[解答]解：cos160°sin10°﹣sin20°cos10°,=﹣cos20°sin10°﹣sin20°cos10°,=﹣〔cos20°sin10°+sin20°cos10°,=﹣sin30°,=﹣,故选：C．[点评]本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式,属于基础题．3．〔2015•天津校级一模若sin2α=,sin〔β﹣α=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是〔A． B． C．或 D．或[考点]两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．[专题]三角函数的求值．[分析]依题意,可求得α∈[,],2α∈[,π],进一步可知β﹣α∈[,π],于是可求得cos〔β﹣α与cos2α的值,再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．[解答]解：∵α∈[,π],β∈[π,],∴2α∈[,2π],又sin2α=＞0,∴2α∈[,π],cos2α=﹣=﹣；又sin〔β﹣α=,β﹣α∈[,π],∴cos〔β﹣α=﹣=﹣,∴cos〔α+β=cos[2α+〔β﹣α]=cos2αcos〔β﹣α﹣sin2αsin〔β﹣α=﹣×〔﹣﹣×=．又α∈[,],β∈[π,],∴〔α+β∈[,2π],∴α+β=,故选：A．[点评]本题考查同角三角函数间的关系式的应用,着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦,考查转化思想与综合运算能力,属于难题．4．〔2015•XX一模sin15°﹣cos15°=〔A． B． C．﹣ D．﹣[考点]两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．[专题]三角函数的求值．[分析]利用两角和差的正弦公式,进行化简即可．[解答]解：sin15°﹣cos15°=sin〔15°﹣45°==﹣,故选：C．[点评]本题主要考查三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．5．〔2015•XX一模sin135°cos〔﹣15°+cos225°sin15°等于〔A．﹣ B．﹣ C． D．[考点]两角和与差的正弦函数．[专题]三角函数的求值．[分析]首先利用诱导公式,化为同角的三角函数,然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值．[解答]解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin〔45°﹣15°=sin30°=；故选C．[点评]本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点,熟练运用．6．〔2015•XX校级二模若向量=〔sin〔α+,1,=〔1,cosα﹣,⊥,则sin〔α+=〔A．﹣ B． C．﹣ D．[考点]两角和与差的正弦函数．[专题]三角函数的求值．[分析]利用向量垂直的等价条件进行化简,利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．[解答]解：∵⊥,∴•=0,即sin〔α++cosα﹣=0,即sinα+cosα=,即sinα+cosα=,即sin〔α+=,∴sin〔α+=sin〔α++π=﹣sin〔α+=﹣,故选：C[点评]本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．7．〔2015•XX校级四模在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC=〔A． B． C． D．[考点]两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．[专题]三角函数的图像与性质．[分析]利用两角和与差的正切函数公式化简tan〔A+B,将已知等式变形后代入求出tan〔A+B的值,进而确定出tanC的值,利用特殊角的三角函数值求出C的度数,即可确定出cosC的值．[解答]解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1,即tanA+tanB=tanAtanB﹣1,∴tan〔A+B==﹣1,即tan〔A+B=﹣tanC=﹣1,∴tanC=1,即C=,则cosC=cos=．故选B[点评]此题考查了两角和与差的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键．8．〔2015•XX一模已知α,β∈〔0,π且,则2α﹣β=〔A． B． C． D．[考点]两角和与差的正切函数．[专题]计算题；三角函数的求值．[分析]根据已知条件配角：α=〔α﹣β+β,利用两角和的正切公式算出tanαtan[〔α﹣β+β]═,进而算出tan〔2α﹣β=1．再根据α、β的范围与它们的正切值,推出2α﹣β∈〔﹣π,0,即可算出2α﹣β的值．[解答]解：∵,∴tanα=tan[〔α﹣β+β]===,由此可得tan〔2α﹣β=tan[〔α﹣β+α]===1．又∵α∈〔0,π,且tanα=＜1,∴0＜α＜,∵β∈〔0,π,＜0,∴＜β＜π,因此,2α﹣β∈〔﹣π,0,可得2α﹣β=﹣π=﹣．