高等数学曲线积分与曲面积分习题课课件

第八章曲线积分与曲面积分

习题课

一、主要内容

二、线、面积分的基本计算法

1第八章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义2一、对弧长的曲线积分的概念1.定义2被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量3被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量32.存在条件：3.推广42.存在条件：3.推广4注意：5注意：5二、对弧长的曲线积分的性质6二、对弧长的曲线积分的性质6三、对坐标的曲线积分的概念1.定义7三、对坐标的曲线积分的概念1.定义7类似地定义8类似地定义82.存在条件：3.组合形式92.存在条件：3.组合形式94.推广104.推广10即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质11即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性五、对面积的曲面积分的定义1.定义12五、对面积的曲面积分的定义1.定义12六、对面积的曲面积分的性质13六、对面积的曲面积分的性质13基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧14基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面15曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面15莫比乌斯带典型单侧曲面:播放16莫比乌斯带典型单侧曲面:播放16曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:17曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲七、对坐标的曲面积分的定义18七、对坐标的曲面积分的定义18被积函数积分曲面类似可定义19被积函数积分曲面类似可定义19存在条件:组合形式:物理意义:20存在条件:组合形式:物理意义:20八、对坐标的曲面积分的性质21八、对坐标的曲面积分的性质21九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终22九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长对弧长曲线积分的计算定理23对弧长曲线积分的计算定理23注意:特殊情形24注意:特殊情形24推广:25推广:25例1解26例1解26例2解例3解27例2解例3解27例4解由对称性,知28例4解由对称性,知28对坐标的曲线积分的计算定理29对坐标的曲线积分的计算定理29特殊情形30特殊情形303131例5计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:32例5计算其中L为摆线上对应t从0到例6计算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.33例6计算其中由平面y=z截球十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面34十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分35定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续例7解36例7解363737

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号(上正下负)则有

•

若38•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积解:

把分为上下两部分根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例8.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限部分.39解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否4040例9解41例9解414242第八章曲线积分与曲面积分

习题课

一、主要内容

二、线、面积分的基本计算法

43第八章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义44一、对弧长的曲线积分的概念1.定义2被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量45被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量32.存在条件：3.推广462.存在条件：3.推广4注意：47注意：5二、对弧长的曲线积分的性质48二、对弧长的曲线积分的性质6三、对坐标的曲线积分的概念1.定义49三、对坐标的曲线积分的概念1.定义7类似地定义50类似地定义82.存在条件：3.组合形式512.存在条件：3.组合形式94.推广524.推广10即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质53即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性五、对面积的曲面积分的定义1.定义54五、对面积的曲面积分的定义1.定义12六、对面积的曲面积分的性质55六、对面积的曲面积分的性质13基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧56基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面57曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面15莫比乌斯带典型单侧曲面:播放58莫比乌斯带典型单侧曲面:播放16曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:59曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲七、对坐标的曲面积分的定义60七、对坐标的曲面积分的定义18被积函数积分曲面类似可定义61被积函数积分曲面类似可定义19存在条件:组合形式:物理意义:62存在条件:组合形式:物理意义:20八、对坐标的曲面积分的性质63八、对坐标的曲面积分的性质21九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终64九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长对弧长曲线积分的计算定理65对弧长曲线积分的计算定理23注意:特殊情形66注意:特殊情形24推广:67推广:25例1解68例1解26例2解例3解69例2解例3解27例4解由对称性,知70例4解由对称性,知28对坐标的曲线积分的计算定理71对坐标的曲线积分的计算定理29特殊情形72特殊情形307331例5计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:74例5计算其中L为摆线上对应t从0到例6计算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.75例6计算其中由平面y=z截球十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面76十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分77定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续例7解78例7解367937

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分