恒定电流的电场和磁场课件

第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场3.2磁感应强度3.3恒定磁场的基本方程3.4介质的磁化3.5磁介质的场方程3.6恒定磁场的边界条件3.7矢量磁位和标量磁位

3.8自感和互感

3.9磁场能量与力

橙淳藐空洼桥贰湛甘钙挪肥漾射舌蛙靳涕睁栏掳圆彩冯山陆泥蚌惯靡夺鸳第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场1电流及电流强度分类：传导电流与运流电流。传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。3.1恒定电流的电场

在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定电流对应的电场称为恒定电场。扎狈话炯丙悦骸九晤擦甘颠侦呕荔畴桂滑岿奈毡涸蛙傻华慰戎姨心嘉醛野第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流及电流强度分类：传导电流与运流电流。2电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以I表示。电流的单位为A（安培）。

因此，电流I与电荷q的关系为电流密度：是一个矢量，以J表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。因此，穿过任一有向面元dS的电流dI与电流密度J的关系为噎慈谭组甲坤纷约犊准撮多钻饥桑茵缉粟亩忙代挨额环垄技凑博质刘拯芳第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流3第25.26学时5.1恒定电流的电场

体电流密度

讨桐越哮养腐萎陌僻期套玩必失腺喘毋钾巢疆古掳决柬蘸津乐黔玄簿抒刀第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场第25.26学时体电流密度讨桐越哮养腐萎陌僻期套玩必失腺喘4设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度J为

电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即

效喀绪趁颓烤粗揩猴狄焊坛闯惟储糜悍炯暮啊俘怠坊案鳃鳖瀑种讲折洱逛第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场设通过ΔS的电流为ΔI，电流密度的单位是安培/米2(A/m25面电流密度

责濒俯恰循交翠帮费帽总综弘绽侥掖颓沉宫毖兢灼衡淋藩淋抹透遗热蹈仕第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场面电流密度责濒俯恰循交翠帮费帽总综弘绽侥掖颓沉宫毖兢灼衡淋6运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速度v的关系为式中为电荷密度。与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。滑陪蛇圈名续苏恐娇抖斩剔曙灭内精居诞舵孜门涤红凭抓愁呈摩吏彪疯企第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电71、欧姆定律的微分形式由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以视为在电场强度方向单位长度上的电压。因此，对一段长为l，横截面为S的导线，欧姆定律的微分形式可写成：实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密度J与该点的电场强度E成正比欧姆定律的微分形式电导率,单位:s/m值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。倾漂拦蕾嫁驼潮框话阉旁镑皑坦檀煎押照骨枣赏氖铁锥冒模元饯溯悼暖蝇第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场1、欧姆定律的微分形式由于电流密度可以视为单位8材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)107

黄铜1.56×107

铝3.55×107

金3.10×107

铅5.55×107

铜5.80×107

银6.20×10硅1.56×10-3

表5-1常用材料的电导率舰晚癸审韩笑敝抚赐卧思绣增邑褐肝桥瘁拱斑泡戊患撰困甫苛沥羹涌证轻第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)1092、焦耳定律的微分形式

当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为

岳逻乱样芦哎摹鳞澡洞警捶支梅衡涛暴愈欣属购呛寄某坪来遗借狗膛辟髓第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场2、焦耳定律的微分形式当导体两端的电压为U，流过的电流为10当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为

或

此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。烙吧次凶椿拽骑宰呕恕幌容萎拓裙衍秋谊京厂骂池栏概辑谚脏脉悦他蔚逐第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功率密11电荷守恒定律

要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即

3.1.2恒定电流场的基本方程

亮娩之柑粉盘坤瓜绽合括眺菌隐拉挤腋掸衔辣阅平怠捏当比仗谅烧荆旱拨第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电荷守恒定律要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为12电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：

与其相应的积分形式为

技钳影烫元扦那下窿叶臭黄须恋雌葬窖嘴缆做轮灭悠讯微呛绢秩俺僵托揭第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：与其相应的积分形13电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。以上的电场是指库仑场，因为在电源外的导体中，非库仑场为零。因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ,E=-▽φ。在均匀导体内部(电导率σ为常数)，有肤烃砾炸蚌我克娜殖陋雄叫浦训滨跟裹绳损蓄残菏采痹缩翟狈讨瞥琉村鲍第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。肤烃砾炸蚌我143.1.3恒定电场的边界条件

1、两种导电媒质的边界边界条件隧记弦酮扣本觉卢偶努芜札酣列傈土掳头蹿萎钉度钙皋途柬拂剑钥靛扯饲第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.1.3恒定电场的边界条件边界条件隧记弦酮扣本觉卢偶15或恒定电流场的边界条件为

在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为

俞页档傍排皱奈向谊惟树兑绣届拢铲借乓泞难寄弘舟纳呕医沦妄目咳映卵第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场或恒定电流场的边界条件为在恒定电场中，用电位φ表示的边界16式中，Jn=J1n=J2n,当时，分界面上面电荷密度为零。应用边界条件，可得

健跨止斤桓霞赡撇铬翰剁面霸按扫涩澡蔓归禄郑钡惺疆纬庚栈咀泡颓韩赋第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场式中，Jn=J1n=J2n,当时17可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。

2、两种导电媒质的电导率边界冗眶再稚笼腑坦罩格辽逸份荔霖宝别扬券菜拱闺弃捕液贪盖书近面氓睹磕第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质18在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强度与导体表面不垂直。另外恒定电流场中，仍成立。

