中考数学压轴题知识点集锦

第77页目录考点01：基本方法和结论1考点02：直角三角形5考点03：点到直线的距离8考点04：等腰三角形10考点05：多边形的面积15考点06：相似三角形21考点07：梯形26考点08：平行四边形33考点09：交点坐标38考点10：旋转40考点11：翻折45考点12：平移49考点13：对称51考点14：角平分线性质58考点01：基本方法和结论1、若要在平面直角坐标系中求某一点的坐标：⑴求一般的点的坐标：过该点作轴或轴的垂线。⑵求函数及坐标轴的交点坐标：①求函数及轴的交点坐标：令；②求函数及轴的交点坐标：令；⑶求两个函数的交点坐标：将函数解析式联立成方程组，方程组的一组解就是一个交点坐标；⑷求函数图象上的点的坐标：设其坐标为（,该函数的解析式）；2、抛物线的性质：⑴配方为：⑵开口方向及最值：①当时，函数图象开口向上，函数有最低点（，），当时，函数有最小值为；②当时，函数图象开口向下，函数有最高点（，），当时，函数有最大值为；⑶对称轴是：直线；⑷顶点坐标为：（，）；⑸抛物线及抛物线的形状相同，是由抛物线的图象向左平移个单位，向下平移个单位得到的；⑹抛物线及轴的交点情况：①当△＞０时，抛物线及轴有两个不同的交点，交点坐标分别为：（，0）、（，0）；②当△＝０时，抛物线及轴只有一个交点，交点坐标为（，0）；③当△＜０时，抛物线及轴没有交点；3、求二次函数解析式的方法：⑴当已知二次函数图象上的一般三点时，设其解析式为一般式：；⑵当已知二次函数及轴的交点坐标为（，0）、（，0）时，设其解析式为交点式：；⑶当已知二次函数的对称轴或最值或顶点坐标为（，）时，设其解析式为顶点式：；4、由抛物线的大致图象确定、、符号的方法：⑴a看方向：开口向上，a>0，开口向下，a<0。⑵b看左右：左同右异中为0。因为抛物线的对称轴是_________，所以若抛物线的对称轴在y轴的左边，则a、b____，所以若抛物线的对称轴在y轴的右边，则a、b____；若抛物线的对称轴是y轴，则c=0；⑶c看上下：上正下负中为0。抛物线及y轴的交点坐标是______，所以当抛物线及y轴的交点在y轴的正半轴上时，则c____0，当抛物线及y轴的交点在y轴的负半轴上时，则c____0;当抛物线及y轴的交点在原点时，则c=0;⑷交点个数看：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c及x轴交点的个数由一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解的个数确定，所以若抛物线及x轴有两个交点，则b2－4ac___0，所以若抛物线及x轴有一个交点，则b2－4ac___0，所以若抛物线及x轴有0个交点，则b2－4ac___0。⑸当x=1时，y=a+b+c,当x=－1时，y=a－b＋c；当x=2时，y=4a+2b+c,当x=－2时，y=4a－2b＋c；所以观察x=1、－1、2、－2时所对应的图像上的点在轴的上方或下方，就可以判断a＋b＋c、a－b＋c、4a＋2b＋c、4a－2b＋c的正负。5、在平面直角坐标系中求多边形面积时，应首先求出（或表示出）多边形的每个顶点坐标⑴将多边形分割成直角三角形及直角梯形的面积的和或差。⑵如图：若要求△ABC的面积，则先过处于中间位置的顶点作⊥轴于点（或过点B作轴的垂线），交于点，则，其中，要求点M的坐标，则需先求直线AB的解析式，然后将点C的横坐标代入即可求出点M的纵坐标。若点C的横坐标未知，则设点M坐标为（,直线AB的解析式）；6、平面内两点A（，）、B（，）之间的距离公式为：，线段AB的中点坐标为。7、平面内点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C＝0的距离为：8、若直线及直线互相平行，则；若直线及直线互相垂直，则。9、求最大值或最小值时，首先建立一个函数关系式：⑴若建立的函数关系式是一次函数：①当时，由于随的增大而增大，所以当取最大值时，有最大值，当取最小值时，有最小值；②当时，由于随的增大而减小，所以当取最大值时，有最小值，当取最小值时，有最大值；⑵若建立的函数关系式是二次函数，首先将解析式配方为：，①当时，由于函数图象开口向上，当时，函数有最小值为；②当时，由于函数图象开口向下，当时，函数有最大值为；10、在一次函数的一般式或二次函数的顶点式中，平移后的解析式的规律为：左加右减自变量，上加下减常数项。11、将抛物线的图象绕其顶点旋转180º后的抛物线解析式为12、⑴如果点（，y）、（，y），即纵坐标相等的两点关于直线对称，那么；⑵已知点、的坐标及直线的解析式，在直线上求点，使△的周长最小的方法：过点作⊥，并延长到，使，则点和点关于直线对称，连结，交于点，则，若直线上另选取一点，则∴直线上的所有点中，存在点到点和点的距离之和最小，而是定值，故所求作的点满足△的周长最小。①作点关于直线对称的对称点，利用直线AB⊥直线及点的坐标求直线的解析式；②利用方程组求直线及直线的交点的坐标；③利用中点坐标公式求点的坐标；④利用、坐标求直线的解析式；⑤利用方程组求直线及直线的交点的坐标；13、如图：已知点、的坐标及直线的解析式，在直线上求点，使的值最大的方法：作点关于直线对称的点，作直线交直线于点，连结。∵点A和点B关于直线对称，∴PA＝PB，要使最大，即是使最大，由三角形两边之差小于第三边得，当D、B、P在同一直线上时的值最大．∴点P即为所求的点。①作点关于直线对称的对称点，利用直线AB⊥直线及点的坐标求直线的解析式；②利用方程组求直线及直线的交点的坐标；③利用中点坐标公式求点的坐标；④利用、坐标求直线的解析式；⑤利用方程组求直线及直线的交点的坐标；14、角平分线的性质：如图：若AD平分∠BAC，则有：15、三角形相似的分类方法：若∠A=∠D时，要使△ABC∽△DEF，则分为两种情况16、已知梯形三点坐标，求第四点位置的分类方法：⑴当AD∥BC时，在直线AD上；⑵当BE∥AC时，在直线BE上；⑶当CF∥AB时，在直线CF上；17、已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（，）、B（，）、C（，）、D（，），则它们的坐标分别满足以下关系：⑴当以AB为对角线时：则AB的中点和CD的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；⑵当以AC为对角线时：则AC的中点和BD的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；⑶当以AD为对角线时：则AD的中点和BC的中点是同一个点，由中点坐标公式可知:，即；18、若抛物线及轴交于A、B两点，则⑵两交点间的距离为：19、以点P（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程为考点02：直角三角形1、（2010湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（及点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴．且当时，y有最大值．（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．设过此三点的抛物线为，则（3）由（2）知∠EPB=90°，即点Q及点B重合时满足条件．直线PB为，及y轴交于点（0，－1）．将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），∴该直线为．由得∴Q（5，6）．故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．2、（广安2010）如图，直线及抛物线都经过点A（-1，0）、C（3，-4）．

