教学课件 63利用不变量化简二次曲面方程

6.3利用不变量化简二次曲面方程

Usinginvarianttosimplifyequationsofquadraticsurfaces前面研究了用直角坐标变换的方法将一般二次曲面方程化成标准方程.虽然方程的形式发生了变化,但是决定曲面的特征的内蕴性不会变化.这种反映曲面的某种几何性质的表达式一定是经过坐标变换后不变的,这就是曲面的不变量.在这一节里,将应用二次曲面（6.1-1）在直角坐标变换下的不变量来化简化它的方程.6.3利用不变量化简二次曲面方程

Usinginvari6.3.1二次曲面的不变量与半不变量

(Invariantsandsemi-invariantsofquadraticsurfaces)

由二次曲面方程（6.1-1）式左端F(x,y,z)的系数组成的一个非常数函数f,如果经过直角坐标变换下,F(x,y,z)变为F'(x',y',z')时,有那么这个函数f就称为二次曲面在直角坐标变换下的不变量.如果这个函数f只是经过转轴变换不变,那么这个函数称为二次曲面在直角坐标变换下的半不变量.6.3.1二次曲面的不变量与半不变量

关于二次曲面的不变量与半不变量,有着下面的定理,这里将略去它的证明而直接应用.

定理1

二次曲面（6.1-1）在空间直角坐标变换下,有四个

不变量I1,I2,I3,I4与两个半不变量K1,K2.推论1

在直角坐标变换下,二次曲面（6.1-1）的特征方程

不变,从而特征根也不变.推论2

K1是6.2.2节中定理1中第（V）类二次曲面在直角

坐标变换下的不变量,而

K2是6.2.2节定理1中第Ⅲ,

第Ⅳ与第Ⅴ类二次曲面在直角坐标变换下的不变量.关于二次曲面的不变量与半不变量,有着下面的定理,这里将略去它6.3.2二次曲面五种类型的判别

Identifyingfivetypesofquadraticsurfaces由上节定理1,二次曲面方程通过坐标变化总可以化成下面的五类简化方程中的一个：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)6.3.2二次曲面五种类型的判别

Identifying

现在介绍如何应用二次曲面的不变量来判别二次曲面的类型。容易知道：(1)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅰ类曲面时,那么有(2)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅱ类曲面时,那么有

现在介绍如何应用二次曲面的不变量来5(3)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ类曲面时,那么有

(4)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅳ类曲面时,那么有(5)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅴ类曲面时,那么有

(3)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ类曲面时,那么有6定理2

已给二次曲面（6.1-1）,则用不变量来判别曲面为

何种类型的充要条件是：第Ⅰ类曲面：

；第Ⅱ类曲面：

；第Ⅲ类曲面：

；第Ⅳ类曲面：

；第Ⅴ类曲面：

定理2已给二次曲面（6.1-1）,则用不变量来判别曲面为6.3.3应用不变量化简二次曲面的方程

Simplifyingtheequationofaquadraticsurfacebyinvariants

这里应用二次曲面的四个不变量与两个半不变量来化简二次曲面的方程.定理3

二次曲面（6.1-1）当且仅当：(1)是第Ⅰ类曲面时,I3≠0,方程化简为其中1,2,3为二次曲面的非零特征根.

(2)是第Ⅱ类曲面时,I3

＝0,I4≠0,方程化简为其中1,2为二次曲面的非零特征根.6.3.3应用不变量化简二次曲面的方程

Simplify8

(3)是第Ⅲ类曲面时,方程化简为其中1,2

为二次曲面的非零特征根.(4)是第Ⅳ类曲面时,方程化简为(5)是第Ⅴ类曲面时,方程化简为

(3)是第Ⅲ类曲面时,二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程

==0称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.它是关于的一元三次方程,即解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质：（1）1,2,3不全为零;（2）1,2,3都是实数;（3）1+2+3=I1;（4）123=I3.二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程定理4

已给二次曲面（6.1-1）,则用它的不变量来判断已知曲面为何种曲面的条件是：(1)椭球面：I2>0,I1I3>0,I4<0；(2)虚椭球面：

I2>0,I1I3>0,I4>0；(3)点(或称虚母线二次锥面)：I2>0,I1I3>0,I4=0；(4)单叶双曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4>0；(5)双叶双曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4<0；定理4已给二次曲面（6.1-1）,则用它的不变量来判断已(6)二次锥面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4=0；(7)椭圆抛物面：

