全等模型课件

三角形全等与角平分线——滠口中学1三角形全等与角平分线——滠口中学1知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等[SSS]边边边[SAS]边角边[ASA]角边角&[AAS][HL]直角角平分线应用性质判定2知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等[SSS]边边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。3边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。3边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个三角形全等。5角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。6直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形“全等”与“≌”例，已知△ABC和△DEF全等。其中∠A=60°、∠E=40°、∠D=80°，BC=3，则下列结论正确的是： ①∠B=40°；②∠C=80°；③DE=3；④∠F=60°解析：由于△ABC与△DEF全等，所以边角没有对应关系。由于∠F=180°-∠D-∠E=60°=∠A从而得出：∠A与∠F为对应角。那么BC与DE应为对应边：BE=BC=3.7“全等”与“≌”例，已知△ABC和△DEF全等。其中∠A=6利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等证明对应边（角）所在三角形全等找全等已知条件，判断缺少什么条件通过已知条件推导所缺条件证明全等8利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE。

求证：BD=CE。ABCED解析：由于BD=CE只需证明△ABD≌△ACE已知AB=AC、AD=AE缺一个角相等（∠BAD=∠CAE）只需证明：∠BAD=∠CAE证明：∵∠BAC=D∠AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中 AB=AC

∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE9利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=A三角形的中线倍长1如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线。

（1）如图，延长中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE。

求证：1△ADB≌△CDE；2AE=BC，AE//BC；3AB+BC>2BD。证明：1在△ADB与△CDE中： AD=CD ∠ADB=∠CDE BD=DE ∴△ADB≌△CDE（SAS）

2在△ADE、△CDB中： AD=CD ∠ADE=∠CDB BD=DE ∴△ADE≌△CDB（SAS） ∴AE=BC;∠DBC=∠DEA ∴AE//BC

3∵BC=AE

由AB+AE>BE得： AB+BC>BE

又BD为中线 ∴BE=2BD ∴AB+BC>2BDABCEDD10三角形的中线倍长1如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线。三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为

。若AB=x，BC=y，中线BD的长度的取值范围是

。若AB=m，BD=n，线段BC的长度的取值范围是

。ABCED总结一下，D为BE、AC中点时：中线倍长遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。D11三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为三角形的中线倍长如图，在△OMN中，MP是△OMN的中线，MQ是△OMP的中线，且OM=OP。

求证：MN=2MQ。QONPMM’PN=PM’∠MPN=∠MPM’MP为公共边∴△MPN≌△MPM’（SAS）∴MN=MM’=2MQ又∵OM=OP且P为ON中点 ∴∠OMP=∠OPM②且PM’=OM=OP=PN∵∠MPN为△OMP的外角∴∠MPN=∠OMP+∠OPM③把①、②代入③得：∠MPN=∠OPM+∠OPM’ =∠MPM’在△MPN与△MPM’中：证明：延长MQ至M’，

使MQ=QM’,连接PM’ ∵MQ是△OMP的中线 ∴OQ=PQ

在△OQM与△PQM’中： OQ=PQ ∠OQM=∠PQM’ MQ=QM’ ∴△OQM≌△PQM`(SAS) ∴∠O=∠OPM’①

且OM=PM’ 12三角形的中线倍长如图，在△OMN中，MP是△OMN的中线，三角形的中线倍长如图，△ABC中，D为AC边中点，E为AB上一点。（2）若DE⊥DF于D，交BC于F，连接EF。求证：AE+CF>EFABCDFEG证明：延长DE至G点，使DG=DE，连接GF、GC。

在△EDF与△GDF中 DE=DG ∠EDF=∠GDF=90° DF为公共边 ∴△EDF≌△GDF（SAS） ∴EF=FG①

在△CFG中有： CF+CG>FG③把①、②代入③得：AE+CF>EF又D为AC边中点 ∴AD=DC

在△ADE与△CDG中 AD=DC ∠ADE=∠CDG DE=DG∴△ADE≌△CDG（SAS）∴AE=CG②13三角形的中线倍长如图，△ABC中，D为AC边中点，E为AB上三角形的中线倍长如图，AB//CD，E为BD中点，连接AC、CE，若CD=AB+AC.