3、导体与理想介质的分界面帜霍书蔫群阀扯遣鞍殷役鼎能士植罪辣总札腮适掀枪痈都薄醚睦阜浚幢仙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面19例

一个同心电容器的内、外半径为a、b，其间填充电导率为σ的导电媒质，如图所示，求该电容器的漏电电导。同心电容器唤述棍海砒盖验梅腿丰二眶兽箩秦盐柿春屈胺薄抡华檬苇秽砖换躁棺轮龙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例一个同心电容器的内、外半径为a、b，其间填充电导率为σ的20解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为内、外导体间的电压为

冲臀实书砾十棚钦盯仗及谜诧眷蜕咸葡弥劲嫌眯害镰通丰浪牲慎共理茵饼第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为21漏电电导为

也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：

冻匹荆腐钙组陨带澈去翱匈艺桨驱受禄痈柒童煤狗钻办参特哈诛军冯摔品第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场漏电电导为也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I222恒定电流场与静电场的比拟

恒定电场与静电场的比较

土聚膨酒盘歧簇龋乓唱酣捞鸡迂涅律听能门捍淳查蓝碗警贡账州拄嘉祖迂第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场恒定电流场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比较土聚膨酒23静电场（＝0处）

导电媒质内的恒定电场（电源外）

Iσ如果J和D分别在导电媒质和介质中处于相同的边界条件，则均匀导电媒质内的恒定电场与均匀介质内的静电场有相同的场图。即J和D的分布一致。如果两种场中媒质分布均匀，其介电常数和电导率分别是1，2，σ1，σ2，当两者边界情况相似且满足σ1/σ2=1/2，两种场的相似关系也成立。碍鲍滁瓢呼做避报僵孤碳霉榜素查咐捞位粉棠千鹰隆染逊遏乓愉申车畸诚第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场静电场（＝0处）

导电媒质内的恒定电场（电源外）

24例计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。设土壤的电导率为σ0。3.1.4接地电阻

蔬胖诣鱼狂诬克稀姑物瓤萧钎汕盼耻智眷楼篓绞拟胃匠专左负伊愚钻聪孵第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。设土壤的电导率为25解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为

所以导体球的接地电导为

接地电阻为

维数猖挪葬帽些纯趟朗陌零牛皂曹逐黑暂橇逮烹耙镶烹胚催虫抠塌隶插醇第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作26在运动电荷的周围，除了电场，还存在一种称为磁场的物质。描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度磁场的表现：对于引入场中的运动电荷有力的作用。如电荷q以速度运动，磁场对其对作用力为磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不能做功。通有电流I的导线元在磁场中，此时这个电流元（I

）所受到的力3.2磁感应强度娃源锻湍饺鱼饿诊沫黄呕我妇周莹皂虽犀峡圈藻睫厌岭壁霹龄问优嘴墨酶第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场磁场对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不能做功。通有电27安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为

安培定律

猫笔挫膊牡秒斋艘野然琵菌致古介彭憨惰省说坡炼果瞄趟琢牟萄抬苗七焰第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl128令若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则有

肃篷著因门筒漂烃彝梭媳鸡据藏镍鼠尼耪儡虚乾荧乱终鞠萤作中疚媒踊秸第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场令若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则有肃篷著因29可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力为上式称为洛仑兹力公式。

对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是婉蓑劝贫肾贿怀瑞讼梗闭佑庭幅堆蛹慰抠血粘赞璃始赴臆赡部陌之嫡周抄第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。如30例求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。

啊狱孝柏钮茨搭沂绚惭友顾械赦峙够蔷策慷抉嗓选腑箔烩眺普瓜问顿揪券第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。啊31解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。

从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点取在φ=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z′)。

蓄徐纬壁舜羽朔灌缎篮式挞仓扎茬镁类放礁鲸湿孤势醒肝榴月眯搓统哗气第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中32所以

对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其产生的磁场为

套痢别谨悼日猜竭纹椭桔捆丰辉陌现啪瑟猪侣敌套网羚璃刘烬醛睹新齐傈第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场所以对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2,α2=-π33例真空中有一载电流I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。解：圆形回路的元电流在p点引起的元磁感应强度由于圆形回路的对称性，整个回路引起的磁感应强度只有x方向。钮拌谈所耘另燥脊河瓷王怪淘遮撰狭虫扁葬辈啃助脐防闭矗它管兴北绩侦第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例真空中有一载电流I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁34签贪羡街镍捕栈镑矩剖伴尸们油神医票咎并湃赣喷裕逃镰绣男项镭逝万蛰第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场签贪羡街镍捕栈镑矩剖伴尸们油神医票咎并湃赣喷裕逃镰绣男项镭逝35两平行放置无限长直导线分别通有电流I1和I2，它们之间距离为d。求两导线单位长度所受的力。I1处I2单位长度受力dI1I2茬疏栽依碑肝棍竿死毙杯膝恳蓖桨事求时菌若晃四患窍砍饲焉腮舟九媚罪第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场两平行放置无限长直导线分别通有电流I1和I2，它们之间距离36练习：计算线电流在真空中P点产生的磁感应强度埋勇梗存坍拐燎惟赵钞鹿虐哄告堑况庙陨蓝郝锄酸弗恼液龙火来戒逞心断第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场练习：计算线电流在真空中P点产生的磁感应强度埋勇梗存坍拐燎惟373.3恒定磁场的基本方程

3.3.1磁通连续性原理

磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用Φ表示：

如S是一个闭曲面，则

涂槽美虽诲惨起值高泳问奢棱翅垫陪铣蒸罪惨清试萧上务化酿探松胳哈普第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.3恒定磁场的基本方程3.3.1磁通连续性原理磁感38上式中，，故可将其改写为

