热力学与统计物理试题及答案

热力学与统计物理试题及答案热力学与统计物理试题及答案热力学与统计物理试题及答案xxx公司热力学与统计物理试题及答案文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度热力学与统计物理填空题（共40分）1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr）。系统的状态可以用（2Nr）维Г空间中的一个代表点表示。2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（1/Ω），系统的熵为（klnΩ）。3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0≤fs≤1。4．玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件(或e-α<<1)或eα>>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。5．给出内能变化的两个原因，其中（）项描述传热，（）项描述做功。6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色——爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量U0＝（0），压强p0＝（0），熵S0＝（0）。7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为，粒子的平均能量为（2kT－b2/4a）。8．当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9．如果系统的分布函数为ρs，系统在量子态s的能量为Es，用ρs和Es表示：系统的平均能量为（），能量涨落为（）（如写成也得分）。10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρs具有特点（dρs/dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时ρs也满足归一化条件。二．计算证明题（每题10分，共60分）1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω，3ω，。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：（1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布分布需要满足的条件是什么（2）根据公式计算每种分布的微观态数Ω；（3）确定各种分布的概率。解：能级：ε1，ε2，ε3，ε4，…能量值：0，ω，2ω，3ω，…简并度：1，1，1，1，…分布数：a1,a2,a3,a4,…分布要满足的条件为：满足上述条件的分布有：A：B：C：各分布对应的微观态数为：所有分布总的微观态数为：各分布对应的概率为：2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。（1）求单粒子的配分函数Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx，y到y＋dy内，动量在px到px＋dpx，py到py＋dpy内的分子数dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数（2）（3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为（4）有（3）可得分子按速率的分布为：3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε1＝－ε0，ε2＝ε0，其中ε0大于零且为外参量y的函数。求：（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为：处于基态的粒子数为：处于激发态的粒子数为：温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：极端高温时：ε0《kT，,即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；极端低温时：ε0》kT，,即粒子几乎全部处于基态。（2）系统的内能：热容量：（3）极端高温时系统的熵：极端低温时系统的熵：S=04．对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似f0与一级修正项Δf1；（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于。解：费米气体分布函数为：（1），（2）5．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ0的意义；（2）证明：T＝0K时电子的平均能量，简并压强；f10f10T=0Kμ0ε（1）μ0表示T＝0K时电子的最能量。电子从ε＝0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f=1(ε<μ0);f=0(ε>μ0)(2)(3)T>0K时:T>0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff，则。每一电子对CV的贡献为3kT/2,则金属中自由电子对Cv的贡献为晶格的热容量为Cv＝3Nk，6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率ωi，内能的表达式为：，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解：（1）爱因斯坦模