求证：AE⊥CE。ACDBEF

∴∠CEA=∠CEF ∵∠CEA+∠CEF=180° ∴∠CEA=∠CEF=90° ∴AE⊥CE∴AB=DF且AE=EF又CD=AB+AC即AC=CD-AB =CD-DF =CF在△ACE与△FCE中 AC=CF AE=EF CE为公共边 ∴△ACE≌△FCE（SSS）证明：延长AE交CD于F点。 ∵AB//CD ∴∠BAE=∠DFE，∠B=∠D

又E为BD中点 ∴BE=DE

在△BAE与△DFE中 ∠B=∠D BE=DE ∠BEA=∠DEF（对顶角） ∴△BAE≌△DFE（ASA）14三角形的中线倍长如图，AB//CD，E为BD中点，连接AC、三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，∠BAC=a，∠CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。（1）若a=b=90°，求证：AF=DF，AF⊥DF。BCFADEG证明：延长AF至G点，

使AF=GF,连接AD,DG,EG.∵F为BE中点∴BF=EF在△AFB与△GFE中 AF=GF ∠AFB=∠GFE（对顶角） BF=EF∴△AFB≌△GFE（SAS）∴EG=AB=AC且∠GEF=∠ABF∴∠DEG=∠DEC+∠GEF =∠DEC+∠ABF=90°在△ADF与△GDF中： AF=GF FD为公共边 AD=DG∴△ADF≌△GDF（SSS）∴∠ADF=∠GFD=90°∴AF=DF且AF⊥DF∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°∴在△ACD与△GED中 DC=DE ∠ACD=∠GED=90° EF=AC∴△ACD≌△GED（SAS）∴AD=DG、∠ADC=∠GDE∵∠CDG+∠GDE=90°∴∠CDG+∠ACD=90°∴△ADG为等腰直角三角形15三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，∠BAC=a，∠CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。(2)若a≠90°，B≠90°，a+b=180°，求证：AF⊥DF。BCFADEG∴AD=DG在△AFD与△GFD中AD=GDAF=GFDF为公共边∴△AFD≌△GFD∴∠AFD=∠GFD=90°∴AF⊥DF证明：延长AF至点G，使AF=GF，连接EG、DG、AD。∵F为BE中点∴BF=EF在△AFB与△GFE中 AF=GF ∠AFB=∠GFE（对顶角） BF=EF∴△AFB≌△GFE（SAS）∴GE=AB=AC，∠GEF=∠ABF∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-(180°-a)/2-(180°-B)/2=(a+b)/2=90°∠GED=∠GEF+∠DEC=(180°-a)/2+(180°-B)/2=(360°-a-b)/2=90°即∠ACD=∠GED在△ACD与△GED中 AC=GE ∠ACD=∠GED DC=DF ∴△ACD≌△GED（SAS）

16三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC、AF⊥AB，且AE=AC、AF=AB。

求证：2AD=EF。AF证明：延长AD至P，使PD=AD

在△PBD与△ACD中 PD=AD ∠PDB=∠ADC CD=BD ∴△PBD≌△ACD（SAS） ∴PB=AC、∠C=∠PBD ∴PB//AC ∴∠BAC+∠PBA=180°ECDBP又∠CAE+∠BAF=90°+90°=180°∴∠CAB+∠EAF=180°∴∠PBA=∠EAF又AC=AE、AC=PB∴AE=PB在△ABP与△FAE中 AE=PB ∠EAF=∠PBA AB=AF∴△ABP≌△FAE（SAS）∴EF=PA=2AD17三角形的中线倍长如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC、A三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！18三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可三角形的高与垂线如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB延长线交DE于F。

求证：F是BD中点。证明：过E作EM⊥CF，交CF延长线于M。∵∠ABE=90°∴∠ABC+∠EBM=90°又∠EBM+∠BEM=90°∴∠ABC=∠BEM在△ABC与△BEM中

∠BME=∠ACB=90°

∠ABC=∠BEM AB=BE∴△ABC≌△BEM（AAS）∴ME=BC又BC=BD在△EMF与△DBF中 ∠EMF=∠DBF ∠EFM=∠DFB ME=BD△EMF≌△DBF（AAS）∴EF=DF∴F是ED中点ACBDFEM19三角形的高与垂线如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P。

