平行四边形典型问题分类解析

平行四边形典型问题分类解析平行四边形典型问题分类解析平行四边形典型问题分类解析资料仅供参考文件编号：2022年4月平行四边形典型问题分类解析版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：平行四边形典型问题分类解析为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示．1．证明线段垂直例1已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：CM⊥DM．分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB=2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM＋∠DCM=，可使问题得到解决．证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AMDBC例1图∴∠AMD=∠CDM，∠AMDBC例1图∵AB=2BC，M是AB的中点，∴AD=AM=BM=BC．∴∠ADM=∠AMD，∠BMC=∠BCM∴∠ADM=∠CDM，∠BCM=∠DCM，∴∠CDM=∠ADC，∠DCM=∠BCD．又∠ADC＋∠BCD=，∴∠CDM＋∠DCM=，即∠DMC=．∴CM⊥DM．评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC=，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．ACACOFBDE例2图例2如图，AB、CD交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE．求证：AF∥BE．分析：从已知条件可证△AOC≌△BOD，得到OC=OD，又有E、F为OC、OD中点，则OE=OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF∥BE．证明：连结BF、AE，∵AC∥DB，∴∠C=∠D．在△AOC和△BOD中，有∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD．又E、F为OC、OD的中点，∴OE=OF，∴四边形AFBE是平行四边形，∴AF∥BE．评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．3．证明线段相等EBPCFA例3图例3如图，△ABC中，AB=AC，P是BC上的一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段EBPCFA例3图分析：从已知条件中不难证明PF=AE，PE=BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE＋PF=AB．即猜想结论：PE＋PF=AB．证明：∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BPE=∠B，∴PE=BE．PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF=AE．∵BE＋AE=AB，∴PE＋PF=AB．评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．4．求线段的长度例4如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=，∠B=，∠C=，求AD的长．DCBAE例4图分析：要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BCDCBAE例4图解：点C作CE∥AB交AD于E，∵∠A＋∠B=，∴AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=．又∵∠BCD=，∴∠DCE=．而∠D=－－－=，∴∠D=∠DCE=，∴DE=CE，∴AD=8＋6=14．评析：在判定AD∥BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．证题技巧—面积法由于等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半;相似三角形面积的比等于相似比的平方;等高三角形面积的比等于底的比,等底三角形面积的比等于高的比;同底(或等底)等高(同高)的三角形的面积相等.因此,题目中如有平行线、角平分线或等底等高的三角形时，可试用面积法处理。[例1]已知:如图1.ABCD，F、E分别在BC、CD上，DG⊥AF于G，BH⊥AE于H，若DG=BH，则AF=AE证明：连结BE、DF12∵S△ABE=SABCD1212S△ADF=SABCD12∴S△ABE=S△ADF∵DG⊥AFBH⊥AE1212∴S△ABE=S1212∵DG=BH∴AF=AE图1图2图1图2[例2]如图2,OO1和OO2外切于点P,AB过点P交OO1和OO2于A、B，BH切OO2于B，交OO1于C、H，（1）求证：△BCP∽△HAP（2）若AP∶PB=3∶2且C为AB中点，求HA∶BC证明(1)过点P作两圆的公切线交BH于点E由切线长定理知BE=PE所以∠2=∠3由弦切角定理知∠4=∠5又∠4=∠3所以∠5=∠2又∠1是圆内接四边形APCH的外角,所以∠1=∠AS△HAPS△PBCS△HAPS△PBC2HABC=(2)因为△BCP∽△HAP所以因为△HAP和△BHP同高.S△HAPS△HAPS△PBHAPPB==32又△HBP和△BCP同高.且C为BH的中点,S△BCPS△BCPS△PBHBCBH==12S△HAPS△HAPS△PBC=3HABC=3所以, 所以,ADABADAB=x[例3]已知:如图3,S△ABC=20DE∥BC,,S△BDE=y写出y与x之间的函数关系式解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCSS△ADES△ABC2ADAB==x2∴∴S△ADE=20x2又△A