⑴求抛物线的解析式；

⑵动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线及抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；

⑶当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

解：⑴∵A（-1，0）、C（3，-4）在抛物线上，

∴，

∴，，∴．

⑵设动点P的坐标为（m，），则E点的坐标为（m，），

∴PE=＝＝，

∴当m=1时，线段PE最大且为4．

⑶假设存在符合条件的Q点；

当线段PE最大时动点P的坐标为（1，－2），

①当PQ⊥PC时，设直线PQ的解析式为：y＝x＋b，

则有：－2＝1＋b，b＝－3；

∴直线PQ的方程为y=x-3，联立

得点Q的坐标为：（，），（，）．

②当CQ⊥PC时，同理可求得直线CQ的解析式为y=x-7；

联立抛物线的解析式得：，解得，（舍去），∴Q（1，-6）；

综上所述，符合条件的Q点共有3个，坐标为：Q1（，），Q2（，），Q3（1，－6）3、（广东肇庆2011）已知抛物线及轴交干A、B两点。（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线及y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．解：（1）证：∵。∴抛物线的对称轴在y轴的左侧。（2）设抛物线及轴的交点坐标为A（1，0），B（2，0）。则∵。又。由（1）知，抛物线的对称轴在y轴的左侧，代入得：（3）当=0时，考点03：点到直线的距离1、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．（1）求、的值；（2）求直线PC的解析式；（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆及直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数：，，）解：（1）由已知条件可知：抛物线经过A（-3，0）、B（1，0）两点．解得．（2）∵，∴P（-1，-2），C．设直线PC的解析式是，则解得．∴直线PC的解析式是．（3）如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．设直线PC及轴交于点D，则点D的坐标为（3，0）．在Rt△OCD中，∵OC=，，∵OA=3，，∴AD=6．∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，∴△COD∽△AED．∴，即．∴．∴以点A为圆心、直径为5的圆及直线PC相离．2、（广西玉林2011）已知抛物线及轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），及y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．⑴求A、B的坐标；⑵过点D作DH丄轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；⑶在第⑵小题的条件下，直线CD及轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由＝0得，，∵≠0，∴，解得1＝－1，2＝3，∴点A的坐标（－1，0），点B的坐标（3，0）。（2）由，令＝0，得＝－3，∴C（0，－3）。又∵，得D（1，－4）。∴DH＝1，CH＝－4－（－3）＝－，∴－＝1，∴＝－1。∴C（0，3），D（1，4）。设直线CD的解析式为，把C、D两点的坐标代入得，，解得。∴直线CD的解析式为。（3）存在。由（2）得，E（－3，0），N（－，0）。∴F（，），EN＝。作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM＝－m，EF＝，MQ＝OM＝。由题意得，Rt△FQM∽Rt△FNE，∴，即，整理得4m2＋36m－63＝0，解得m1＝，m2＝－，∴点M的坐标为M1（，），M2（，－）。考点04：等腰三角形1、【2007雅安】如图，已知的顶点A（3，0）、B（0，1），是坐标原点．将绕点按逆时针旋转90°得到；⑴写出两点的坐标；⑵求过三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点的坐标；⑶在线段上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）， 2分（2）设所求抛物线的解析式为（）在抛物线上yxOyxOABCDMEN 6分即．又． 7分（3）解：（法一）连接，作轴于，则， 9分 11分即在线段上存在点（即点）使得． 12分（法二）yxOABCDMNQ设在上存在点yxOABCDMNQ作于，对称轴于． 8分则 9分则． 11分故在线段上存在点（即点）使得． 12分2、【2007广安】如图，已知抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），及y轴交于点C。⑴求点A、B、C的坐标。⑵若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。⑶连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）∵抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点∴－x2+2x+3=0解之得：x1=3,x2=－1 ……………（1分）∴点A（－1，0），B（3，0） …………（2分）又∵抛物线y=－x2+2x+3交y轴于点C∴点C（0，3） …………（3分）（2）∵抛物线y=－x2+2x+3的顶点为M………（4分）∴M（1，4）∴过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1∴BE=OB－OE=3－1=2，OC=3∴S△BCM=S四边形COBM－S△BOC=S梯形COEM+S△BEM－S△BOC==3 ………（7分）（3）存在点P。1）以AC为腰：①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P1，P2（P1在P2的右侧）∴P1O=+1，P2O=－1∴点P1（－1,0），点P2（－－1,0）……（9分）②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点AP3∴点P3及点A关于y轴对称，则点P3坐标为（1，0）…………（10分）E2）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点P4，垂足为F，则AF=E∵∠AFP4=∠AOC=90o，∠CAO=∠P4AF∴△AOC∽△AFP4∴，即：∴AP4=5∴OP4=5－1=4∴P4（4，0）∴点P的坐标为：P1（－1,0），P2（－－1,0），P3（1,0），P4（4,0） 3、（2010福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴………2分（2）…………5分把点坐标代入中，解得………6分……………7分（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴及轴交于，及交于．过点作轴于，易得，，，①以为腰且顶角为角的有1个：． 8分在中， 9分②以为腰，且顶角为∠的有1个：．在中， 10分 11分③以为底，顶角为角的有1个，即．画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．过点作垂直轴，垂足为，显然．于是 13分………………14分4、（湖南邵阳2011）如图所示，在平面直角坐标系O中，已知点A（－EQ\f(9,4)，0），点C（0，3），点B是轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．