求证：P点在∠BAC的平分线上。分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在∠BAC的平分线上，只需证明P点到AB、AC两边的距离相等。从已知可知：P点在BM上，所以P点到AB、BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以P点到AC、BC两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为点D、E、F。∵BM是∠ABC的角平分线且P在BM上，PD⊥AB、PE⊥BC∴PD=PE(角平分线性质)同理PE=PF∴PD=PF又PD⊥AB、PF⊥AC∴P点在∠BAC的平分线上ABCNMDFE20三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是△ABC的两条角平分三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，作PA⊥OM、PB⊥ON。结论PA=PB角平分线的性质△OPA≌△OPBAASOA=OB∠3=∠412OBPN43AM21三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，作PA三角形的角平分线向两边作垂线如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离为多少？ACBD解：过点D作DE垂直AB于点E∵∠C=90°∴AC⊥CD∵AD平分∠CAB且DE⊥AB∴CD=DECD=BC-BD=2cm∴DE=2cm答：点D到直线AB的距离为2cm。E22三角形的角平分线向两边作垂线如图，在△ABC中，∠C=90三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：∠5=∠6FEGDBC345612MNP证明：过点E分别作线段BF、CD、BG的垂线，垂足分别为M、N、P。∵∠1=∠2，∠3=∠4且ME⊥BG、PE⊥BG、EN⊥CD∴ME=PE，ME=NE∴NE=PE又EN⊥CD、PE⊥BG∴∠5=∠6（角平分线性质的判定）23三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，∠3=三角形的角平分线向两边作垂线如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PE=PD。求证：AC=AB。证明：连接AP∵∠PDA=∠PEA=90°在Rt△PDA与Rt△PEA中PD=PEPA为公共边∴Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)∴AD=AE又∠1=90°-∠CAB=∠2在△ACE与△ABD中思路分析：证明线段相等可以放到等腰三角形中，或者放到两个全等三角形中，进而求证对应边相等。∠1=∠2∠AEC=∠ADB=90°AE=AD∴△ACE≌△ABD(AAS)∴AC=AB12BEADCP24三角形的角平分线向两边作垂线如图，△ABC的两条高BD、CE角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，顶点到两垂足的距离也相等。借此，可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。其实质是角平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若DE⊥AB于E点，则有DC=DE，AC=AE，所以△ACD≌△AED，也可得到AB=AC+CD。此时DE把长线段AB截成AE、EB两段，达到截长效果。ABCDE25角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，角平分线截长补短若作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则可得△ADE≌△CDF。故AE=CF，从而将长线段BC上的FC“补”至短线段BA上AE处。ABCDFE如图，BD平分∠ABC，AD=DC26角平分线截长补短若作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则可角平分线截长补短如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点。问：AD、BC、AB之间有何关系？解：AB=AD+BC，理由如下：过点E作EF⊥AB于点F。连接BE。∵AE平分∠BAD，且DC⊥AD、EF⊥AB∴EF=DE（角平分线性质）∵DE=CE∴EC=EF在Rt△BFE与Rt△BCE中EF=CEBE为公共边∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）∴BF=BC同理AF=AD∴AD+BC=AF+BF=AB即AB=AD+DCADECBF27角平分线截长补短如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠B一线三等角如图，AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE，AB=AC。求证：DE=BD+CE。证明：ADBEC∵AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE∴∠AEC=∠BAC=∠ADB=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3在△AEC与△BDA中∠AEC=∠ADB∠1=∠3AC=AB∴△AEC≌△BDA(AAS)∴CE=AD∴DE=BD+CE13228一线三等角如图，AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE，AB=A一线三等角ADBEC123ECADB132α

α

α

三垂直一线三等角∵∠1+∠3=90°且∠2+∠3=90°∴

∠1=∠2又BD⊥DE，CE⊥DE∴∠AEC=∠BDA又∵CA=BA∴△AEC≌△BDA(AAS)∵∠1+∠3=180°-α

且∠2+∠3=180°-α

∴

∠1=∠2又∠AEC=∠BDA=α又∵CA=BA∴△AEC≌△BDA(AAS)α

29一线三等角ADBEC123ECADB132ααα三垂直一线三等角已知，△BED与△CFD为等腰直角三角形，AB⊥AG， CG⊥AG求证：AB+CG=EF证明：BAEFGCD过D作DH⊥AG于H点∵∠AEB+∠DEH=∠HDE+∠DEH=90°∴∠AEB=∠HDE在△AEB与△HDE中∠AEB=∠HDE∠BAE=∠EHDBE=ED∴△AEB≌△HDE(AAS)∴AB=EH同理CG=HF∵EH+HF=EF∴AB+CG=EFH30一线三等角已知，△BED与△CFD为等腰直角三角形，AB一线三等角BAEFGCDα

α

β

β

已知：BE=DE，∠A=∠BED=α,DF=CF,∠DFC=∠G=β.