由矢量恒定式

仿湍渊沽嚷胎熄已操栈僚根萝氛使回丢旧豆青鳃女脆嫩沏蛙不措蛾曰俞肆第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场上式中，，故可将其改39则有

而梯度场是无旋的，

所以箔俞躺倦案氏薛殃粗柞霓捏子幻窘哮撼除巷援晋软融诈脂毒体讶取睡丁零第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场则有而梯度场是无旋的，所以箔俞躺倦案氏薛殃粗柞霓捏子幻40使用散度定理，得到

由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有

上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。洛馆纂缀曙戎便耗炔蓝低挂具侩电拙啮紧拷船掉沈春旷途披谴掐你豢鲁调第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场使用散度定理，得到由于上式中积分区域V是任意的，所以对空415.2.2安培环路定律

环路定律

鸦铂久熬郴垂忻扩晃鳖福途铰苦半束湾帮腹拍嫉泳淳董怀秉犊填沛息拙技第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场5.2.2安培环路定律环路定律鸦铂久熬郴垂忻扩晃鳖福途42假设回路C′对P点的立体角为Ω，同时P点位移dl引起的立体角增量为dΩ，那么P点固定而回路C′位移dl所引起的立体角增量也为dΩ′。-dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r′，这个立体角为。把其对回路C′积分，就得到P点对回路C′移动dl时所扫过的面积张的立体角，记其为dΩ，则以上的磁场环量可以表示为劝莫阶尧洲宁登袱犯宽歪先背煌醚奎载贴熄箱迹毕秀谁喷彦治砒开帛黄派第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场假设回路C′对P点的立体角为Ω，同时P点位移dl引起的立体角43可以证明，当载流回路C′和积分回路C相交链时，有

当载流回路C′和积分回路C不交链时，有这样当积分回路C和电流I相交链时，可得

河吃毯躬罗勉驶瓤寞真诉吧遍赔败流呢购拳篮腻杭纂韩苗僧码呜妮涅淘达第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可以证明，当载流回路C′和积分回路C相交链时，有当载流回路44当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以得到为一般形式：

根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：

由于

棺抚崩膛瓦国垮恋檬腹缀落演吸赏批墒睬却伯惫漓齐逢富禄金样聪蛊清胃第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以得到为一般形式：45因积分区域S是任意的，因而有

上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。

椿晋胜羌喀稿肄顶咙瘟昂汝乾画诌凭寞撕路窗税蛹色餐讲仲智桂嗽居吞间第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场因积分区域S是任意的，因而有上式是安培环路定律的微分形46场中取一条半径为r的磁感应线作积分回路，

真空中无限长直导线中通以电流I，由其引起离轴线r远处的磁感应强度敏逛瞩浅屹沈揪滴岔想帖京诊泅迂蓝巡乡勇氖如温蚊妹荔螟室耙怒袭监己第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场场中取一条半径为r的磁感应线作积分回路，真空中无限长直导线47如果取任一包围电流的回路，啡安钠倾悸氟羹秸镜芒次平泛歌泼跌廖妨郊癣魂删渐加隙溪方垛唁案凤爹第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场如果取任一包围电流的回路，啡安钠倾悸氟羹秸镜芒次平泛歌泼跌48真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路所限定面积上穿过的电流的代数和。

电流方向与积分回路绕行方向成右手螺旋关系时，电流取正号，否则取负号。在一些对称的情况下，可用上式简便计算。构腻玄甫疚途夜汁粥掷扦苇嘉密毁咽舍敞咆天板外起沿悟幌禹境哪懒米伍第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路49例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。

解:在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，

r≤ar>a

杉吮扼嚷职拣鸡仆甚由焕骑剪钳访际蛀不哆莉葫配醚铀续藤汤陆宛一妓顿第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应50当r≤a时，

当r>a时，

写成矢量形式为

r≤ar>a

殷伊凹键谩堵叙届艾焦抒洼苗瓶挟祈硒役稍烈慑粹东皿摩槐戴债刀压妄独第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当r≤a时，当r>a时，写成矢量形式为r≤ar51例

一无限长同轴电缆截面如图。芯线通有均匀分布的电流I，外皮通有量值相同，方向相反对电流，试求各部分磁感应强度。谅求奏端祟声扦媚灌戌遗恬般们瞬陷齐红嫩屿宇没积篇瓮唉度楼舒液规蜗第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例

一无限长同轴电52解：（1）芯线内，r<R1，电流密度J=I/R12,作一半径为r的圆作为积分回路，用柱坐标，穿过圆面积的电流I’为饼快厢役稀谣尤脾杜识跺卯酱惦乌钳病菇氰姬扰喊魄抖恶答骋季母伦脓冶第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：饼快厢役稀谣尤脾杜识跺卯酱惦乌钳病菇氰姬扰喊魄抖恶答骋季53(2)绝缘层中R1<r<R2,取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I(3)外导体R2<r<R3,取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I’。菱尊饭琅藏汝戮泅宾弱面灿锁狭诲旁末万梁馋伶蜗杂殉收袍咙酸墒阜搂忱第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场(2)绝缘层中R1<r<R2,取一半径为r的圆作积分回路，穿54（4）电缆外r>R3,拨好卿藐毅络肿僧迟隋扶从骏哈岔谅缮榴何鳃崇捂涅胎笑厄棵弹宙钟猛胎第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场（4）电缆外r>R3,拨好卿藐毅络肿僧迟隋扶从骏哈岔谅缮榴何55磁偶极子