故选：C．[点评]本题已知角α﹣β与角β的正切值,求2α﹣β的值．着重考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识,属于中档题．解决本题时,请同学们注意在三角函数求值问题中"配角找思路"思想方法的运用．9．〔2015•XX校级模拟已知向量,且,则sin2θ+cos2θ的值为〔A．1 B．2 C． D．3[考点]三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．[专题]计算题．[分析]由题意可得=0,即解得tanθ=2,再由sin2θ+cos2θ==,运算求得结果．[解答]解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0,即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1,故选A．[点评]本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题．10．〔2015•XX一模已知12sinα﹣5cosα=13,则tanα=〔A．﹣ B．﹣ C．± D．±[考点]三角函数的化简求值．[专题]三角函数的求值．[分析]利用辅助角公式将函数进行化简,得到α=θ++2kπ,利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可[解答]解：由12sinα﹣5cosα=13,得sinα﹣cosα=1,设cosθ=,则sinθ=,则tanθ==,则方程等价为sin〔α﹣θ=1,则α﹣θ=+2kπ,即α=θ++2kπ,则tanα=tan〔θ++2kπ=tan〔θ+==；故选B[点评]本题主要考查三角函数求值,利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键11．〔2015春•XX期末下列各式中,值为的是〔A．sin15°cos15° B．C． D．[考点]三角函数的化简求值；二倍角的正切．[专题]计算题．[分析]利用公式对四个选项进行化简求值,所得的结果是的选项即为正确选项,A选项可用正弦的2倍角公式化简,B选项可用余弦的2倍角公式化简,C选项可用正切的2倍角公式化简,D选项中是特殊角,计算即可[解答]解：A选项,sin15°×cos15°=sin30°=,不正确；B选项,=,不正确；C选项,=,正确；D选项,≠,不正确．综上知C选项正确故选C[点评]本题考查三角函数的化简求值,解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式,及特殊角的函数值,由此对三角函数进行化简．本题涉及公式较多,知识性强,对基本公式要熟练掌握．12．〔2015秋•XX校级期末已知tanx=﹣,则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为〔A．﹣ B．2 C．﹣2或2 D．﹣2[考点]三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．[专题]三角函数的求值．[分析]化tanx=﹣为=,得出,cosx=﹣2sinx．由sin2x+cos2x=1,求得sin2x=,将原式化为关于sin2x的三角式求解．[解答]解：tanx=﹣,即=,cosx=﹣2sinx．由sin2x+cos2x=1,得5sin2x=1,sin2x=所以原式=sin2x﹣6sin2x﹣1=5sin2x﹣1=﹣1﹣1=﹣2故选D[点评]本题考查同角三角函数基本关系式的应用,考查公式应用能力,运算求解能力．二．填空题〔共15小题13．〔2016春•XX校级月考cos〔α+β=,tanαtanβ=,求cos〔α﹣β=．[考点]两角和与差的余弦函数．[专题]三角函数的求值．[分析]首先利用两角和与差的余弦公式以及基本关系式的商数关系,得到关于sinαsinβ、cosαcosβ的方程解之,然后逆用两角和与差的余弦公式求值．[解答]解：由cos〔α+β=,即cosαcosβ﹣sinαcsinβ=①,又tanαtanβ=得2sinαsinβ=cosαcosβ②；由①②得cosαcosβ=,sinαsinβ=,所以cos〔α﹣β=cosαcosβ+sinαsinβ=；故答案为：．[点评]本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用,属于基础题目．14．〔2016•凉山州模拟设向量=〔3cosx,1,=〔5sinx+1,cosx,且∥,则cos2x=．[考点]二倍角的余弦；平面向量共线〔平行的坐标表示．[专题]转化思想；综合法；三角函数的求值．[分析]由条件利用两个向量平行的条件求得sinx的值,再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值．[解答]解：∵向量=〔3cosx,1,=〔5sinx+1,cosx,且∥,∴3cos2x﹣5sinx﹣1=0,即3sin2x+5sinx+2=0,求得sinx=﹣2〔舍去,或sinx=,则cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=,故答案为：．[点评]本题主要考查两个向量平行的条件,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题．