⑴求∠ACB的度数；⑵已知抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；⑶线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴∵以AB为直径的圆恰好经过点C，∴∠ACB=900。⑵∵△AOC∽△ABC，∴OC2=AO·OB。∵A（－EQ\f(9,4)，0），点C（0，3），∴AO=EQ\f(9,4)，OC=3。∴32=EQ\f(9,4)OB，∴OB=4。∴B（4，0）。∴设抛物线的解析式为把C点坐标代入得，解得∴抛物线的解析式为，即。⑶存在。分两种情况讨论：①OD=OB,D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H，则H是OB中点。DH=OC，OH=OB。∴D（2，）。②BD=BO，过D作DG⊥OB,垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1，∵DG∥CO∴OG:OB=CD:CB，即OG:4=1:5，∴OG=；∵DG:CO=BD:BC，即DG:3=4:5，∴DG=。∴D（，）。综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，满足条件的点D有两个，分别为（2，），（，）。5、（2009龙岩）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（10，0），（2，4）.⑴若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；⑵若P为抛物线上异于C的点，且△OAP是直角三角形，请直接写出点P的坐标；⑶若抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点M,探究：抛物线对称轴上是否存在异于D的解：⑴∵点B（2，4）及点C关于轴对称∴C（2，-4）设过O、C、A三点的抛物线的解析式为，将C（2，-4）代入，得，∴抛物线的解析式为⑵存在。点P坐标为（8，-4）⑶存在点Q使得△DQA为等腰三角形。由⑴抛物线的解析式为，可求得顶点D的坐标为（5，），则由两点间的距离公式可得：①若则由对称性可知：满足条件的Q点的坐标为（5，），记为（5，）②若则结合图形，可求得满足条件的Q点坐标为（5,），（5,）③若则设Q（5,y），由解得y=,所以满足条件的Q点坐标为（5，），记为Q4（5,）所以，满足条件的点Q有四个，分别为Q1（5,）,,（5，）。考点05：多边形的面积1、（2008宜宾）已知:如图,抛物线及x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.⑴求该抛物线的解析式；⑵若该抛物线及x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；⑶△AOB及△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为）解：（1）由已知得：，解得∴抛物线的线的解析式为（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E（3,0）设对称轴及x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积==9（3）相似如图，BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.2、（2010达州）如图，对称轴为的抛物线及轴相交于点、.⑴求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；⑵连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.，点P是l上一动点。设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；⑶在⑵的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）∵点B及O（0，0）关于x=3对称,∴点B坐标为（6，0）.将点B坐标代入得：36+12=0,∴=.∴抛物线解析式为.当=3时，,∴顶点A坐标为（3，3）.（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）（2）设直线AB解析式为y=kx+b.∵A（3，3），B（6，0），∴解得,∴.∵直线∥AB且过点O,∴直线解析式为.∵点是上一动点且横坐标为,∴点坐标为（）当在第四象限时（t＞0），=×6×3+×6×=9+3.∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴-3＜≤＞0,∴0＜≤3.当在第二象限时（＜0）,作PM⊥轴于M，设对称轴及轴交点为N.则=-3+9.∵0＜S≤18,∴0＜-3+9≤18,∴-3≤＜3.又＜0,∴-3≤＜0.∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.（3）存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.3、（2009乐山）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线及轴交于两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若的长分别是方程的两根，且（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，试求的最大值．解：（1）解方程得，而则点的坐标为，点的坐标为 1分过点作轴于则为的中点．的坐标为又因为的坐标为 2分令抛物线对应的二次函数解析式为抛物线过点则得故抛物线对应的二次函数解析式为（或写成） 4分（2） 5分又令点的坐标为则有 6分点在抛物线上， 7分化简得解得（舍去）．故点的坐标为 8分（3）由（2）知而 9分过作 10分 11分即此时的最大值为 13分4、（2008重庆）已知：如图，抛物线及y轴交于点C（0，4），及x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。⑴求该抛物线的解析式；⑵点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；⑶若平行于x轴的动直线及该抛物线交于点P，及直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，得解得 （2分）所求抛物线的解析式为：． （3分）（2）设点的坐标为，过点作轴于点．由，得，．点的坐标为．，． （4分），．，即．． （6分）又，当时，有最大值3，此时． （7分）（3）存在．在中．（ⅰ）若，，．又在中，，．．．此时，点的坐标为．由，得，．此时，点的坐标为：或． （8分）（ⅱ）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得：，，在等腰直角中，．．由，得，．此时，点的坐标为：或． （9分）（ⅲ）若，，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形． （10分）综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：或或或5、（2008泸州）如图，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像及二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；⑵已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；⑶当时，求四边形PCMB的面积的最小值。解：（1）由，则得，解得故函数解析式是：。由知，点M（1，4）。（2）由点E（2，3）在正比例函数的图像上得，解得：，故由解得D点坐标为（，），由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量的取值范围是。（3）解得，点D、E坐标为D（，）、E（，）则点P坐标为P（，）由，知点P在第一象限。由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），得则整理，配方得。