浙教版初二上数学第三讲-全等三角形的相关模型

.PAGE1.第三讲全等三角形的相关模型[要点梳理]要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点结论：〔1△ABD≌△AEC〔2∠α+∠BOC=180°〔3OA平分∠BOC变形：要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：〔1△AFG≌△AEG〔2FG=GE变形：要点三：半角模型特点：结论：〔1MN=BM+DN〔2△CMN的周长=2AB〔3AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：〔1将△ABD逆时针旋转90°,使△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形。〔2过点C作BC⊥MC,连AM导出上述结论2.定点是斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD.〔1使BF=AE〔或AF=CE,导出△BDF≌△ADE〔2使∠EDF+∠BAC=180°,导出△BDF≌△ADE3.将等腰直角三角形补全为正方形,如下图：要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线,且有一组边或角相等。结论：若AD=BD,则BH=AC变形：∠1=∠2,则AE=AF∠1=∠2,∠BAP=∠DAP,则AE=AF,AP⊥CF要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线,且有一组边。结论：〔1△ABE≌△BCD〔2ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用"三线合一"的性质解题,思维模式是全等变换中的"对折"法构造全等三角形。2.遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"旋转"法构造全等三角形。3.遇到角平分线：〔1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；〔2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形；〔3可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的"对折"法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"平移"或"翻转折叠"。5.截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线,可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。[典型例题]例1〔手拉手模型：如图,点C为线段AB上一点,△ABC、△CDE是等边三角形,请你证明：。〔1AD=BE〔2∠ACB=∠AOB〔3△PCQ为等边三角形〔4PQ∥AE〔5AP=BQ〔6CO平分∠AOE〔7OA=OB+OC〔8OE=OC+OD例2〔角平分线模型：如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AP平分∠BAC。举一反三：1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分BAC,求证∠A+∠C=180°2、如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F。求证：3、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ。例3〔半角模型：在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,求证：①∠MAN=45°；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM举一反三：在正方形ABCD中,已知∠MAN=45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动：①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.2、在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD且上,满足EF=BE+DF.求证：例4〔等腰直角三角形模型：等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系。举一反三：1、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC,试判断△EMC的形状,并证明你的结论。2.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P为△ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC。求证：BCP=15°例5<双垂线模型>：如右图,△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为。举一反三：1、如图14-1,在△ABC中,BC边在直线L上,AC⊥BC,且AC=BC。△EFP的边FP也在直线L上,边EF与AC重合,且EF=FP.<1>猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；〔2将△EFP沿直线L向左平移至图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP、BQ,则BQ与AP满足什么样的数量关系和位置关系,请猜想并证明；〔3将△EFP沿直线L向左平移至图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ,你认为〔2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？例6〔三垂线模型：如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC中点,AF⊥BD于E,交BC于F,连接DF.求证：∠ADB=∠CDF.举一反三：如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF.求证：①∠ADB=∠CDF；②BM=AF+FN2、如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF,并分别延长BM和FN交于点P.求证：①PM=PN；②PB＝PF+AF[巩固练习]如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,BC=CD,,求证：AC平分BAD.2、如图,AB＞AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F．求证：BE=CF．3、如图所示,在△ABC中,BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DE⊥AB于E,并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。4、如图,D、E、F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等,求证：AD平分∠BAC。5、如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。6、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD,作CM⊥AD的延长线与M,求证：7、如图,在△ODC中,∠D=90°,CE是∠DCO的角平分线,且OE⊥CE,过点E作FF⊥OC交OC于点F,猜想：线段OD与EE之间的关系,并证明。8、如图,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD⊥BD,AE⊥CE,垂足分别是D、E,连接DE.求证：〔1DE∥BC,且〔2若BD、CE分别是△ABC的内角平分线〔如图2,其他条件不变,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？〔3若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线〔如图3,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？9、如图,在△ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由。10.如图,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.〔1判断△OMN的形状,并证明你的结论.<2>当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化？11.在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF=?13.如图,在△ABC中,AC=BC