α+β=180°求证：AB+CG=EF证明：在EF上截取线段EH，使EH=AB，连DH∵∠1+∠2=180°-∠α且∠3+∠2=180°-∠α∴∠1=∠3又BE=DE∴△AEB≌△HDE(SAS)∴∠DHE=α又α+β=180°∴∠DHF=β同理△DHF≌△FGC(AAS)∴HF=CG∴AB+CG=EFH213α

β

31一线三等角BAEFGCDααββ已知：BE=DE，截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等于短边，然后证明另外两短边相等。补短：在短边上延长一段等于另一短边，然后证明这两短边之和等于长边。32截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图，∠ABC的角平分线BD，与∠BCD的角平分线AC相交于O点。∠BOC=120°。

求证：BC=AB+CD。证明：在BC上截取点E，使BE=AB在△ABO与△EBO中 AB=BE ∠ABO=∠EBO BO为公共边∴△ABO≌△EBO（SAS）∴∠AOB=∠EOB∵∠AOB=180°-∠BOC=60°∴∠AOB=∠EOB=60°∠COE=∠BOC-∠EOB=60°

∴∠COD=∠AOB=60°在△OCE与△OCD中∠COD=∠COE=90°OC为公共边∠OCE=∠OCD∴△OCE≌△OCD(ASA)∴CE=CD∴BC=BE+CE =AB+CDABCDOE33截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图，∠ABC的角平分截长补短：半角模型如图，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，2∠EAF=∠BAD。

求：EF与BE、DF满足什么关系？解：延长DF至点G，使DG=BE∵∠B+∠ADF=180°，

且∠ADF+∠ADG=180°∴∠B=∠ADG在△ABE与△ADG中 AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG∴△ABE≌△ADG∴∠BAE=∠DAG，AE=AG∵∠BAE+∠DAF=∠EAF=½∠BAD∴∠DAG+∠DAF=∠EAF即∠FAG=∠EAF在△AEF与△AGF中AE=AG∠FAE=∠FAGAF为公共边∴△AEF≌△AGF(SAS)∴EF=GF又GF=DF+DG=DF+BE∴EF=BE+DFABECFDG34截长补短：半角模型如图，已知AB=AD，∠B+∠D=18“手拉手”模型已知：OA=OB、OA`=OB`、∠AOB=∠A`OB`。求证：①三角形全等(△OAA`≌△OBB`)②手相等(AA`=BB`)③手的夹角等于顶角④顶点连手交点得平分。OA（左手）A`（左手）B（右手）B`（右手）ABB`A`三大特征1两个等腰三角形2顶角相等3顶点重合。顶点重合35“手拉手”模型已知：OA=OB、OA`=OB`、∠AOB=“手拉手”模型证明①三角形全等(△OAA`≌△OBB`)∵∠AOB=∠AOA`+∠A`OB∠A`OB`=∠BOB`+∠A`OB又∠AOB=∠A`OB`∴∠AOA`=∠BOB`在△OAA`与△OBB`中OA=OB∠AOA`=∠BOB`OA`=OB`∴△OAA`≌△OBB`(SAS)OA（左手）A`（左手）B（右手）B`(右手)ABB`A`36“手拉手”模型证明①三角形全等(△OAA`≌△OBB`)O“手拉手”模型证明②手相等(AA`=BB`)∵△OAA`≌△OBB`∴AA`=BB`OA（左手）A`（左手）B（右手）ABB`A`37“手拉手”模型证明②手相等(AA`=BB`)OA（左手）A`“手拉手”模型证明③手的夹角等于顶角(AA`，BB`的夹角，即∠C=∠AOB)∵△OAA`≌△OBB`∴∠OAP=∠PBC在△OPA与△CPB中：∠OAP=∠PBC∠APO=∠BPC(对顶角)∴∠C=∠AOBOA（左手）A`（左手）B（右手）B`ABA`CP38“手拉手”模型证明③手的夹角等于顶角OA（左手）A`（左手）“手拉手”模型证明④顶点连手交点得平分(OC平分∠ACQ)过O点分别作OM、ON垂直于AC和BQ∵△OAA`≌△OBB`∴OM=ON(全等三角形对应高相等)又OM⊥AC、ON⊥BQ∴OC平分∠ACQ(角平分线的判定)OA（左手）A`(左手)B（右手）B`(右手)ABB`A`CQMN39“手拉手”模型证明④顶点连手交点得平分OA（左手）A`(左手已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，AD与BE相交于M点，(1)求证:AD⊥BE；(2)求∠CME的大小。“手拉手”模型ACBMED分析：由题意看得出，△ACB与△DEF均为等腰直角三角形，C为公共顶点，顶角相等均为90°，满足“手拉手”模型的条件！

