解题思路点滴 归纳与递推

资料仅供参考文件编号：2022年4月解题思路点滴归纳与递推版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：解题思路点滴－－－归纳与递推归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法（如枚举法）和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。例1在下面各列数中的横线上填上适当的数。（1），，，，，；（2），1，，，，；（3）1，2，4，8，，32；（4）1，10，19，28，，46；（5）1，3，7，13，，31；（6）1，3，8，15，，35；（7）1，3，4，7，，18。【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。（1）该数列的第n项形如，而横线上的是第5项，故应填；（2）按分母特点把各项还原成分数，，，，，故第n项形如，横线上应填；（3）把各项分解质因数得1，2，22，23，，25；故第n项形如2n－1，横线上的数＝24＝16。（4）易观察得：每项加上9便得后面一项，故横线上的数是29＋9＝37。（5）设横线上的数是x，则将数列中各项与前项相减组成新数列得2，4，6，x－13，31－x。∴x－13＝8，且31－x＝10；故x＝21。∴横线上应填21。（6）容易看出数列的第n项形如n2－1，横线上是第5项，故应填24。（7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。【评注】分析数据之间的关系，归纳出数列通项，或相邻项之间的递推关系，是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有：差分法、分数化法、分解质因数法、设未知数法等。例2数列1，3，2，－1，－2，1，…，的第n项an及其后面两项an＋1，an＋2之间满足关系式an＋2＝an＋1－an。求这个数列的前2000项之和。（前2000项的和＝333×（1＋3＋2－1－3－2）＋1＋3＝4）例3求19991999的个位数字。（9）例4现有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第100个数被6除所得余数是几（

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例5（1）平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分（

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（2）平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分（5051）例6平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。（99092）例7王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；第三次卖了第二次余下的一半又半个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。最后还剩下一个西瓜，问王大爷原来一共有多少个西瓜（

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例8如果＝x3＋y3＋z3，则称三位数为芙蓉花数，试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。练习1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数（1）1，5，9，13，17，（）（2）0．625，1．25，2．5，5，（）（3），，，，…，（4）198，297，396，495，（），（）。2．从1到1001的所有自然数按图排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1994，（2）2529，（3）1998。问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142…………995996997998999100010013．假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔子，此后每月生下一对小兔。如果养了初生的一对小兔，问满一年共可得多少对兔子？4．（抢30）两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数。比如第1个人可以报1，第2个人可以报2或2，3；第1个人也可以报1、2，第2个人可以报3，或3、4。这样继续下去，谁报到30，谁就胜。请问，谁有必胜的策略？5．54张扑克牌，两个人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张谁输，问先拿牌的人怎样才能保证获胜？A10AA10A5A7A9A1A3A6A4A8A2题77．有10个村庄，分别用A1，A2，…A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10到A1，有多少种不同走法？注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须