原子物理第六章习题答案

9/9原子物理第六章习题答案第六章磁场中的原子

6.1已知钒原子的基态是2/34F。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态2/34F之角动量量子数2/3=J，角动量在磁场方向的分量的个数为412

3

212=+?=+J，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。

（2）JJPm

e

g

2=μhhJJPJ2

15)1(=

+=按LS耦合：5

2

156)1(2)1()1()1(1==++++-++

=JJSSLLJJg

BBJhmeμμμ7746.05

15

215252≈=???=

∴6.2已知He原子0111SP→跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距

厘米/467.0~=?v

，试计算所用磁场的感应强度。解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：

mc

Be

gmgmv

πλλ4)(1'1~1122-=-=?氦原子的两个价电子之间是LS型耦合。对应11

P原子态，1,0,12-=M；1,1,0===JLS，

对应01S原子态，01=M，211.0,0,0ggJLS=====。

mcBev

π4/)1,0,1(~-=?又因谱线间距相等：厘米/467.04/~==?mcBev

π。特斯拉。00.1467.04=?=

∴e

mc

Bπ6.3Li漫线系的一条谱线)23(2/122/32PD→在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。

解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。

2/323D能级：,2

3

,21,2===jSl

5

4

)1(2)1()1()1(12

3

,21,21,232=

++++-++=-

-=jjsslljjgM

2

/122P能级：,2

1

,21,2===jSl3

2,21,211=-=gM

Lv

)30

26,3022,302,302,3022,3026(~=?所以：在弱磁场中由2/122/3223PD→跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。

6.4在平行于磁场方向观察到某光谱线的正常塞曼效应分裂的两谱线间波长差是

ο

A40.0。所用的磁场的

B是2.5特斯拉，试计算该谱线原来的波长。

解：对单重项（自旋等于零）之间的跃迁所产生的谱线可观察到正常塞曼效应。它使原来的一条谱线分裂为三条，两个σ成分，一个π成分。π成分仍在原来位置，两个σ成分在π成分两侧，且与π成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。

又2/)1(~,1

~λλλ

λ

?-=?=?=v

v

符号表示波长增加波数减少。根据题设，把λ?近似地看作σ成分与π成分间的波长差，则

有：

Lv

=?=?2/~λλ其中mcBeLπ4/=

2

D3/2

2

P1/2

有磁场

-3/2

-1/2M3/21/2

1/2

因此，ολλAL

5.4140101405.47

=?≈?=-米

6.5氦原子光谱中波长为)2131(1.6678

11

21

PpsDdsA→ο

及)2131(1.70650311PpsSssA→ο

的两条谱线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别

作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？

解：（1）

1,0,1,2,2,0,22221

=±±====gMJSLD谱项：。

1,0,1,1,0,11111

=±====gMJSLP谱项：

Lv

)1,0,1(~+-=?。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以ο

λA1.6678=的光谱线分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。

（2）对

2,0,1,1,1,02213

=±====gMJSLS能级：

00

,0,0,1,1111103======gMgMJSLP，能级：对

Lv)2,0,2(~+-=?，所以ο

λA1.7065=的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱

线的波数差均为2L，所以不是正常塞曼效应。

6.62

/122/1233SPNa→原子从跃迁的光谱线波长为ο

A5896，在B=2.5特斯拉的磁场

中发生塞曼分裂。问从垂直于磁场方向观察，其分裂为多少条光谱线？其中波长最长和最短的两条光谱线的波长各为多少

ο

A？

解：对于3

2

,21,21,21,13222/12

=±====gMJSLP能级：对于2,2

1

,21,21,03112/12

=±===

=gMJSLS能级：Lv)3

4,32,32,34(~--=?，所以从垂直于磁场方向观察，此谱线分裂为四条。

根据塞曼效应中裂开后的谱线同原谱线波数之差的表达式：

2/)1(~λλλ

?-=?=?v

，Lv3

4

/~2=?=?λλ因此，波长改变λ?为：ολλAL54.03

42

==?

所以，最长的波长maxλ为：

ο

λλλA54.5896max=?+=

最短的波长minλ为：

ο

λλλA46.5895min=?-=

6.7SPNa33→原子从跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96埃。试求出原能级

2/32

P在磁场中分裂后的最低能级与2/12P分裂后的最高能级相

并合时所需要的磁感应强度Ｂ。

解：对

;3

4

,21,23,23,21,12/32

=±±===

=gMjslP能级：;3

2

,21,21,21,12/12

=±===

=gMjslP能级：磁场引起的附加能量为：Bm

he

Mg

Eπ4=?设,,,2/12

2/122/32SPP对应的能量分别为012,,EEE，跃迁,,2/122/122/122/32SPSP

→→产生的谱线波长分别为12,λλ；那么，ο

ολλAA93.5895,96.5889

12==。P2

能级在磁场中

发生分裂，,,2/122/32PP的附加磁能分别记为12,EE??；现在寻求1122EEEE?+=?+时的

B。

Bm

eh

gMgMEEEEπ4)

