江苏省东台市第三教育联盟2021-2022学年中考数学五模试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算正确的有（）个①（﹣2a2）3＝﹣6a6②（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6③（x﹣2）2＝x2﹣4④﹣2m3+m3＝﹣m3⑤﹣16＝﹣1．A．0 B．1 C．2 D．32．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．4．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A． B．2 C．2 D．45．不等式组的解集是()A．x＞－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜36．如图，中，E是BC的中点，设，那么向量用向量表示为（）A． B． C． D．7．计算（﹣）﹣1的结果是（）A．﹣ B． C．2 D．﹣28．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于()A． B． C． D．9．下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（）A．x=y-18y-x=18-yB．C．x+y=18y-x=18+yD．11．如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°12．下列运算正确的是（）A．a2•a4=a8 B．2a2+a2=3a4 C．a6÷a2=a3 D．（ab2）3=a3b6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知AB∥CD，=____________14．已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的众数为3，则这组数据的中位数为______．15．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为_____°．16．若点（a，b）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是__________17．小明为了统计自己家的月平均用电量，做了如下记录并制成了表格，通过计算分析小明得出一个结论：小明家的月平均用电量为330千瓦时.请判断小明得到的结论是否合理并且说明理由______.月份六月七月八月用电量（千瓦时）290340360月平均用电量（千瓦时）33018．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元．求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．21．（6分）已知：如图，在半径是4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=．（1）求证：△AMC∽△EMB；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．22．（8分）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：AF+AE=2AD．23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止．求证：△ABE≌△ACD；若AB＝BE，求∠DAE的度数；拓展：若△ABD的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．24．（10分）如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.求证：是⊙的切线；若,且,求⊙的半径与线段的长.25．（10分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（1，n）．求一次函数y=kx+2与反比例函数y=的表达式；过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．26．（12分）有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率．图①表示甲、乙合作完成的工作量y（件）与工作时间t（时）的函数图象．图②分别表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y乙（件）与工作时间t（时）的函数图象．（1）求甲5时完成的工作量；（2）求y甲、y乙与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（3）求乙提高工作效率后，再工作几个小时与甲完成的工作量相等？27．（12分）如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．（1）观察猜想：图1中，PM与PN的数量关系是，位置关系是．（2）探究证明：将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△CDE绕点C任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出△PMN面积的最大值．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】

根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解．【详解】①（﹣2a2）3=﹣8a6，错误；②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，错误；③（x﹣2）2=x2﹣4x+4，错误④﹣2m3+m3=﹣m3，正确；⑤﹣16=﹣1，正确．计算正确的有2个．故选C．【点睛】考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．2、B【解析】

解：根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．3、A【解析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．【详解】解：设CD的长为与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为当C从D点运动到E点时，即时，．当A从D点运动到E点时，即时，，与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选A．【点睛】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．4、C【解析】

连接,交于点设则根据△AMN的面积为4，列出方程求出的值，再计算半径即可.【详解】连接,交于点内切于正方形为的切线，经过点为等腰直角三角形，为的切线，设则△AMN的面积为4，则即解得故选:C.【点睛】考查圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，综合性比较强.5、B【解析】

根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【详解】，解不等式①，得x＞-1，解不等式②，得x＞1，由①②可得，x＞1，故原不等式组的解集是x＞1．故选B．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6、A【解析】

根据，只要求出即可解决问题.【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，故选：A.【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.7、D【解析】

根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【详解】解：，

故选D．【点睛】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．8、C【解析】试题解析：：∵DE∥BC，∴，故选C．考点：平行线分线段成比例．9、D【解析】试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选D．考点：中心对称图形．10、D【解析】试题解析：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得y=18-x18-y=y-x故选D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组11、A【解析】

60°+20°=80°．由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．故选A．12、D【解析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A、a2•a4=a6，故此选项错误；B、2a2+a2=3a2，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确．．故选D．考点：同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、85°．【解析】如图,过F作EF∥AB，而AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABF+∠BFE=180°，∠EFC=∠C，∴∠α=180°−∠ABF+∠C=180°−120°+25°=85°故答案为85°.14、【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．

详解：∵－3，x，－1，3，1，6的众数是3，

∴x=3，

先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3，

∴这组数的中位数是=1．

故答案为：1．点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.15、30或1．【解析】

根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=1°，继而可求得∠DAB的度数，则可求得答案．【详解】解：如图，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠AD′B=1°，∵AD=AD′=1，AB=2，∴cos∠DAB=cosD′AB=，∴∠DAB=∠D′AB=60°，∵∠CAB=30°，∴∠CAD=30°，∠CAD′=1°．∴∠CAD的度数为：30°或1°．故答案为30或1．【点睛】本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形．16、1【解析】