故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是。图126、（2010福州）如图12，已知直线及双曲线交于两点，且点的横坐标为．图12（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．解：（1）∵点A横坐标为4,∴当=4时，=2.∴点A的坐标为（4，2）.∵点A是直线及双曲线的交点,∴k=4×2=8.（2）过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线上，当=8时，=1.∴点C的坐标为（1,8）.∵点C、A都在双曲线上,∴S△COE=S△AOF=4。∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA.∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15,∴S△COA=15.（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,∴OP=OQ，OA=OB.∴四边形APBQ是平行四边形.∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6.设点P的横坐标为（>0且）,得P（,）.过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4.若0＜＜4，如图12-3，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴.解得=2，=-8（舍去）.∴P（2，4）.若＞4，如图12-4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴，解得=8，=-2（舍去）.∴P（8，1）.∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.考点06：相似三角形1、【2006泸州】如图，已知二次函数的图象及x轴交于点A和B，及y轴交于点C。⑴求点C的坐标；⑵若点A的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；⑶在⑵的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形及△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）点C的坐标为（0，-3）．（2）∵二次函数过点A（1，0），得m=2，即所求二次函数的解析式为．（3）假设存在这样的点P（如图所示），设点P的坐标为（0，y），当时，有x1=1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），即OP=|y|，OA=1，OB=3，OC=3．①当△POB∽△AOC时，y=±1；②当△BOP∽△AOC时，y=±9；③当BP∥AC时，△BOP∽△AOC，这时|y|=9．∵这时的y＜0，∴y=-9，及②中的第二个解相同．综上可知，在y轴上存在点P，使点P、O、B为顶点的三角形及△AOC相似，这样的点有四个，分别是P1（0，-1）、P2（0，1）、P3（0，-9）、P4（0，9）．2、（2010漳州）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线经过A、B、C三点．⑴填空：A（，）、B（，）、C（，）；⑵求抛物线的函数关系式；⑶E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形及△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）A（－1，0），B（0，－3），C（3，0）…3分（2）∵抛物线经过B点，∴∵抛物线经过A，C两点，∴解得………………5分∴………………6分（3）解：过点E作EF⊥y轴垂足为点F.由（2）得∴E（1，—4）。∵tan∠EDF=，tan∠DCO=.∴∠EDF=∠DCO………7分∵∠DCO+∠ODC=90°，∴∠EDF+∠ODC=90°.∴∠EDC=90°，∴∠EDC=∠DOC.……8分①当时，△ODC∽△DPC，则，∴DP=…9分过点P作PG⊥y轴，垂足为点G.∵tan∠EDF=，∴设PG=x，则DG=3x在Rt△DGP中，.∴，∴（不合题意，舍去）………………10分又∵OG=DO+DG=1+1=2，∴P（，）．…………………11分②当时，△ODC∽△DCP，则∴DP=.∵DE=，∴DP=（不合题意，舍去）…………13分综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形及△DOC相似，此时点P的坐标为P（，）．……………………14分3、（2010包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）及轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形及以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．yxyxOBADC(x=m)(F2)F1E1(E2)解得．（2）当时，得或，当时，得，∵点在第四象限，∴．当时，得，∴，∵点在第四象限，∴．（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴（舍去），，∴，4、（2010晋江）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.（1）试直接写出点的坐标；（2）已知点及点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.①若以、、为顶点的三角形及相似，试求出点的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.解：（1）依题意得：；（2）①∵，，∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线经过点及点∴解得：∴抛物线的解析式为.∵点在抛物线上，∴设点.1）若∽，则，，解得：（舍去）或，∴点.2）若∽，则，，解得：（舍去）或，∴点.②存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线及轴的另一个交点为，则点.∵点、点关于直线对称，∴要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为，∴解之得：∴直线的解析式为.当时，.∴存在一点使得最大.考点07：梯形1、（常州）已知及是反比例函数图象上的两个点．（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图象上，是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由，得，因此．（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．由于点及点的横坐标相同，因此轴，从而．当为底时，由于过点且平行于的直线及双曲线只有一个公共点，故不符题意．当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，过点分别作轴，轴的平行线，交于点．由于，设，则，，由点，得点．因此，解之得（舍去），因此点．此时，及的长度不等，故四边形是梯形．如图2，当为底时，过点作的平行线，及双曲线在第一象限内的交点为．由于，因此，从而．作轴，为垂足，则，设，则，由点，得点，因此．解之得（舍去），因此点．此时，及的长度不相等，故四边形是梯形．如图3，当过点作的平行线，及双曲线在第三象限内的交点为时，同理可得，点，四边形是梯形．综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．