电磁场与电磁波：第三章 恒定电流的磁场1

第三章恒定电流的磁场§3.1恒流磁场的基本方程11/20/20221

•

实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有恒定电场，同时还有不随时间变化的磁场，简称恒定磁场（StaticMagneticField）。

•

恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。11/20/20222一载流导线I位于无限大铁板上方的磁场分布（B线）

长直螺线管磁场的分布（B线）一载流导线I位于无限大铁板内的磁场分布（H线）11/20/20223两根异向长直流导线的磁场分布两根相同方向长直流导线的磁场分布两对上下放置传输线的磁场分布两对平行放置传输线的磁场分布11/20/20224由麦克斯韦磁场方程组得在磁导率为的媒介内,磁场与由下式联系因此恒流磁场的基本方程为在没有电流分布的空间，恒流磁场的基本方程为11/20/20225恒流磁场的基本方程的积分形式与其微分形式相对应为11/20/20226恒流磁场的性质：恒流磁场的源是旋度（涡旋）源－恒定电流，即磁场是有旋场；恒流磁场没有散度源，是无源场（无散场）；磁力线成闭合曲线，它围绕着恒定电流，两者呈右手螺旋关系。媒质媒质媒质金0.9996铝1.000021

镍

250银0.9998镁1.000012

铁4000铜0.9999钛1.000180磁性合金10511/20/20227分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿方向解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，连续而不连续。【例题1】由安培环路定律：如图所示：无限长线电流位于z轴，介质分界面为平面，求：空间的分布。

xz1m0mIxI11/20/2022811/20/20229【例题2】铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导率，求:管壁中和管内外空气中的磁感应强度。aIbzR11/20/202210解：建立圆柱坐标系,由安培环路定理:(1)同理abr11/20/202211§3.2恒流磁场的位函数11/20/202212在恒定磁场无电流区域——标量磁位，单位：A（安培）。一、恒流磁场的标量磁位

标量磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。标量磁位的特点：11/20/202213

标量磁位满足的微分方程

标量磁位满足的边界条件磁场中两点间的磁压定义为

磁位与积分路径的关系11/20/202214

磁位与积分路径的关系11/20/202215磁场中求积分如果积分路径环绕电流k次，则在磁场中，A，B两点间的磁位与积分路径有关。标量磁位数值随积分路径变化，差值是穿过积分回路所限定面积的电流的整数倍（kI）。11/20/202216由此可见任意两点之间磁场不同路径的线积分，其结果仅相差一个常数项（恒定电流），求导后不影响磁场的计算结果。

通过解出标量磁位，得到磁场强度只要规定积分路径不能穿过回路所限定的面，标量磁位就是位置的单值函数。

11/20/202217载流导线I位于无限大铁板上方的磁场分布线电流I与线电荷产生的通量线与场线,等磁位线与等电位线的类比

线电流I位于两铁板之间的磁场线电荷位于两平行导体间的电场11/20/202218

标量磁位只适用于无自由电流区域。要找到一位函数，能应用于有电流和无电流区域，且可通过此位函数的微分得到磁感应强度。二、恒流磁场的矢量磁位11/20/202219代入矢量磁位

为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。

由磁场的散度为零，引入矢量磁位。

利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。由其单位为T·m（特·米）或Wb/m（韦/米）得即得矢量位的泊松方程规定其散度（库仑规范）11/20/202220上式相当于三个标量形式的泊松方程11/20/202221对比静电场中泊松方程的解P38

11/20/202222当电流分布在有限空间，可得泊松方程的解

11/20/202223当电流分布在有限空间，且规定无限远为磁位零点时，可得矢量泊松方程的特解

11/20/202224体电流产生的矢量位为线电流产生的矢量位为同理面电流产生的矢量位为11/20/202225在没有电流分布的磁场空间：或11/20/202226分标量位和矢量位两种，一般不同时使用。前者用于无电流区域，后者用于有电流情况。