AD与BE分别为左手和右手！(1)求证:AD⊥BE，即证明∠AMB=90°，即左右手AD与BM的夹角,即证明左右与右手的夹角等于顶角；(2)求∠CME的大小(左手)AD与(右手)BE交于点MC为两等腰三角形公共顶点即CM为顶点与两手交点的连线段那么CM平分∠AME∠CME显然等于∠AME的一半！40已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=9已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，AD与BE相交于M点，(1)求证:AD⊥BE；(2)求∠CME的大小。“手拉手”模型ACBMED(1)证明：∵∠BAC=∠ABC∴AC=BC因为：∠ACB=∠ACD+∠BCD∠DCE=∠BCE+∠BCD又∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACD=∠BCEF(在△ACD和△BCE中:AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≌△BCE∴∠CAD=∠CBE在△ACF和△BMF中∠CAD=∠CBE∠AFC=∠BFM(对顶角)∴∠FMB=∠FCA=90°∴AD⊥BE41已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=9已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，AD与BE相交于M点，(1)求证:AD⊥BE；(2)求∠CME的大小。“手拉手”模型ACBMEDPQ(2)证明：过点C分别作CP、CQ垂直AD、BE，垂足分别为P、Q。∵△ACD≌△BCE∴CP=CQ(全等三角形对应高相等)又CP⊥AD、CQ⊥BE∴CM平分∠AME(角平分线判定)又AD⊥BE∴∠AME=90°∴∠CME=45°42已知：∠BAC=∠ABC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=9成功=勤奋+方法+坚持三角形全等是今后几何知识的重要基础。43成功=勤奋+方法+坚持三角形全等是今后几何知识的重要基础。4谢谢！————滠口中学八年级组44谢谢！————滠口中学八年级组44三角形全等与角平分线——滠口中学45三角形全等与角平分线——滠口中学1知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等[SSS]边边边[SAS]边角边[ASA]角边角&[AAS][HL]直角角平分线应用性质判定46知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等[SSS]边边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。47边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。3边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。48边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个三角形全等。49角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。50直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形“全等”与“≌”例，已知△ABC和△DEF全等。其中∠A=60°、∠E=40°、∠D=80°，BC=3，则下列结论正确的是： ①∠B=40°；②∠C=80°；③DE=3；④∠F=60°解析：由于△ABC与△DEF全等，所以边角没有对应关系。由于∠F=180°-∠D-∠E=60°=∠A从而得出：∠A与∠F为对应角。那么BC与DE应为对应边：BE=BC=3.51“全等”与“≌”例，已知△ABC和△DEF全等。其中∠A=6利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等证明对应边（角）所在三角形全等找全等已知条件，判断缺少什么条件通过已知条件推导所缺条件证明全等52利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE。

求证：BD=CE。ABCED解析：由于BD=CE只需证明△ABD≌△ACE已知AB=AC、AD=AE缺一个角相等（∠BAD=∠CAE）只需证明：∠BAD=∠CAE证明：∵∠BAC=D∠AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中 AB=AC

∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE53利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=A三角形的中线倍长1如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线。

（1）如图，延长中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE。

求证：1△ADB≌△CDE；2AE=BC，AE//BC；3AB+BC>2BD。证明：1在△ADB与△CDE中： AD=CD ∠ADB=∠CDE BD=DE ∴△ADB≌△CDE（SAS）

2在△ADE、△CDB中： AD=CD ∠ADE=∠CDB BD=DE ∴△ADE≌△CDB（SAS） ∴AE=BC;∠DBC=∠DEA ∴AE//BC

3∵BC=AE

由AB+AE>BE得： AB+BC>BE

又BD为中线 ∴BE=2BD ∴AB+BC>2BDABCEDD54三角形的中线倍长1如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线。三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为