2、（2010杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=+1，点C的坐标为（–4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB及y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上.（1）写出点M的坐标；（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.解：（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和–2，代入y=+1得，A（2,2），B（–2，2），∴M（0，2），（2）①过点Q作QHx轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：,即：t=x–2y,∵Q（x,y）在y=+1上，∴t=–+x–2.当点P及点C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得x=1,当Q及B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=2∴x的取值范围是x1,且x2的所有实数.②分两种情况讨论：1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，∴t=–+0–2=–2.2）当CM<PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM=PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，解得：x=.当x=–时，得t=–––2=–8–,当x=时，得t=–8.3、（2008成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在（1）中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线及y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.解：（1）如图，过点作于点．在中，yxFyxFP3BECDAP2P1O又由勾股定理，得．点在第一象限内，点的坐标为．点关于轴对称的点的坐标为． 2分设经过三点的抛物线的函数表达式为由经过三点的抛物线的函数表达式为． 2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形．①点不是抛物线的顶点，过点作直线的平行线及抛物线交于点．则直线的函数表达式为．对于，令或．而点，．在四边形中，，显然．点是符合要求的点． 1分②若．．③若．．综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形． 1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线及轴的负半轴交于点．可设抛物线的函数表达式为．yxQOyxQOGRMN如图，过点作轴于点．． 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线及轴的正半轴交于点．同理，可得． 1分综上可知，的值为． 1分4、（襄阳2011）如图，在平面直角坐标系o中，AB在轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'及轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A，B，C三点．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O的切线，∴O′C⊥CD。∵AD⊥CD，∴O′C∥AD。∴∠O′CA=∠CAD。∵O′A=O′C，∴∠CAB=∠O′CA。∴∠CAD=∠CAB。（2）①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB=90°。∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB。∴△CAO∽△BCO。∴，即OC2=OA•OB。∵tan∠CAO=tan∠CAD=，∴AO=2OC。又∵AB=10，∴OC2=2OC（10﹣2OC）。∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2。∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4）。∵抛物线过点A，B，C三点，∴=4，由题意得：，解得：。∴抛物线的解析式为：。②设直线DC交轴于点F，∴△AOC≌△ADC（AAS）。∴AD=AO=8。∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD。∴。∴8（BF+5）=5（BF+10）。∴BF=，F（，0）。设直线DC的解析式为，则，解得：。∴直线DC的解析式为。由得顶点E的坐标为（﹣3，），将E（﹣3，）代入直线DC的解析式中，右边==左边。∴抛物线顶点E在直线CD上。（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）。【考点】二次函数综合题，圆的切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标及方程的关系。5、（张家界2011）如图，抛物线经过点A（—4，0）、B（—2，2），连接OB、AB，（1）求该抛物线的解析式.（2）求证：△OAB是等腰直角三角形.（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.解：（1）由A（—4，0）、B（—2，2）在抛物线图象上，得：，解之得，，。∴该函数解析式为：。（2）过点B作BC垂直于轴，垂足是点C。易知：线段CO、CA、CB的长度均为2，∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形。∴ＡＢ＝ＯＢ且∠ABO=∠ＡＢＣ＋∠ＯＢＣ＝900。∴△OAB是等腰直角三角形。（3）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′其中点B′正好落在轴上且B′A′∥轴．又∵ＯB′和A′B′的长度为A′B′中点P的坐标为，显然不满足抛物线方程。∴点P不在此抛物线上。（4）存在。过点O，作OM∥AB交抛物线于点M易求出直线OM的解析式为：联立抛物线解析式得：解之得，点M（—6，—6）。显然，点M（—6，—6）关于对称轴的对称点M′（2,—6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（—6，—6）和（2，—6）。∴SABOM=S△ABO＋S△AOM=×4×2+×4×6=16。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标及方程的关系，等腰直角三角形的判定，旋转的性质。【分析】（1）将A（－4，0）、B（－2，2）代入抛物线解析式，列方程组求、的值即可。（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状。（3）根据△OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断。（4）存在．过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，根据△OAB为等腰直角三角形，可求直线OM的解析式，及抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AM′∥OB交抛物线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解。6.（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx及过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q及直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且及直线l分别交于不同的M、N两点．