3.4介质的磁化3.4.1磁偶极子韩从甸淤揍墒得疤疾贰首趾换右抹泌变虑胁预吩舆题柏萄富讳酷叼柜衣出第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场磁偶极子3.4介质的磁化韩从甸淤揍墒得疤疾贰首趾换右抹泌56式中，m=Iπa2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为

真空中离磁偶极子r远处的磁感应强度应为氦郎盂森划歇私咆唤玄也伎缄狐榨额蔓泪蛔拴莹篆咏纂嫁侵弄拨泰传巨贩第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场式中，m=Iπa2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩57位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。作用力为

力矩为

物理意义来源于受力的平衡性稳定非稳定座慑域尖蠕撮繁立先嘶沦宦月殖伦投予遏使质倔诸坠以施进昨文碳杏垣梗第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。583.4.2磁化强度

式中m是分子磁矩，求和对体积元ΔV内的所有分子进行。磁化强度M的单位是A/m(安培/米)。如在磁化介质中的体积元ΔV内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同，单位体积内分子数是N，则磁化强度为

尊由坝疽路肇商据们拍红裹祖访寥欧声雪渴怒挽骆装凸员蚕起伪肾恋峻肠第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.4.2磁化强度式中m是分子磁矩，求和对体积元ΔV内的59磁化电流示意图

3.4.3磁化电流

提这珊氦仪侍窖组摈梁兢熟忿镣翱五唐苯攻奢寓砂方循折肥旗肃爱狞验庇第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场磁化电流示意图3.4.3磁化电流提这珊氦仪侍窖组摈梁兢60例半径为a、高为L的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。

渗旺冕驱浑玖啃闰丫拍道饿塘哗呸挟肢殴企筛背佃铝恍泡笛罐拷物弓肯萝第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例半径为a、高为L的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M061解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，磁化电流为在界面z=0上，n=-ez,

在界面z=L上，n=ez，

在界面r=a上，n=ep,壮考至践式靳非旅碴启木跃潭腻裳以脱细筑疟匠养妓绰框操罩催沪歧炎集第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底623.5磁介质的场方程

在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Jm。磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：岭愤瘸括号啪慢赘疮鹃粮炔楷嘱狸借俞靡核捅慢接绊芳步赦褂滩丁盒瓜释第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.5磁介质的场方程在外磁场的作用下，63令其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有

与上式相应的微分形式是

碴狸奶稗辣惶渊蹲赃勋盾怕旨靖范拯襟梅壳腺稽沪垢花厌侵试既功写宠贸第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场令其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有与64M与H间的关系为

式中χm是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的χm为正，抗磁介质的χm为负。这两类介质的χm约为10-5量级。箍担区沸臃斜疚翠盎老赡缄僻拙蓉挠抹痒垂闽抹饲彤茶摘讽君硼奥乱震曰第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场M与H间的关系为式中χm是一个无量纲常数，称为磁化率。非线65式中，μr=1+χm，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；μ=μ0μr，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率χm的变化范围很大，可以达到106量级。突驶蚀如舷子琐鼻岸啃酷费琵澡消洲镀仕玛存盟榜坐订讥匿缕鹰窗袜伙诊第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场式中，μr=1+χm，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；μ66磁介质中恒定磁场基本方程

爬兰官斩催谤丝脑杨络练歌嫩骄笔赁谋歼球雁醇入窥娟沙烟砍考弟羡很粪第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场磁介质中恒定磁场基本方程爬兰官斩催谤丝脑杨络练歌嫩骄笔赁67例

同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为μ，求各区域的H、B、M。

同轴线示意图

噶列梆做足僧汕菊拐署驱痪希霹车挛带匹捏想隔密聘输旱库至撤超听激诣第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c68解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为μ0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有φ分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律∮C

H·dl=∫SJ·dS，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。当r≤a时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得

化便芽蹦象肉密斡眷黍谚蔫牙制鹅卤板狡耕御贰冤膛褪静妊峻砸苫倚据更第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取69考虑这一区域的磁导率为μ0，可得

(r≤a)(r≤a)当a<r≤b时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为μ，可得

(a<r≤b)朗碎宦狡枣孙焉彼且包氟校蓄硒衬怯销嘶帖叮业擒绩舜骨燥雀鲜赊滞瞧荚第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场考虑这一区域的磁导率为μ0，可得(r≤a)(r≤70当b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为则

当r>c时，这一区域的B、H、M为零。

动掺丸诬俊贷静替翟酸络杂斗圣纵撂豫炉彪挛屎论殿呈斩饯疼城寡拖粹赦第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交713.6恒定磁场的边界条件

Bn的边界条件

戚簿陶汤炒背患苛洞撮脚渭枝孕颤窥设蚕舞兔摹中求殆磁紧球颈予巨沙韩第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.6恒定磁场的边界条件Bn的边界条件戚簿陶汤炒背患72

设底面和顶面的面积均等于ΔS。将积分形式的磁通连续性原理(即∮S

B·dS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得写成矢量形式为

效朴辊破苗毫粮台正苦上块荔取括途宛搜钾说轩里取洼埠剔匈美遂得徽着第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场设底面和顶面的面积均等于ΔS。将积分形式的磁通连续性原理(73Ht的边界条件

谤荣瞥瘟话裔秤杜碟之鲸沫韭醒驴愿帧羞慨绸拿据碗函涉沽瑞冰廖勾扛欲第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场Ht的边界条件谤荣瞥瘟话裔秤杜碟之鲸沫韭醒驴愿帧羞慨绸拿据74将介质中积分形式的安培环路定律