(22112112-=?-?=-由此得：

mc

eB

gMgMhcEEEEπ4)()()(22112112-=?-?--

即：

mc

eB

gMgMπλλ4)

(1

1

22111

2

-=-

因此，有：)1

1(141

22211λλπ--=

gMgMemcB

其中2,3

1

2211-==

gMgM，将它们及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。

6.8已知铁的原子束在横向不均匀磁场中分裂为9束。问铁原子的J值多大？其有效磁矩多大？如果已知上述铁原子的速度秒米/103

=v，铁的原子量为55.85，磁极范围

03.01米=L，磁铁到屏的距离10.02米=L，磁场中横向的磁感应强度的不均匀度

310=dy

dB

特斯拉/米，试求屏上偏离最远的两束之间的距离d。解：分裂得条数为2J+1,现2J+1=9。所以J=4,有效磁矩3为：

BJJJJgPm

e

g

μμ)1(2+==而52)1(=+JJ

对

D5

原子态：2

3

,2,2=

==gSL，因此2231021.653米安??≈=-BJμμ与第二章11题相似，

2

2

12212

201

1',/,,vLLdydBmMgvLLdydBmvvLtgLSNAmtgvv

v

LdydBmvv

LtdydB

mmfaatvByFe

Feyyμμθθμμ-=======

∴====⊥⊥⊥⊥而

将各量的数值代入上式，得：3

10799.1'-?=S米

原子束在经过磁场1L距离后，偏离入射方向的距离：

BMgv

LdydBmSμ2

1)(21?-

=其中，0,1,2,3,4±±±±=M，可见，当4±=M时，偏离最大。把4-=M代入上式，得：

BFevLdydBANSμ2

3

4)(2210???=

把各量的数值代入上式，得：31079.2-?=S米。

所以：31018.9)'(2-?=+=SSd

米。

6.9铊原子气体在2/12P状态。当磁铁调到B=0.2特斯拉时，观察到顺磁共振现象。问微波发生器的频率多大？

解：对2/12

P原子态：3

2

,21,21,1====gJSL由BghvBμ=

得hBgvB/μ=

代入各已知数，得1

9

109.1-?=秒v。

6.10钾原子在B=0.3特斯拉的磁场中，当交变电磁场的频率为9

104.8?赫兹时观察到顺磁共振。试计算朗德因子g，并指出原子处在何种状态？

解：由公式BghvBμ=

，得：2≈g

钾外层只有一个价电子，所以slsljs-+==或,2

1

又)

1(2)

1()1()1(1++++-++

=jjsslljjg

将sjlg-==和2代入上式，得到：

2)

1(2)

1()1)(()1(1=++++++

=jjsssjsjjjg

整理，得：0)1(2

=--+sjsj

当21=

s时，上方程有两个根：1,21

21-==jj当21-=s时，上方程有两个根：1,2

1

43-=-=jj

由于量子数不能为负数，因此432,,jjj无意义，弃之。

2

1212

1

1=∴=+===∴lljjj因此钾原子处于2

12

S状态。

6.11氩原子（Z=18）的基态为01S；钾原子（Z=19）的基态为2

12

S；钙原子（Z=20）的

基态为01S；钪原子（Z=21）的基态为2

32

D。问这些原子中哪些是抗磁性的？哪些是顺磁性

的？为什么？

答：凡是总磁矩等于零的原子或分子都表现为抗磁性；总磁矩不等于零的原子或分子都表现为顺磁性。

而总磁矩为BJJJJgPm

e

g

μμ)1(2+==氩原子的基态为01S：00,0,0====JJSLμ所以有故氩是抗磁性的。同理，钙也是抗磁性的。

钾原子的基态为2

12

S：02,21

,21,0≠===

=JgJSLμ，所以有，故钾是顺磁性的。钪原子的基态为2

32

D：05

4

,23,21,2≠===

=JgJSLμ，所以有，故钪是顺磁性的。

6.22若已知钒（F4

），锰（S6

），铁（D5

）的原子束，按照史特恩-盖拉赫实验方法

通过及不均匀的磁场时，依次分裂成4，6和9个成分，试确定这些原子的磁矩的最大投影值。括号中给出了原子所处的状态。

解：原子的磁矩Jμ在磁矩方向的分量为Zμ

BZMgμμ-=

其中M=J,J-1,……-J；式中的负号表示当M是正值时，Zμ和磁场方向