⑴当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=___，m=___，∠AOE=___．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；⑵在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．解：（1）①1，，60°。②如图，连接TM，ME，EN，QN，QM，∵OE和OP是⊙Q的切线，∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（2）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。理由如下：如图，连DM，ME，∵DM为直径，∴∠DME=90°。而DE垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。∴MF2=EF•FD。设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k。又∵M、N的纵坐标都为1，当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。∴MN=2。∴MF=MN=。∴。∴。∴a=－1。∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化，a=－1。【考点】一次、二次函数综合题，曲线上点的坐标及方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，切线的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，多边形内角和定理，平行的判定和性质，等腰梯形的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。考点08：平行四边形1、（南宁2011）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0）、B（0，－3），点P是直线AB上的动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（3，0），B（0，-3）代入，得，解得。∴抛物线的解析式是。设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入，得，解得。∴直线AB的解析式是。（2）设点P的坐标是（）,则M（,）。∵点P在第四象限，∴PM=，∴当PM最长时，此时。（3）存在。P点的横坐标是或。【考点】二次函数综合题，点的坐标及方程的关系，待定系数法，解二元一次方程，二次函数的性质，平行四边形的性质。2、（河源2011）如图，已知抛物线及x轴交于两点A、B，其顶点为C．（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；（2）求证:△ABC是等腰直角三角形；（3）已知点D在轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。理由如下：∴当。而-2<-1，∴对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。（2）令，解得，。∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）。由（1）知点C的坐标为（2，－1）。过C作CE⊥X轴于E，则点E的坐标为（2，0）。∴AE=2－1=1，EB=3－2=1，CE=1。∴AC=BC=。∴AC2＋BC2=。而AB2=22=4，∴AC2+BC2=AB2。∴△ABC是等腰直角三角形。（3）存在。首先BD为平行四边形边的情况是不可能的，这是因为C是抛物线的顶点，它不可能及抛物线上的其它点构成及BD（轴）平行的线段。因此只能是BC为边构成平行四边形。∵点D，B在轴上，点C到轴的距离为1，∴点P的纵坐标为1。则由解得，。∵由（2）知∠CBO=450，∴∠PDB=450。∴P，D两点横纵标之差等于P点的纵坐标。当时，D点横纵标为；当时，D点横纵标为。因此以B、C、D1（，0）、P1（，1）和B、C、D2（，0）、P2（，1）为顶点的四边形是平行四边形。即所求点P的坐标为（，1）和（，1）。3、（湛江2011）如图，抛物线的顶点为D（﹣1，﹣4），及轴交于点C（0，﹣3），及轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，解得：=2，=﹣3，则解析式为：。（2）令，解得=1或=﹣3。由题意点A（﹣3，0）。由AC2＋CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形。（3）分两种情况讨论：①E，F在轴同侧。 要求A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形即要AB平行且等于EF。由已知E点横坐标为-1，由（2）AB=4，有F点横坐标为－5或3。所以F点纵坐标为（－5）2＋2（－5）－3=12或32＋2×3－3=12。即当F点坐标为（－5，12）或（3，12）时，A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形，此时E点坐标为（－1，12）。②E，F在轴两侧。 要求A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形即要AE=BF，AF=BE。设E（－1，），F（，2＋2－3），则有，解之，得=－1，2＋2－3=－4。即当F点坐标为（－1，－4）时，A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形，此时E点坐标为（－1，4）。综上所述，当F点坐标为（－5，12），（3，12）或（－1，－4）时，A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形。【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理，平行四边形的判定。【分析】（1）由二次函数顶点列式计算，从而得到，的值而得解析式。（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证。（3）分E，F在轴同侧和异侧两种情况讨论。当E，F在轴同侧时，应用对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，列式可求F点坐标；当E，F在轴两侧时，应用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，列式可求F点坐标。4、（衡阳2011）已知抛物线QUOTE．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线及轴总有两个不同的交点．（2）如图，当抛物线的对称轴为直线=3时，抛物线的顶点为点C，直线=﹣1及抛物线交于A、B两点，并及它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．解：（1）∵当=0时，得关于的一元二次方程该方程根的判别式△=m2﹣4m+7=（m﹣2）2+3＞0∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线及轴总有两个不同的交点。（2）①由直线=﹣1及抛物线交于A点，且在轴上，∴点A（1，0）代入二次函数函数式则m=3。∴二次函数式为：。QUOTE当抛物线的对称轴为直线=3时，则=﹣2，即顶点C为（3，﹣2）。把=3代入直线=﹣1则=2，即点D（3，2）。则AD=AC=2QUOTE。设点P（，QUOTE），由直线AD的斜率及直线PC的斜率相等，得。解得：=3或=5则点P（3，2）（及点D重合舍去）或（5，0）。经检验点（5，0）符合，所以点P（5，0）。②设直线CD平移个单位可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则M（3＋，＋2），N（3＋，QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE）。根据平行四边形对边平行且相等的判定，只要MN=DC=4。