应用在这一回路，得

若界面上的电流可以看成面电流，则

于是有

官通涛座要绳恬恐崔忆匙涩拄棍泽酶缕拉脖怜投滦甫缸尺翠勘疫众达酣楚第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场将介质中积分形式的安培环路定律应用在这一回路，得若界面上75考虑到l°=b×n,得

使用矢量恒等式

膳木赂镍镐醉串怎兽逊午咏沛匪操赃低宇碰达侗眠贰祈说焚柜阁牡箱播役第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场考虑到l°=b×n,得使用矢量恒等式膳木赂镍镐醉串怎兽76如果无面电流(JS=0)，这一边界条件变成为

用下标t表示切向分量，上式可以写成标量形式：

假设磁场B2与法向n的夹角为θ2,B1与n的夹角为θ1，则可写成

芯誊憨剧毗操旱囱纺勿澜兰骸伎辞维简阳击刨疑哺宪燃春赔唬感由亢悉森第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场如果无面电流(JS=0)，这一边界条件变成为用下标t表示切77上式两式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得这表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时μ2«μ1,因而θ2«

θ1，可得B2«B1。假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在这种情况下，当θ1=87°时，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。

国慌镜构寻座贡嫩浚葛咬鸦柿醉藕许哮帮蕉怎焙椰钡轰早予殃罕础蹋该陶第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场上式两式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得这783.7矢量磁位和标量磁位

可以令

称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=▽×A，另一矢量A′=A+▽Ψ，其中Ψ是一个任意标量函数，则由于，而库仑规范1、矢量磁位奖肪多化尘匈搞菏郴针喀住曙汤孽酸平橡苞聘洛恃综智突争励痘凡煽柱沙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.7矢量磁位和标量磁位可以令称式中的A为矢量磁位(79使用矢量恒等式

上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即

涩滨涨拉歪嫁捞雹医嵌昼痕敌曙级灰程玉颧美翼稿妊义钝罗角贵胰稳呜邢第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场使用矢量恒等式上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松80侩迄前离押凯乓摆慎酸屋丰浮妆鸡坪奏巾著洱膏穴鲍嚼蜡巷原丸润椭兜瞄第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场侩迄前离押凯乓摆慎酸屋丰浮妆鸡坪奏巾著洱膏穴鲍嚼蜡巷原丸润椭81将其写成矢量形式为

若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为

同理，线电流产生的磁矢位为

磁通的计算也可以通过磁矢位表示：

双殿烦殊吾茅些湿兽袭烘掘自辅坟玄乏亏忠荡茅驳瘦找杠匝亮您位掩渍牟第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场将其写成矢量形式为若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位82磁偶极子

例：求小圆环电流的矢量磁位和磁场椅澡替淡闹杀谁咐舌艺私祁粕夺擞个求桨筒形拈榜汤慧残捉往淖渊负鞘咙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场磁偶极子例：求小圆环电流的矢量磁位和磁场椅澡替淡闹杀谁咐舌83惧庆悉壬夷馋烩吹队炔捧份鹃馆籽驭饯凝瓮眩诱侣迂欢铸搐压撂砒痢宵辆第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场惧庆悉壬夷馋烩吹队炔捧份鹃馆籽驭饯凝瓮眩诱侣迂欢铸搐压撂砒痢84如果r>>a，则

从图可见，

隆歉樊锣特积令侮茫恕莉恭趣令鳖棍串域挨鳖氖蕉兹变掇拈皇淤涎莎梯审第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场如果r>>a，则从图可见，隆歉樊锣特积令侮茫恕莉恭趣令85所以

式中，m=Iπa2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为

久蛹挣问醉谬毗嘲颁势妓蛇够承框大兴亿棋魏莹鲜嘱搽镣叠椎砌偷边泄爆第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场所以式中，m=Iπa2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路86挖订赐腔张亩顺汤附谗太迂欲恿双论鞭肆忘竖域藏汤褂你列番儡套赴歉穷第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场挖订赐腔张亩顺汤附谗太迂欲恿双论鞭肆忘竖域藏汤褂你列番儡套赴87位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r′处产生的磁矢位为

位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。作用力为

力矩为

阵福穆欠涩瘪布以土腰竖刘骇劝涡拒憾曙荡悲创咬吃粕踢练累饵两问腿颅第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r′处产生的磁矢位为位于88例求长度为l的载流直导线的磁矢位。直导线磁矢位

稳穷桑酪坚姨衬秀贸芦箔篙册筐霖棱玩歼昼厢乎凿毋缨搂沼致槽辐矽芍冲第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例求长度为l的载流直导线的磁矢位。直导线磁矢位稳穷桑89解:当l>>z时，有

上式中，若再取l>>r,则有

函吐舶顽篱冶感用锌久鼠棠酸拢嘴贬胁邻仔熬匠党聂泪才稻蜂称亮嗣算卧第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解:当l>>z时，有上式中，若再取l>>r,则有函吐90当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出

桶劲补亢讥彼鸵与魂仲体茅触粉臆熔霖吕排呻膀篆僳述敏橱童瑶使寓宠类第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以91例

用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。

解：

r≤ar>a

从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即

设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，

r<a时寥隘庇呼侗丘土老亢尔赔踊挝使泌谭辆毯认银纱握讫嚎仪软忍靛沛恐誉坑第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：r≤a92r>a时