。若AB=x，BC=y，中线BD的长度的取值范围是

。若AB=m，BD=n，线段BC的长度的取值范围是

。ABCED总结一下，D为BE、AC中点时：中线倍长遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。D55三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为三角形的中线倍长如图，在△OMN中，MP是△OMN的中线，MQ是△OMP的中线，且OM=OP。

求证：MN=2MQ。QONPMM’PN=PM’∠MPN=∠MPM’MP为公共边∴△MPN≌△MPM’（SAS）∴MN=MM’=2MQ又∵OM=OP且P为ON中点 ∴∠OMP=∠OPM②且PM’=OM=OP=PN∵∠MPN为△OMP的外角∴∠MPN=∠OMP+∠OPM③把①、②代入③得：∠MPN=∠OPM+∠OPM’ =∠MPM’在△MPN与△MPM’中：证明：延长MQ至M’，

使MQ=QM’,连接PM’ ∵MQ是△OMP的中线 ∴OQ=PQ

在△OQM与△PQM’中： OQ=PQ ∠OQM=∠PQM’ MQ=QM’ ∴△OQM≌△PQM`(SAS) ∴∠O=∠OPM’①

且OM=PM’ 56三角形的中线倍长如图，在△OMN中，MP是△OMN的中线，三角形的中线倍长如图，△ABC中，D为AC边中点，E为AB上一点。（2）若DE⊥DF于D，交BC于F，连接EF。求证：AE+CF>EFABCDFEG证明：延长DE至G点，使DG=DE，连接GF、GC。

在△EDF与△GDF中 DE=DG ∠EDF=∠GDF=90° DF为公共边 ∴△EDF≌△GDF（SAS） ∴EF=FG①

在△CFG中有： CF+CG>FG③把①、②代入③得：AE+CF>EF又D为AC边中点 ∴AD=DC

在△ADE与△CDG中 AD=DC ∠ADE=∠CDG DE=DG∴△ADE≌△CDG（SAS）∴AE=CG②57三角形的中线倍长如图，△ABC中，D为AC边中点，E为AB上三角形的中线倍长如图，AB//CD，E为BD中点，连接AC、CE，若CD=AB+AC.

求证：AE⊥CE。ACDBEF

∴∠CEA=∠CEF ∵∠CEA+∠CEF=180° ∴∠CEA=∠CEF=90° ∴AE⊥CE∴AB=DF且AE=EF又CD=AB+AC即AC=CD-AB =CD-DF =CF在△ACE与△FCE中 AC=CF AE=EF CE为公共边 ∴△ACE≌△FCE（SSS）证明：延长AE交CD于F点。 ∵AB//CD ∴∠BAE=∠DFE，∠B=∠D

又E为BD中点 ∴BE=DE

在△BAE与△DFE中 ∠B=∠D BE=DE ∠BEA=∠DEF（对顶角） ∴△BAE≌△DFE（ASA）58三角形的中线倍长如图，AB//CD，E为BD中点，连接AC、三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，∠BAC=a，∠CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。（1）若a=b=90°，求证：AF=DF，AF⊥DF。BCFADEG证明：延长AF至G点，

使AF=GF,连接AD,DG,EG.∵F为BE中点∴BF=EF在△AFB与△GFE中 AF=GF ∠AFB=∠GFE（对顶角） BF=EF∴△AFB≌△GFE（SAS）∴EG=AB=AC且∠GEF=∠ABF∴∠DEG=∠DEC+∠GEF =∠DEC+∠ABF=90°在△ADF与△GDF中： AF=GF FD为公共边 AD=DG∴△ADF≌△GDF（SSS）∴∠ADF=∠GFD=90°∴AF=DF且AF⊥DF∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°∴在△ACD与△GED中 DC=DE ∠ACD=∠GED=90° EF=AC∴△ACD≌△GED（SAS）∴AD=DG、∠ADC=∠GDE∵∠CDG+∠GDE=90°∴∠CDG+∠ACD=90°∴△ADG为等腰直角三角形59三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，∠BAC=a，∠CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。(2)若a≠90°，B≠90°，a+b=180°，求证：AF⊥DF。BCFADEG∴AD=DG在△AFD与△GFD中AD=GDAF=GFDF为公共边∴△AFD≌△GFD∴∠AFD=∠GFD=90°∴AF⊥DF证明：延长AF至点G，使AF=GF，连接EG、DG、AD。∵F为BE中点∴BF=EF在△AFB与△GFE中 AF=GF ∠AFB=∠GFE（对顶角） BF=EF∴△AFB≌△GFE（SAS）∴GE=AB=AC，∠GEF=∠ABF∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-(180°-a)/2-(180°-B)/2=(a+b)/2=90°∠GED=∠GEF+∠DEC=(180°-a)/2+(180°-B)/2=(360°-a-b)/2=90°即∠ACD=∠GED在△ACD与△GED中 AC=GE ∠ACD=∠GED DC=DF ∴△ACD≌△GED（SAS）