（ⅰ）当点M在点N上方，得（＋2）－[QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE]=4，整理，得2－2=0，解得，=0（及DC重合，舍去），=2。（ⅱ）当点M在点N下方，得[QUOTE（3＋）2﹣3（3＋）＋QUOTE]－（＋2）=4整理，得2－2－16=0，解得，=。综上所述，直线CD向右平移2或个单位或向左平移个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。5、（凉山2011）如图，抛物线及轴交于（，0）、（，0）两点，且，及轴交于点，其中是方程的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。解（1）∵，∴，。又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。∴抛物线的解析式为。（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），yxOyxOBEA图（2）D∴当时，有最大值4。此时，点的坐标为（2，0）。（3）∵点（4，）在抛物线上，yxOBA图（3）D∴当时，，∴点yxOBA图（3）D如图（2），当为平行四边形的边时，，∵（4，），∴（0，），。∴，。··········9分如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为（，0）。·∴的坐标为（，4）。把（，4）代入，得。解得。考点09：交点坐标1、（2010绍兴）如图,设抛物线C1:,C2:,C1及C2的交点为A,B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.（1）求的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点Ｍ的直线为,且及x轴交于点N.①若过△DHG的顶点G,点D的坐标为（1,2），求点N的横坐标；②若及△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.解：（1）∵点A在抛物线C1上，∴把点A坐标代入得=1.∴抛物线C1的解析式为,设B（－2,b），∴b＝－4,∴B（－2,－4）.（2）①如图1，∵M（1,5），D（1,2）,且DH⊥x轴，∴点M在DH上，MH=5.过点G作GE⊥DH,垂足为E,由△DHG是正三角形,可得EG＝,EH＝1，∴ME＝4.设N（x,0）,则NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴点N的横坐标为．②当点Ｄ移到及点A重合时,如图2，直线及DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,设Ｎ（x，0），∵A（2,4）,∴G（,2）,∴NQ=，ＮF=,GQ=2,MF=5.∵△NGQ∽△NMF，当点D移到及点B重合时,如图3，直线及DG交于点D,即点B,此时点N的横坐标最小.∵B（－2,－4）,∴H（－2,0）,D（－2,－4）,设N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴，∴,∴.∴点N横坐标的范围为≤x≤.2、（2008资阳）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线所对应的函数关系式；⑵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD所对应的函数关系式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：⑴∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴ΔAOC∽ΔCOB，∴．又∵A（–1，0），B（9，0），∴，解得OC=3（负值舍去）．∴C（0，–3），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x–9），∴–3=a（0+1）（0–9），解得a=，∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x–9），即y=x2–x–3．⑵∵AB为O′的直径，且A（–1，0），B（9，0），∴OO′=4，O′（4，0），∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴D（4，–5）．∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）∴解得∴直线BD的解析式为y=x–9.⑶假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，分两种情况（如图所示）：①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．∵B（9，0），C（0，–3）．∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x–3．又∵DP1∥CB，∴设直线DP1的解析式为y=x+n．把D（4，–5）代入可求n=–，∴直线DP1解析式为y=x–．解方程组得（不合题意，应舍去）②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得ΔNBD≌ΔMDB（SAS），∴∠NDB=∠CBD．由①知，直线BC解析式为y=x–3．取x=4，得y=–，∴M（4，–），∴O′N=O′M=，∴N（，0），又∵D（4，–5），∴直线DN解析式为y=3x–17．解方程组得（不合题意，应舍去）∴点P2坐标为（14，25），∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．考点10：旋转1、（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.⑴求在运动过程中形成的△OPQ的面积S及运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；⑵在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；⑶如图⑵，现有∠MCN＝60°，其两边分别及OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．解：（1）如图，过点Q作QE垂直x轴，垂足为E，过点C作CF垂直x轴，垂足为F，在Rt⊿OQE中，∵OQ＝t，∠EOQ＝30°，，第一种情况，点P运动到O点前：在△OQP中∵OP＝2－3t，第二种情况，点Q运动到C点前：在⊿OQP中，∵∠AOQ＝30°，∠BOA＝60°，∴∠POQ＝90°∴（2）如图可以看到有三个点：，,，（3）如图将△CNA绕着点C旋转120°（及O重合）使得△CNA落到△CN处．则△CNA≌△CN（旋转的性质）∴＝CN，＝AN，∠NCA＝∠，∴∠NCM＝∠在和中∠NCM＝∠，＝CN，CM＝CM，∴≌，∴＝，即＝＋，∴＝AN＋OM，则△BMN的周长为：BM＋BN＋MN＝BM＋BN＋AN＋OM＝OB＋AB＝4所以则△BMN的周长为定值，这个定值是4．2、（2011株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边及该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．解：（1）设线段AB及轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，OA=OB=，∠AOB=900，AC=OC=BC=2。B（2，－2）。将B（2，－2）代入抛物线得，。（2）过点A作轴于点E，点B的横坐标为，B（1，）。BF=。又∠AOB=900，易知∠AOE=∠OBF。又，∠AEO=∠OFB=900，△AEO∽△OFB，。AE=2OE。设点A（，）（），则，，。，即点A的横坐标为－4。（3）设A（，）（），B（，）（），设直线AB的解析式为：，则，得，，。又易知△AEO∽△OFB，，，。。由此可知不论为何值，线段AB恒过点（，－2）。【考点】二次函数综合题，抛物线的对称性，等腰直角三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标及方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。