15．〔2015•XX模拟已知α为第二象限角,,则cos2α=．[考点]二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．[专题]计算题；压轴题；三角函数的求值．[分析]由α为第二象限角,可知sinα＞0,cosα＜0,从而可求得sinα﹣cosα的值,利用cos2α=﹣〔sinα﹣cosα〔sinα+cosα可求得cos2α．[解答]解：∵,两边平方得：1+sin2α=,∴sin2α=﹣,①∴〔sinα﹣cosα2=1﹣sin2α=,∵α为第二象限角,∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα﹣cosα=,②∴cos2α=﹣〔sinα﹣cosα〔sinα+cosα=〔﹣×=．故答案为：．[点评]本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得sinα﹣cosα的值是关键,属于中档题．16．〔2015•XX校级四模若cos2〔α+=,则sin2α=．[考点]二倍角的正弦．[专题]三角函数的求值．[分析]由条件利用半角公式求得sin2α的值．[解答]解：∵cos2〔α+==﹣sin2α=,则sin2α=,故答案为：．[点评]本题主要考查半角公式的应用,属于基础题．17．〔2015•XX三模已知sinα﹣cosα=〔0＜α＜,则sin2α=,sin〔2α﹣=．[考点]二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．[专题]三角函数的求值．[分析]把所给的等式平方求得sin2α的值,再利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值,可得cos2α的值,从而利用两角差的正弦公式求得sin〔2α﹣的值．[解答]解：∵sinα﹣cosα=〔0＜α＜,平方可得,1﹣2sinαcosα=,∴sin2α=2sinαcosα=．由以上可得sinα=,cosα=,∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣,∴sin〔2α﹣=sin2αcos﹣cos2αsin=×+=,故答案为：；．[点评]本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用,属于基础题．18．〔2015•XX模拟若,则cos2α=．[考点]二倍角的余弦．[专题]计算题．[分析]把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子,将sinα的值代入即可求出值．[解答]解：因为sinα=,所以cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．[点评]通常,在高考题中,三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置,是基础分值的题目,学生在解答三角函数问题时,往往会出现,会而不对的状况．所以,在平时练习时,既要熟练掌握相关知识点,又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．19．〔2015•闵行区一模已知θ∈〔,π,sin﹣cos=,则cosθ=．[考点]二倍角的余弦．[专题]三角函数的求值．[分析]由θ∈〔,π,sin﹣cos=,求出sin2θ,然后求出cos2θ．[解答]解：∵θ∈〔,π,sin﹣cos=,∴1﹣sinθ=,∴sinθ=,∵θ∈〔,π,∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．[点评]本题考查二倍角的余弦,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数的符号的正确选取．20．〔2015春•黄冈月考已知α为第四象限角,sinα+cosα=,则cos2α=．[考点]二倍角的余弦；三角函数的化简求值．[专题]三角函数的求值．[分析]利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=,再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．[解答]解：∵sinα+cosα=,①∴两边平方得：1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=﹣＜0,∵α为第四象限角,∴sinα＜0,cosα＞0,cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα==,②∴①+②可解得：cosα=,∴cos2α=2cos2α﹣1=2×〔2﹣1=．故答案为：．[点评]本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系,属于中档题．21．〔2016•XX一模已知θ是第三象限角,且sinθ﹣2cosθ=﹣,则sinθ+cosθ=﹣．[考点]三角函数的化简求值．[专题]计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．