恒流磁场的位函数11/20/202227例3.2.1求无限长直线电流的矢量位A

磁感应强度B。解：首先计算一根长度为的长直线电流I产生的矢量位。由线电流的矢位计算公式积分可得11/20/202228当时若，则这时可在A

的表达式中附加一个常矢量则磁感应强度B等于磁场强度H等于与例1.3.1直接积分所得的结果相同11/20/202229例题3.2.2:应用矢量磁位分析两线输电线的磁场。解：这是一个平行平面磁场。由上例计算结果,两导线在

P点的矢量磁位圆截面双线输电线11/20/202230双线输电线的磁场11/20/202231用矢量磁位可计算磁通

在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。

11/20/202232例题3.2.3:空气中有一长度为，截面积为S

，位于z轴上的短铜线，电流I沿z轴方向，试求离铜线较远处的磁感应强度。

由于,故

位于坐标原点的短铜线解：取圆柱坐标系11/20/202233

·能否用安培环路定律来求解此问题?根据11/20/202234三、在平行平面磁场中，，等A线可表示磁感应强度B

线。*在直角坐标系中，B线方程为

A线,等A线与B线关系11/20/202235即平行平面磁场中的等A线可以代表B线。可以证明：在轴对称磁场中，代表B线。

等

A线不是

A线，只涉及

A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。如前面例题，两线输电线的B线即等A线的方程为

等A线(B线)是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是圆的半径是11/20/202236

可见双线输电线的磁场的等A线(B线)的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。双线输电线的磁场

双线输电线的电场11/20/202237§3.3磁场的边界条件用标量表示式1.8.5：用矢量表示一、磁场场量、的边界条件11/20/202238由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的大小及方向均要发生变化。而这种不连续性就是由于边界上存在的表面磁化电流引起的。磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。11/20/202239如分界面没有面电流二、磁场在分界面上的折射

当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流,则11/20/202240折射定律例题1:分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射解：

它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B可认为近似与分界面垂直。11/20/202241如设1＝88，1＝30000，20。11/20/202242三、磁位的边界条件标量磁位的边界条件11/20/202243矢量磁位的边界条件矢量磁位A分界面上的衔接条件a）围绕P点作一矩形回路，则当时,即b）围绕P点作一扁圆柱，则当时，即表明在媒质分界面上矢量磁位A是连续的。综合两个结论，有11/20/202244对于平行平面场，则可写成用矢量磁位A表示H的边界条件11/20/202245例3.3.1同轴线内导体的半径为R1,外导体的内半径为R2,外半径为R3.导体的磁导率为，内外导体间媒介的磁导率为。内外导体构成回路通过直流电流I。求同轴线磁场的与

轴电缆截面解法一：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，可应用安培环路定律求解。取安培环路交链的部分电流为11/20/202246应用安培环路定律,得

轴电缆截面11/20/202247应用安培环路定律，得

对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到B

的解析表达式。11/20/202248选用圆柱坐标系，使同轴线的轴线与坐标系的z轴重合，设内导体上的电流方向为+z方向，则外导体上的电流方向-z方向。内导体上的电流密度为外导体上的电流电流密度为由于

的方向与z轴一致，故仅有z分量而从电流分布的轴对称性可以看出仅为R的函数，因此矢量磁位的泊松方程简化为

轴电缆截面解法二：通过矢量磁位求解磁场11/20/202249

轴电缆截面（1）在内导体部分：有

上式对R两次积分，得11/20/202250在R为有限的空间，Az必须为有限值，因此上式中必须同时，设轴线上的矢量磁位为零，将这一条件代入上式得

轴电缆截面11/20/202251（2）在内外导体间的媒介中：在此区域

满足拉普拉斯方程，且

现在利用边界条件确定积分常数和

轴电缆截面11/20/202252另由R=R1界面上磁场强度

的切向分量连续求出再应用R=R1界面上磁场强度的边界条件，得出11/20/202253

（3）在外导体部分：11/20/202254应用在外导体与媒介的分界面上的边界条件，可得

轴电缆截面11/20/202255（4）在外导体以外的空间：应用边界条件得

轴电缆截面11/20/202256例2

在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N

匝线圈，如图示。环形磁芯的磁导率为，平均半径为r0，线圈的半径为a<<

r0

，气隙宽度为d。当线圈中的恒定电流为I时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的