60三角形的中线倍长如图，△ABC和△DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC、AF⊥AB，且AE=AC、AF=AB。

求证：2AD=EF。AF证明：延长AD至P，使PD=AD

在△PBD与△ACD中 PD=AD ∠PDB=∠ADC CD=BD ∴△PBD≌△ACD（SAS） ∴PB=AC、∠C=∠PBD ∴PB//AC ∴∠BAC+∠PBA=180°ECDBP又∠CAE+∠BAF=90°+90°=180°∴∠CAB+∠EAF=180°∴∠PBA=∠EAF又AC=AE、AC=PB∴AE=PB在△ABP与△FAE中 AE=PB ∠EAF=∠PBA AB=AF∴△ABP≌△FAE（SAS）∴EF=PA=2AD61三角形的中线倍长如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC、A三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！62三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可三角形的高与垂线如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB延长线交DE于F。

求证：F是BD中点。证明：过E作EM⊥CF，交CF延长线于M。∵∠ABE=90°∴∠ABC+∠EBM=90°又∠EBM+∠BEM=90°∴∠ABC=∠BEM在△ABC与△BEM中

∠BME=∠ACB=90°

∠ABC=∠BEM AB=BE∴△ABC≌△BEM（AAS）∴ME=BC又BC=BD在△EMF与△DBF中 ∠EMF=∠DBF ∠EFM=∠DFB ME=BD△EMF≌△DBF（AAS）∴EF=DF∴F是ED中点ACBDFEM63三角形的高与垂线如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P。

求证：P点在∠BAC的平分线上。分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在∠BAC的平分线上，只需证明P点到AB、AC两边的距离相等。从已知可知：P点在BM上，所以P点到AB、BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以P点到AC、BC两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为点D、E、F。∵BM是∠ABC的角平分线且P在BM上，PD⊥AB、PE⊥BC∴PD=PE(角平分线性质)同理PE=PF∴PD=PF又PD⊥AB、PF⊥AC∴P点在∠BAC的平分线上ABCNMDFE64三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是△ABC的两条角平分三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，作PA⊥OM、PB⊥ON。结论PA=PB角平分线的性质△OPA≌△OPBAASOA=OB∠3=∠412OBPN43AM65三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，作PA三角形的角平分线向两边作垂线如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离为多少？ACBD解：过点D作DE垂直AB于点E∵∠C=90°∴AC⊥CD∵AD平分∠CAB且DE⊥AB∴CD=DECD=BC-BD=2cm∴DE=2cm答：点D到直线AB的距离为2cm。E66三角形的角平分线向两边作垂线如图，在△ABC中，∠C=90三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：∠5=∠6FEGDBC345612MNP证明：过点E分别作线段BF、CD、BG的垂线，垂足分别为M、N、P。∵∠1=∠2，∠3=∠4且ME⊥BG、PE⊥BG、EN⊥CD∴ME=PE，ME=NE∴NE=PE又EN⊥CD、PE⊥BG∴∠5=∠6（角平分线性质的判定）67三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知∠1=∠2，∠3=三角形的角平分线向两边作垂线如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PE=PD。求证：AC=AB。证明：连接AP∵∠PDA=∠PEA=90°在Rt△PDA与Rt△PEA中PD=PEPA为公共边∴Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)∴AD=AE又∠1=90°-∠CAB=∠2在△ACE与△ABD中思路分析：证明线段相等可以放到等腰三角形中，或者放到两个全等三角形中，进而求证对应边相等。∠1=∠2∠AEC=∠ADB=90°AE=AD∴△ACE≌△ABD(AAS)∴AC=AB12BEADCP68三角形的角平分线向两边作垂线如图，△ABC的两条高BD、CE角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，顶点到两垂足的距离也相等。借此，可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。其实质是角平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若DE⊥AB于E点，则有DC=DE，AC=AE，所以△ACD≌△AED，也可得到AB=AC+CD。此时DE把长线段AB截成AE、EB两段，达到截长效果。ABCDE69角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，角平分线截长补短若作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则可得△ADE≌△CDF。故AE=CF，从而将长线段BC上的FC“补”至短线段BA上AE处。ABCDFE如图，BD平分∠ABC，AD=DC70角平分线截长补短若作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则可角平分线截长补短如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点。问：AD、BC、AB之间有何关系？解：AB=AD+BC，理由如下：过点E作EF⊥AB于点F。连接BE。∵AE平分∠BAD，且DC⊥AD、EF⊥AB∴EF=DE（角平分线性质）∵DE=CE∴EC=EF在Rt△BFE与Rt△BCE中EF=CEBE为公共边∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）∴BF=BC同理AF=AD∴AD+BC=AF+BF=AB即AB=AD+DCADECBF71角平分线截长补短如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠B一线三等角如图，AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE，AB=AC。求证：DE=BD+CE。证明：ADBEC∵AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE∴∠AEC=∠BAC=∠ADB=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3在△AEC与△BDA中∠AEC=∠ADB∠1=∠3AC=AB∴△AEC≌△BDA(AAS)∴CE=AD∴DE=BD+CE13272一线三等角如图，AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE，AB=A一线三等角ADBEC123ECADB132α