根据题意，将点（a，b）代入函数解析式即可求得2a-b的值，变形即可求得所求式子的值．【详解】∵点（a，b）在一次函数y=2x-1的图象上，∴b=2a-1，∴2a-b=1，∴4a-2b=6，∴4a-2b-1=6-1=1，故答案为：1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．17、不合理，样本数据不具有代表性【解析】

根据表中所取的样本不具有代表性即可得到结论．【详解】不合理，样本数据不具有代表性（例：夏季高峰用电量大不能代表年平均用电量）．故答案为：不合理，样本数据不具有代表性（例：夏季高峰用电量大不能代表年平均用电量）．【点睛】本题考查了统计表，认真分析表中数据是解题的关键．18、1【解析】

设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，则1.8=﹣x2+2.4，解得：x=（负值舍去）故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米，故答案为1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）200元和100元（2）至少6件【解析】

（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得，解得：，答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得200a+100（34﹣a）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A种商品．20、原式==﹣2．【解析】分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．详解：原式===，当a=﹣1时，原式==﹣2．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．21、（1）证明见解析；（2）EM=4；（3）sin∠EOB=．【解析】

（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；

（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；

（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．【详解】（1）证明：连接AC、EB，如图1，∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB；（2）解：∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE2+EC2=DC2，∵DE=，CD=8，且EC为正数，∴EC=7，∵M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∵AM•BM=EM•CM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，∴EM=4；（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，如图2，∵OE=4，EM=4，∴OE=EM，∴OF=FM=1，∴EF=，∴sin∠EOB=．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.22、证明见解析.【解析】

由题意易用角角边证明△BDE≌△CDF，得到DF=DE，再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长．【详解】证明：∵CF⊥AD于，BE⊥AD，∴BE∥CF，∠EBD=∠FCD，又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴在△BED与△CFD中，，∴△△BED≌△CFD（AAS）∴ED=FD，又∵AD=AF+DF①，

AD=AE-DE②，由①+②得：AF+AE=2AD.【点睛】该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化．23、（1）证明见解析；（2）；拓展：【解析】

（1）由题意得BD=CE，得出BE=CD，证出AB=AC，由SAS证明△ABE≌△ACD即可；（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，证出AC=CD，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度数；拓展：对△ABD的外心位置进行推理，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，∴BD=CE，∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD，∵∠B=∠C=40°，∴AB=AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，∴∠BEA=∠EAB=(180°-40°)=70°，∵BE=CD，AB=AC，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=(180°-40°)=70°，∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°；拓展：解：若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形．∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．∴∠BDA＞50°，又∵∠BDA＜90°，∴50°＜∠BDA＜90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外心等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．24、（1）证明参见解析；（2）半径长为，=.【解析】

（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.【详解】解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴.设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.25、一次函数解析式为；反比例函数解析式为；．【解析】

(1)根据A（-1,0）代入y=kx+2，即可得到k的值；（2）把C（1，n）代入y=2x+2，可得C（1,4），代入反比例函数得到m的值；（3）先根据D（a,0），PD∥y轴，即可得出P（a,2a+2）,Q(a，),再根据PQ=2QD，即可得，进而求得D点的坐标.【详解】（1）把A（﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，∴一次函数解析式为y=2x+2；把C（1，n）代入y=2x+2得n=4，∴C（1，4），把C（1，4）代入y=得m=1×4=4，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵PD∥y轴，而D（a，0），∴P（a，2a+2），Q（a，），∵PQ=2QD，∴2a+2﹣=2×，整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），∴D（2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.26、（1）1件；（2）y甲=30t（0≤t≤5）；y乙=；（3）小时；【解析】

（1）根据图①可得出总工作量为370件，根据图②可得出乙完成了220件，从而可得出甲5小时完成的工作量；（2）设y甲的函数解析式为y=kx+b，将点（0，0），（5，1）代入即可得出y甲与t的函数关系式；设y乙的函数解析式为y=mx（0≤t≤2），y=cx+d（2＜t≤5），将点的坐标代入即可得出函数解析式;（3）联立y甲与改进后y乙的函数解析式即可得出答案．【详解】（1）由图①得，总工作量为370件，由图②可得出乙完成了220件，故甲5时完成的工作量是1．（2）设y甲的函数解析式为y=kt（k≠0），把点（5，1）代入可得：k=30故y甲=30t（0≤t≤5）；乙改进前，甲乙每小时完成50件，所以乙每小时完成20件，当0≤t≤2时，可得y乙=20t；当2＜t≤5时，设y=ct+d，将点（2，40），（5，220）代入可得：，解得：，故y乙=60t﹣80（2＜t≤5）．综上可得：y甲=30t（0≤t≤5）；y乙=．（3）由题意得：，解得：t=，故改进后﹣2=小时后乙与甲完成的工作量相等．【点睛】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是能读懂函数图象所表示的信息,另外要熟练掌握待定系数法求函数解析式的知识.27、（1）PM=PN，PM⊥PN（2）等腰直角三角形，理由见解析（3）【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BC