I3=0,I4<0；(8)双曲抛物面：

I3=0,I4>0；(9)椭圆柱面：

I3=I4=0,I2>0,I1K2<0；(10)虚椭圆柱面：

I3=I4=0,I2>0,I1K2>0；(11)交于一条实直线的一对共轭虚平面：

I3=I4=K2=0,I2>0；(6)二次锥面：

I3≠0,I2≤0(或I(12)双曲柱面：

I3=I4=0,I2<0,K2≠0；(13)一对相交平面：

I3=I4=K2=0,I2<0；(14)抛物柱面：

I3=I4=I2=0,K2≠0；(15)一对平行平面：

I3=I4=I2=K2=0,K1<0；(16)一对平行的共轭虚平面：

I3=I4=I2=K2=0,K1>0；(17)一对重合平面：

I1,I2,I3,I4与两个半不变量K1,K2

I3=I4=I2=K2=K1=0.End(12)双曲柱面：End

谢谢大家！Thankyou!谢谢大家！Thankyou!6.3利用不变量化简二次曲面方程

Usinginvarianttosimplifyequationsofquadraticsurfaces前面研究了用直角坐标变换的方法将一般二次曲面方程化成标准方程.虽然方程的形式发生了变化,但是决定曲面的特征的内蕴性不会变化.这种反映曲面的某种几何性质的表达式一定是经过坐标变换后不变的,这就是曲面的不变量.在这一节里,将应用二次曲面（6.1-1）在直角坐标变换下的不变量来化简化它的方程.6.3利用不变量化简二次曲面方程

Usinginvari6.3.1二次曲面的不变量与半不变量

(Invariantsandsemi-invariantsofquadraticsurfaces)

由二次曲面方程（6.1-1）式左端F(x,y,z)的系数组成的一个非常数函数f,如果经过直角坐标变换下,F(x,y,z)变为F'(x',y',z')时,有那么这个函数f就称为二次曲面在直角坐标变换下的不变量.如果这个函数f只是经过转轴变换不变,那么这个函数称为二次曲面在直角坐标变换下的半不变量.6.3.1二次曲面的不变量与半不变量

关于二次曲面的不变量与半不变量,有着下面的定理,这里将略去它的证明而直接应用.

定理1

二次曲面（6.1-1）在空间直角坐标变换下,有四个

不变量I1,I2,I3,I4与两个半不变量K1,K2.推论1

在直角坐标变换下,二次曲面（6.1-1）的特征方程

不变,从而特征根也不变.推论2

K1是6.2.2节中定理1中第（V）类二次曲面在直角

坐标变换下的不变量,而

K2是6.2.2节定理1中第Ⅲ,

第Ⅳ与第Ⅴ类二次曲面在直角坐标变换下的不变量.关于二次曲面的不变量与半不变量,有着下面的定理,这里将略去它6.3.2二次曲面五种类型的判别

Identifyingfivetypesofquadraticsurfaces由上节定理1,二次曲面方程通过坐标变化总可以化成下面的五类简化方程中的一个：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)6.3.2二次曲面五种类型的判别

Identifying

现在介绍如何应用二次曲面的不变量来判别二次曲面的类型。容易知道：(1)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅰ类曲面时,那么有(2)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅱ类曲面时,那么有

现在介绍如何应用二次曲面的不变量来19(3)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ类曲面时,那么有

(4)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅳ类曲面时,那么有(5)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅴ类曲面时,那么有

(3)当二次曲面（6.1-1）是第Ⅲ类曲面时,那么有20定理2

已给二次曲面（6.1-1）,则用不变量来判别曲面为

何种类型的充要条件是：第Ⅰ类曲面：

；第Ⅱ类曲面：

；第Ⅲ类曲面：

；第Ⅳ类曲面：

；第Ⅴ类曲面：

定理2已给二次曲面（6.1-1）,则用不变量来判别曲面为6.3.3应用不变量化简二次曲面的方程

Simplifyingtheequationofaquadraticsurfacebyinvariants

这里应用二次曲面的四个不变量与两个半不变量来化简二次曲面的方程.定理3

二次曲面（6.1-1）当且仅当：(1)是第Ⅰ类曲面时,I3≠0,方程化简为其中1,2,3为二次曲面的非零特征根.

(2)是第Ⅱ类曲面时,I3

＝0,I4≠0,方程化简为其中1,2为二次曲面的非零特征根.6.3.3应用不变量化简二次曲面的方程

Simplify22

(3)是第Ⅲ类曲面时,方程化简为其中1,2

为二次曲面的非零特征根.(4)是第Ⅳ类曲面时,方程化简为(5)是第Ⅴ类曲面时,方程化简为

(3)是第Ⅲ类曲面时,二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程

==0称为二次曲面（6.1-1）的特征方程.它是关于的一元三次方程,即解得三个特征值为1,2,3,.二次曲面的特征值有以下的性质：（1）1,2,3不全为零;（2）1,2,3都是实数;（3）1+2+3=I1;（4）123=I3.二次曲面（6.1-1）的特征方程关于的方程定理4

已给二次曲面（6.1-1）,则用它的不变量来判断已知曲面为何种曲面的条件是：(1)椭球面：I2>0,I1I3>0,I4<0；(2)虚椭球面：

I2>0,I1I3>0,I4>0；(3)点(或称虚母线二次锥面)：I2>0,I1I3>0,I4=0；(4)单叶双曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4>0；(5)双叶双曲面：

I3≠0,I2≤0(或

I1

I3≤0),I4<0；定理4已给二次曲面（6.1-1）,则用它的不变量来判断已(6)二次锥面：