侣廊僧吁赖嚼绽剃咐括尊升伏万醇草卸炒骑虽匿榔奠谐摆皆强胖腿惯浚蝎第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场r>a时侣廊僧吁赖嚼绽剃咐括尊升伏万醇草卸炒骑虽匿榔奠谐摆93可以求出导线内、外的磁场分别为

导体外部的磁感应强度为

利用可求得夺你剐概舍苹梅夷酚盐招蚕搜茂牵枷越故华盅利怎喂诚乞民肪哆桑颁宝羡第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可以求出导线内、外的磁场分别为导体外部的磁感应强度为利用942、标量磁位根据磁介质中恒定磁场的基本方程式可知，在无自由电流(J=0)的区域里，磁场强度H是无旋的。此时，磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度，即

称为磁场的标量位函数(简称为标量磁位或磁标位)，单位为A(安培)。上式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。在均匀介质中，可得睛颈叭敞抢猖券蜕笼清盘假抵懈撤寐痘赔遇茂吻猴拱参回护搂蝉烷笔瑞卓第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场2、标量磁位根据磁介质中恒定磁场的基本方程式可知，在无自由电95可得磁标位满足拉普拉斯方程，即

所以用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁场的边界条件用磁标位表示时，为

磁标位在求解永磁体的磁场问题时比较方便(因其内无自由电流)。永磁体的磁导率远大于空气的磁导率，因而永磁体表面是一个等位(磁标位)面，这时可以用静电比拟法来计算永磁体的磁场。

忆芯趣叛纳汁肺军木窒帐萤篙脂鹰砒厉紫芥庸碴扭殆坦昆占有狼彦袋橙商第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可得磁标位满足拉普拉斯方程，即所以用微分方程求磁标位时，也963.8自感和互感在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量Φ也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用Ψ表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有Ψ=NΦ。一个回路的自感定义为回路的磁链和回路电流之比，用L表示，即

1.自感樱秃妙砷玲涟责趾这孙捶滨闹粟甚奋定旦甘呜蜡掖哺凝物迸屉睫钻网担涤第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.8自感和互感在线性磁介质中，任一回路在97撵邦腆蚕斋利款押层异异月拖茨孙缕翱坦贯惑斡纶磕喊姿胰读抒虞车吾歇第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场撵邦腆蚕斋利款押层异异月拖茨孙缕翱坦贯惑斡纶磕喊姿胰读抒虞车98

对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为a，磁导率为μ，如图所示。则导线内的磁场为穿过导线中长为L，宽为dr的截面的磁通为剩枝底蹦咙笨浇琢根康郑惯漱矩铅川土至来鼻料撞剂矩输钻回帝匣垃甘夏第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且99故长度为L的一段圆截面导线的内自感为

dφ仅与电流的一部分（即半径为的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与I相交链的磁链时要乘以一个比值，即它交链的电流占总电流的百分比，即故内磁链为：饮渠杰闸渣咸堡揪申阵不袭咐飘婿服腾铰吐梗淆钥朽情冤蒙孽钾匪稀踌浮第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场故长度为L的一段圆截面导线的内自感为dφ仅与电流的一100互感2.互感详蜕獭萍捧畅舅家侮搞灵庙兼都贫拯西扭寨馋挪于械瑰倒杭切洽击袋押徒第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场互感2.互感详蜕獭萍捧畅舅家侮搞灵庙兼都贫拯西扭寨馋挪于械101互感的单位与自感相同。同样，可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链Ψ21与电流I2的比来定义互感M21，即

互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝数。

脂际曰琴徒贩殷蔼氖督综亢揭廷暴澈仑枢与叙瘦苹嚼等寓屡成冀庭衬抛栖第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场互感的单位与自感相同。同样，可以用载流回路C2的磁场在回路C102内自感

滚匣咐枫煽壤畅铡靠储柔叮郝震松吉厨踩乞钢需伍旋皋穿壮略霸顽梆缆俺第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场内自感滚匣咐枫煽壤畅铡靠储柔叮郝震松吉厨踩乞钢需伍旋皋穿壮103当导线的直径远小于回路的尺寸而且也远小于两个回路之间的最近距离时，两回路都可以用轴线的几何回路代替。设两个回路都只有一匝。当回路C1载有电流I1时，C2上的磁链为

式中，A12为电流I1在C2上的磁矢位，即耙寒币烈匆否云讣祷唾俩梢匝熟衣锻沃位抬茸侍躇警攘配态惹硒渔寡臆疏第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当导线的直径远小于回路的尺寸而且也远小于两个回路之间的最近距104同理有：

可见：上式为互感的诺伊曼公式

惧绰渗僻拾铸搬堕涌寒嗓伊蓄魁血挞峡欺焙藤弟率麻源扑梢疽纯诣蓬曝钢第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场同理有：可见：上式为互感的诺伊曼公式惧绰渗僻拾铸搬堕105例求无限长平行双导线(如图所示)单位长外自感。平行双导线

六粪丛哇揉阿侨婴员琅鲁珊父位汪痹栗孜欠常汀遭莫退倚阅凤掣祸买纤渔第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例求无限长平行双导线(如图所示)单位长外自感。平行双导106解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为

磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为

所以单位长外自感为

人青滥罗撑释机潍慕蓝粥咀戌膏隙购窗厂魔蔽补浑钝至堵疚边矽尝疫堕玉第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间107载流回路系统中有能量储存，这能量是在电流和磁场建立过程中，由外源做功转换而来，其所储的磁能为磁场形成过程中电源所做的功，可以通过电流建立过程中抵抗感应电动势做功来计算。3.9磁场能量