α

α

三垂直一线三等角∵∠1+∠3=90°且∠2+∠3=90°∴

∠1=∠2又BD⊥DE，CE⊥DE∴∠AEC=∠BDA又∵CA=BA∴△AEC≌△BDA(AAS)∵∠1+∠3=180°-α

且∠2+∠3=180°-α

∴

∠1=∠2又∠AEC=∠BDA=α又∵CA=BA∴△AEC≌△BDA(AAS)α

73一线三等角ADBEC123ECADB132ααα三垂直一线三等角已知，△BED与△CFD为等腰直角三角形，AB⊥AG， CG⊥AG求证：AB+CG=EF证明：BAEFGCD过D作DH⊥AG于H点∵∠AEB+∠DEH=∠HDE+∠DEH=90°∴∠AEB=∠HDE在△AEB与△HDE中∠AEB=∠HDE∠BAE=∠EHDBE=ED∴△AEB≌△HDE(AAS)∴AB=EH同理CG=HF∵EH+HF=EF∴AB+CG=EFH74一线三等角已知，△BED与△CFD为等腰直角三角形，AB一线三等角BAEFGCDα

α

β

β

已知：BE=DE，∠A=∠BED=α,DF=CF,∠DFC=∠G=β.

α+β=180°求证：AB+CG=EF证明：在EF上截取线段EH，使EH=AB，连DH∵∠1+∠2=180°-∠α且∠3+∠2=180°-∠α∴∠1=∠3又BE=DE∴△AEB≌△HDE(SAS)∴∠DHE=α又α+β=180°∴∠DHF=β同理△DHF≌△FGC(AAS)∴HF=CG∴AB+CG=EFH213α

β

75一线三等角BAEFGCDααββ已知：BE=DE，截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等于短边，然后证明另外两短边相等。补短：在短边上延长一段等于另一短边，然后证明这两短边之和等于长边。76截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图，∠ABC的角平分线BD，与∠BCD的角平分线AC相交于O点。∠BOC=120°。

求证：BC=AB+CD。证明：在BC上截取点E，使BE=AB在△ABO与△EBO中 AB=BE ∠ABO=∠EBO BO为公共边∴△ABO≌△EBO（SAS）∴∠AOB=∠EOB∵∠AOB=180°-∠BOC=60°∴∠AOB=∠EOB=60°∠COE=∠BOC-∠EOB=60°

∴∠COD=∠AOB=60°在△OCE与△OCD中∠COD=∠COE=90°OC为公共边∠OCE=∠OCD∴△OCE≌△OCD(ASA)∴CE=CD∴BC=BE+CE =AB+CDABCDOE77截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图，∠ABC的角平分截长补短：半角模型如图，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，2∠EAF=∠BAD。

求：EF与BE、DF满足什么关系？解：延长DF至点G，使DG=BE∵∠B+∠ADF=180°，

且∠ADF+∠ADG=180°∴∠B=∠ADG在△ABE与△ADG中 AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG∴△ABE≌△ADG∴∠BAE=∠DAG