[分析]由已知得sin2θ+cos2θ=〔2cosθ﹣2+cos2θ=1,由此求出cosθ,进而求出sinθ,由此能求出结果．[解答]解：∵θ是第三象限角,且sinθ﹣2cosθ=﹣,∴sin2θ+cos2θ=〔2cosθ﹣2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣或cosθ=,〔舍∴sinθ=﹣=﹣,∴sinθ+cosθ=﹣．故答案为：﹣．[点评]本题考查三角函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意同角三角函数诱导公式的合理运用．22．〔2015•徐汇区模拟若sinαcosα=﹣,α∈〔,π,则sinα﹣cosα=．[考点]三角函数的化简求值．[专题]计算题；三角函数的求值．[分析]由已知先确定sinα﹣cosα的符号,根据同角三角函数的关系即可求值．[解答]解：∵α∈〔,π,∴sinα＞0,cosα＜0,sinα﹣cosα＞0∵sinαcosα=﹣,∴sinα﹣cosα===故答案为：[点评]本题主要考察了同角三角函数的关系式的应用,属于基本知识的考查．23．〔2015秋•XX期末若tanα=2,则的值为．[考点]弦切互化．[专题]计算题．[分析]把所求的式子分子、分母都除以cosα,根据同角三角函数的基本关系把弦化切后,得到关于tanα的关系式,把tanα的值代入即可求出值．[解答]解：因为tanα=2,则原式===．故答案为：．[点评]此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切,是一道基础题．24．〔2015春•邗江区期中sin40°〔tan10°﹣=﹣1．[考点]三角函数的化简求值．[专题]三角函数的求值．[分析]首先切化弦,然后通分变形为两角差的正弦公式,逆用化简求值．[解答]解：原式=sin40°〔=sin40°=2sin40°sin〔10°﹣60°==﹣=﹣1；故答案为：﹣1．[点评]本题考查了三角函数式的化简求值；一般首先切化弦,然后配凑两角差的正弦公式,逆用化简公式求值．25．〔2015春•宜城市校级期中化简=﹣4．[考点]三角函数的化简求值．[专题]三角函数的求值．[分析]对已知通分,逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简．[解答]解：===﹣4．故答案为：﹣4．[点评]本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式；属于基础题．26．〔2012•靖宇县校级模拟=．[考点]两角和与差的正切函数．[专题]计算题．[分析]先令tan60°=tan〔25°+35°利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=〔1﹣tan25°tan35°,整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°的值．[解答]解：∵tan60°=tan〔25°+35°==．∴tan25°+tan35°=〔1﹣tan25°tan35°∴tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．故答案为：．[点评]本题考查三角函数的化简求值,两角和公式的应用和二倍角公式的应用．考查了学生对三角函数基础公式的理解和灵活一运用．27．〔2012•XX模拟在△ABC中,若tanA+tanB+tanC=1,则tanAtanBtanC=1．[考点]两角和与差的正切函数．[专题]常规题型；计算题．[分析]根据三角形内角和,可得A+B=π﹣C,从而tan〔A+B=﹣tanC,再由两角和的正切公式展开,化简整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,由此不难得到要求的值．[解答]解：∵在△ABC中,A+B+C=π∴A+B=π﹣C,可得tan〔A+B=tan〔π﹣C=﹣tanC,由两角和的正切公式,得=﹣tanC∴tanA+tanB=﹣tanC〔1﹣tanAtanB,即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC∵tanA+tanB+tanC=1,∴tanAtanBtanC=1故答案为：1[点评]本题在三角形中已知三个内角的正切的和,求它们的积,着重考查了两角和的正切公式和诱导公式等知识,属于基础题．三．解答题〔共3小题28．〔2016•宝山区一模设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边,若向量,且,〔1求tanA•tanB的值；〔2求的最大值．[考点]三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．[专题]三角函数的求值．[分析]〔1由,化简得4cos〔A﹣B=5cos〔A+B,由此求得tanA•tanB的值．〔2利用正弦定理和余弦定理化简为,而,利用基本不等式求得它的最小值等于,从而得到tanC有最大值,从而求得所求式子的最大值．[解答]解：〔1由,得．…〔2分即,亦即4cos〔A﹣B=5cos〔A+B,即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB﹣5sinAsinB…〔4分所以,9sinAsinB=cosAcosB,求得．…〔6分〔2因,…〔8分而,所以,ta