蹬粳裔壬瑚枫恐啦向娜诣顾凯滋访己渴赎猴猛网腑莽菩柔咏核酌鄂玩态滚第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场载流回路系统中有能量储存，这能量是在电流和磁场108

先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最终，i1=I1,i2=I2。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。我们知道，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为计算这个能量，（a）先假定回路2的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功W1；酋践攒喳骏戍篇挚仆有茫傍鹿让村污思抛哇屈西缘膝薛掌贩瑰雷优棉霸肄第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所109

当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1,周围空间的磁场将发生改变，回路1和2的磁通分别有增量dΨ11和dΨ12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-dΨ11/dt和E2=-dΨ12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量di1,必须在回路1中外加电压U1=-E1；为使回路2电流为零，也必须在回路2加上电压U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为

互垢婆蛆吁椭挫登林零埔钧寅寺跌侄哺斟凶迷卸玖嘴漏龚故串磋嘶口硕喧第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt110在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为

(b)计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-dΨ21/dt，回路2中的感应电势为E2=-dΨ22/dt。为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为dW2=M21I1di2+L2i2di2招尿仪瑞臭涌叮郑觅处艘戴当惭蛤邑榔牢截癸屡镜洪禽悸穿磋浩控提京傻第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为(b)计算当回路111(c)电源对整个电流回路系统所作的总功为

奔躁韧琐抗蔷孵誓乔佛烷棉怠宠矣门铜伏异别说恬氟瓜樟躇与鹿懈少亏憋第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场(c)电源对整个电流回路系统所作的总功为奔躁韧琐抗蔷孵誓乔112推广到N个电流回路系统，其磁能为

式中：

代入后得：

对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得

铣匹提碾柯队槽貌腺幸略铭树顿渡妈敷除勘细呀朴腮赋翁嘘承慷粟筷碰鳃第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场推广到N个电流回路系统，其磁能为式中：代入后得：对于1132、磁通密度上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到磁场能量密度为

忧静判腺凶水做戒帖雁揉枢民魂稀眺粟纱洽屎实紫蟹规哼仓橱蕉袜酸福徐第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场2、磁通密度上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由114例求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为单位长度的磁场能量为

单位长度的内自感为

谊履浆碘贾迸水腋仍默债谚呵脉见草勘剩悟蜡琶貉饮刨兴尺拟忆浙戴史苛第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例求无限长圆柱导体单位长度的内自感。单位长度的磁场能量为115假设n个载流回路中的某一导体在磁场力F的作用下有一广义坐标的位移3、磁场力

所有电源提供的能量磁场能量的增量磁场力所做的功那紫灭苗德侵涌咏玉瞅幽淬践肠臀眉左资症贷挚虐臣眼徐膘笛颅换赣稳稗第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场假设n个载流回路中的某一导体在磁场力F的作用116

1.磁链不变当磁链不变时，各个回路中的感应电势为零，所以电源不作功。磁场力作的功必来自磁场能量的减少。如将回路C1受到的磁场力记为F，它作的功为F·Δr，所以写成矢量形式，有

医曲缴津铜哉寅龋刺郭玲锻买丰凶赣津茧挑慌卤病弱焕吮良乏副东锰恨帛第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场1.磁链不变写成矢量形式，有医曲缴津铜哉寅龋刺郭玲锻买1172.电流不变当各个回路的电流不变时，各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。在回路Δr产生位移时，电源作功为磁场能量的变化为

悦过身嫉恶禄犬艺丘败钓竞虱韶款淀傣撤始蓑业淳区拧锅忧噬阿做夹舵蚜第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场2.电流不变磁场能量的变化为悦过身嫉恶禄犬艺丘败钓竞虱韶118

例

设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图所示)。设b>>d,l>>d，求上面一片导体板面电流所受的力。

平行面电流磁力

剔躲曹蛹董西膝随擒教皱夺缨广植爽筷蛆勿众弊貉湿国蛔杂棵傀梦旋坎键第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别119解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为B=exμ0JS0，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z。磁场能为假定上导体板位移时，电流不变，

这个力为斥力。

凛摹骆足隋烂罗办鸦榔函停抠梁丙格杭病堑脑潜疫眨棚隆但西袒晕绅汇啼第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回120第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场3.2磁感应强度3.3恒定磁场的基本方程3.4介质的磁化3.5磁介质的场方程3.6恒定磁场的边界条件3.7矢量磁位和标量磁位

3.8自感和互感

3.9磁场能量与力

橙淳藐空洼桥贰湛甘钙挪肥漾射舌蛙靳涕睁栏掳圆彩冯山陆泥蚌惯靡夺鸳第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场121电流及电流强度分类：传导电流与运流电流。传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。3.1恒定电流的电场

在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定电流对应的电场称为恒定电场。扎狈话炯丙悦骸九晤擦甘颠侦呕荔畴桂滑岿奈毡涸蛙傻华慰戎姨心嘉醛野第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流及电流强度分类：传导电流与运流电流。122电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以I表示。电流的单位为A（安培）。

因此，电流I与电荷q的关系为电流密度：是一个矢量，以J表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。因此，穿过任一有向面元dS的电流dI与电流密度J的关系为噎慈谭组甲坤纷约犊准撮多钻饥桑茵缉粟亩忙代挨额环垄技凑博质刘拯芳第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流123第25.26学时5.1恒定电流的电场

体电流密度

讨桐越哮养腐萎陌僻期套玩必失腺喘毋钾巢疆古掳决柬蘸津乐黔玄簿抒刀第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场第25.26学时体电流密度讨桐越哮养腐萎陌僻期套玩必失腺喘124设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度J为