【分析】（1）先求出B点坐标，代入抛物线得的值。（2）过点A作AE⊥轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标。（3）设A（，）（），B（，）（），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，－2）。3、（2011芜湖）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（，0），将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。（1）若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。解：（1）∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为（0，3），点的坐标为（3，0）。所以抛物线过点C（-1，0），A（0，3），（3，0）设抛物线的解析式为，可得解得∴过点C，A，的抛物线的解析式为。（2）因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。∴,又.,∴又,∴,又△ABO的周长为。∴的周长为。（3）连接OM，设M点的坐标为，∵点M在抛物线上，∴。因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值所以当点M的坐标为（）时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。4、（2010南充）已知抛物线上有不同的两点E和F．⑴求抛物线的解析式．⑵如图，抛物线及x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．⑶当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．解：（1）抛物线的对称轴为．∵抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠－2．∴抛物线的解析式为．2）抛物线及x轴的交点为A（4，0），及y轴的交点为B（0，4），∴AB＝，AM＝BM＝．在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．∴∠BCM＝∠AMD．故△BCM∽△AMD．∴，即，．故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．（3）∵F在上，化简得，，∴k1＝1，k2＝3．即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为，则解得，∴直线MF的解析式为．直线MF及x轴交点为（－2，0），及y轴交点为（0，1）．若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为，则解得，∴直线MF的解析式为．直线MF及x轴交点为（，0），及y轴交点为（0，）．若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．故当或时，∠PMQ的边过点F．考点11：翻折1、（2010芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3eq\r(3)，1）、C（－3eq\r(3)，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－eq\r(3)，1）、F（－eq\F(4\r(3),3)，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．2.（漳州2011）如图1，抛物线y＝mx2－11mx＋24m（m＜0）及x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝_▲，OC＝_▲；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n及（2）中所求的抛物线交于点M，及CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．解：（1）OB＝3，OC＝8。（2）连接AD，交OC于点E，∵四边形OACD是菱形，∴AD⊥OC，OE＝EC＝eq\f(1,2)×8＝4。∴BE＝4－3＝1。又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE。∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(CE,AE)。∴AE2＝BE·CE＝1×4＝4。∴AE＝2。∴点A的坐标为（4，2）。把点A的坐标（4，2）代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－eq\f(1,2)。∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(11,2)x－12。（3）∵直线x＝n及抛物线交于点M，∴点M的坐标为（n，－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12）。由（2）知，点D的坐标为（4，－2），则由C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝eq\f(1,2)x－4。∴点N的坐标为（n，eq\f(1,2)n－4）。∴MN＝（－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12）－（eq\f(1,2)n－4）＝－eq\f(1,2)n2＋5n－8。∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝eq\f(1,2)MN·CE＝eq\f(1,2)（－eq\f(1,2)n2＋5n－8）×4＝－（n－5）2＋9。∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9。【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，待定系数法，曲线上点的坐标及方程的关系，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。3、（怀化2011）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不及B、C重合），过F点的反比例函数的图象及AC边交于点E．（1）求证：AE•AO=BF•BO；（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，∴根据反比例函数的性质得出，，∴AE•AO=BF•BO。（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，∵点E的坐标为（2，4），∴AE•AO=BF•BO=8。∵BO=6，∴BF=，∴F（6，），把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：，解得：。∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设BC'=，BF=，则C'F=CF=．∴点的坐标F（6，，4）。EC'=EC=，∴在Rt△C'BF中，①。∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（）：（）=4：=（）：②。解得：，∴F点的坐标为（6，）。∴OF=。【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法，曲线上点的坐标及方程的关系，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）的性质，勾股定理。【分析】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AE•AO=BF•BO。（2）利用E点坐标首先求出BF=，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。4、（2010泸州）已二次函数及一次函数.（l）求该二次函数