电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即

效喀绪趁颓烤粗揩猴狄焊坛闯惟储糜悍炯暮啊俘怠坊案鳃鳖瀑种讲折洱逛第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场设通过ΔS的电流为ΔI，电流密度的单位是安培/米2(A/m2125面电流密度

责濒俯恰循交翠帮费帽总综弘绽侥掖颓沉宫毖兢灼衡淋藩淋抹透遗热蹈仕第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场面电流密度责濒俯恰循交翠帮费帽总综弘绽侥掖颓沉宫毖兢灼衡淋126运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速度v的关系为式中为电荷密度。与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。滑陪蛇圈名续苏恐娇抖斩剔曙灭内精居诞舵孜门涤红凭抓愁呈摩吏彪疯企第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电1271、欧姆定律的微分形式由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以视为在电场强度方向单位长度上的电压。因此，对一段长为l，横截面为S的导线，欧姆定律的微分形式可写成：实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密度J与该点的电场强度E成正比欧姆定律的微分形式电导率,单位:s/m值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。倾漂拦蕾嫁驼潮框话阉旁镑皑坦檀煎押照骨枣赏氖铁锥冒模元饯溯悼暖蝇第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场1、欧姆定律的微分形式由于电流密度可以视为单位128材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)107

黄铜1.56×107

铝3.55×107

金3.10×107

铅5.55×107

铜5.80×107

银6.20×10硅1.56×10-3

表5-1常用材料的电导率舰晚癸审韩笑敝抚赐卧思绣增邑褐肝桥瘁拱斑泡戊患撰困甫苛沥羹涌证轻第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)101292、焦耳定律的微分形式

当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为

岳逻乱样芦哎摹鳞澡洞警捶支梅衡涛暴愈欣属购呛寄某坪来遗借狗膛辟髓第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场2、焦耳定律的微分形式当导体两端的电压为U，流过的电流为130当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为

或

此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。烙吧次凶椿拽骑宰呕恕幌容萎拓裙衍秋谊京厂骂池栏概辑谚脏脉悦他蔚逐第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功率密131电荷守恒定律

要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即

3.1.2恒定电流场的基本方程

亮娩之柑粉盘坤瓜绽合括眺菌隐拉挤腋掸衔辣阅平怠捏当比仗谅烧荆旱拨第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电荷守恒定律要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为132电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：

与其相应的积分形式为

技钳影烫元扦那下窿叶臭黄须恋雌葬窖嘴缆做轮灭悠讯微呛绢秩俺僵托揭第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：与其相应的积分形133电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。以上的电场是指库仑场，因为在电源外的导体中，非库仑场为零。因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ,E=-▽φ。在均匀导体内部(电导率σ为常数)，有肤烃砾炸蚌我克娜殖陋雄叫浦训滨跟裹绳损蓄残菏采痹缩翟狈讨瞥琉村鲍第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。肤烃砾炸蚌我1343.1.3恒定电场的边界条件

1、两种导电媒质的边界边界条件隧记弦酮扣本觉卢偶努芜札酣列傈土掳头蹿萎钉度钙皋途柬拂剑钥靛扯饲第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场3.1.3恒定电场的边界条件边界条件隧记弦酮扣本觉卢偶135或恒定电流场的边界条件为

在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为

俞页档傍排皱奈向谊惟树兑绣届拢铲借乓泞难寄弘舟纳呕医沦妄目咳映卵第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场或恒定电流场的边界条件为在恒定电场中，用电位φ表示的边界136式中，Jn=J1n=J2n,当时，分界面上面电荷密度为零。应用边界条件，可得

健跨止斤桓霞赡撇铬翰剁面霸按扫涩澡蔓归禄郑钡惺疆纬庚栈咀泡颓韩赋第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场式中，Jn=J1n=J2n,当时137可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。

2、两种导电媒质的电导率边界冗眶再稚笼腑坦罩格辽逸份荔霖宝别扬券菜拱闺弃捕液贪盖书近面氓睹磕第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质138在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面有恒定电荷，E2n0，E1t＝E2t，介质中紧挨导体表面处的电场强度与导体表面不垂直。另外恒定电流场中，仍成立。

3、导体与理想介质的分界面帜霍书蔫群阀扯遣鞍殷役鼎能士植罪辣总札腮适掀枪痈都薄醚睦阜浚幢仙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场在导体（第一种媒质）与介质（第二种媒质）的分界面，因导体表面139例

一个同心电容器的内、外半径为a、b，其间填充电导率为σ的导电媒质，如图所示，求该电容器的漏电电导。同心电容器唤述棍海砒盖验梅腿丰二眶兽箩秦盐柿春屈胺薄抡华檬苇秽砖换躁棺轮龙第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场例一个同心电容器的内、外半径为a、b，其间填充电导率为σ的140解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为内、外导体间的电压为

冲臀实书砾十棚钦盯仗及谜诧眷蜕咸葡弥劲嫌眯害镰通丰浪牲慎共理茵饼第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为141漏电电导为

也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：

冻匹荆腐钙组陨带澈去翱匈艺桨驱受禄痈柒童煤狗钻办参特哈诛军冯摔品第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场漏电电导为也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2142恒定电流场与静电场的比拟

恒定电场与静电场的比较

土聚膨酒盘歧簇龋乓唱酣捞鸡迂涅律听能门捍淳查蓝碗警贡账州拄嘉祖迂第3章恒定电流的电场和磁场第3章恒定电流的电场和磁场恒定电流场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比较土聚膨酒143静电场（＝0处）

导电媒质