工程测量员培训883T7

491§5-1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：

仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等

。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。

493二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。495

钢尺尺长误差Dk

钢尺检定,尺长改正

钢尺温度误差Dt

钢尺检定,温度改正

水准仪视准轴误差

i

中间法水准,前后视等距

经纬仪视准轴误差C

盘左盘右观测,取平均值

对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。

偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差

由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。

偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗差

—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差

—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差

—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。三、偶然误差的特性

偶然误差的定义设某一量的真值为X，对该量进行n

次观测，得n个观测值，产生n个真误498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。

多次观测中寻找偶然误差的规律：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和

(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i

=180°–

(i

+

i+i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i的分布规律。499

表5-1

偶然误差的统计4910误差区间dΔ"负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，，偶然误差不超过过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出出现的频率大，误误差绝对值大的出出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负负误差频率大致相相等；抵偿性：当观测次数无限增增大时，由于正负负相消，偶然误差差的平均值趋近于于零。用公式表示示为：4911三角形闭合差的频频率直方图正态分布曲线以及及标准差和方差4912在统计理论论上如果观观测次数无无限增多(n→∞)，而误差区区间dΔ又无限缩小小，则频率率直方图成成为一条光光滑的曲线线，在统计计学中称为为偶然误差差的“正态态分布曲线线”,其数学方程程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ2称为“方差”,方差为偶然然误差(真误差)平方的理论论平均值：：标准差的计计算式：§5-2评定测量精精度的标准准一、中误差4913用标准差衡衡量测量观观测成果的的精度，在在理论上是是严格和合合理的。但但在实际测测量工作中中，不可能能对某一量量进行无穷多次观测测。因此，，定义：根根据有限次次观测的偶偶然误差，，用标准差差计算式求求得的称为为“中误差差”，其计计算式为：：选择两组三三角形内角角之和的观观测值，求求得三角形形角度闭合合差，分别别按上式在在表5-2中计算中误误差，得到到：第1组:m1=±2.7″″第2组:m2=±3.6″″可见第1组的观测精精度高于第第2组。按观测值的的改正值计计算中误差差4914表5-2m1较小,误差分布比比较集中，，观测值精精度较高；；m2较大，误差差分布比较较离散，观观测值精度度较低。两组观测值值误差的正正态分布曲曲线的比较较：m1=2.7m2=3.64915不同中误差差的正态分分布曲线4916二、相对中中误差三、极限误误差某些观测值值的精度如如果仅用中中误差衡量量，还不能能正确反映映其质量，，例如，距距离测量误误差应与长长度成正比比。观测值值的中误差差除以观测测量，称为为“相对中中误差”(简称相对误误差)，例如200m距离的测距距中误差为为2cm,测距的相对对误差为1∶10000;500m距离测距中中误差也为为2cm，则测距相相对误差为为1∶25000；后者精度度高于前者者。根据正态分分布方程式式，可以表表示误差出出现在微小小区间dΔ的概率：将上式积分分，得到偶偶然误差在在任意大小小区间中出出现的概率率。设以k倍中误差作作为区间,则在此区间间中误差出出现的概率率：4917分别以k=1,k=2,k=3代入上式，，可得到偶偶然误差的的绝对值不不大于中误误差、2倍中误差、、3倍中误差的的概率：由此可见，，大于2倍中误差出出现的概率率小于5％，大于3倍中误差出出现的概率率小于0.3％。因此，，测量工作作中以2倍中误差作作为允许的的误差极限限，称为““允许误差”或“限差”。4918§5-3观测值的算算术平均值值及改正值值一、算术平平均值在相同的观观测条件下下，对某一一量进行n次观测，观观测值为li(i=1～n),取其算术平均值值作为该量的的最可靠的的数值（故故也称“最或然值”）：算术平均值值为何是该该量最可靠靠的数值？？可以用偶偶然误差的的特性来证证明：证明算术平平均值是最最或然值4919按真值计算算各个观测测值的真误误差：将上列等式式相加，并除以n,得到：故算术平均均值比较接近于真值值，而成为最可靠的的数值：二、观测值值的改正值值最或然值与与观测值之之差称为““观测值的的改正值””(简称改正值)v:4920对［vv]求极小值：：算术平均值值符合最小小二乘法原原理取改正值总总和：说明：一组观测测值取算术术平均值后后，各个观观测值的改正值之和恒等等于零，此可以作作为计算的的检核。§5-4观测值的精精度评定在同样观测测条件下对对某一量进进行n次观测，求求得算术平平均值及观测值值的各个改改正值v，据此计算观观测值的中中误差：4921对比按真误误差Δ计算中误差差的公式：：两者差别别仅在于以以（n－1）代替n，以代代替真值X：两式取总和和并顾及偶然然误差的相相消性，可可以证明：：因此可以按观测值的的改正值计计算中误差差算术平均值值计算的实实用公式由于各个观观测值相差差很小，为为计算方便便令其数值值的相同部部分为l0,差异部份为为Δl，即li=l0+Δli,算术平均值值的实用公公式：4922按各个观测测值的改正正值计算观观测值中误误差的公式式：按观测值的的改正值计计算中误差差的算例（一段水平平距离的多多次观测））4923次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26计算算术平平均值及其其中误差的的小结：一、已知知真值X,进行n次观测，则则计算观测测值的真误误差与中误误差。二、真值不不知,则进行n次观测，计计算算术平平均值、改改正值及其其中误差。。4924中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值值：§5-5误差传播定定律4925一、观测值值的函数测量所采集集的数据(量)并非都是直直接观测值值，而是观观测值的函函数。观测测值的误差差使其函数数也具有一一定的误差差。例如：：和差函数—例如算术平平均值例如斜距改改平例如分段量量距相加例如图上量量长度,化为实地长长度倍函数—线性函数—一般函数—二、一般函函数的中误误差4926举例说明：：矩形地块块，量长度度a、宽度b，求其面积P。面积是观测测值长度a和宽度b的函数，函函数式为：：对函数式中中的自变量量a、b求偏微分:将微分元素素以偶然误误差Δi代替面积误差(图中阴影面面积)具有直观的几何何意义4927对于上述地地块的长度度和宽度进进行n次观测：上列n个等式平方方后取其总总和，并除除以n,得到：根据偶然误误差的抵偿偿性，得到到：按照中误差差的定义，，上式可改改写为求面积中误误差公式：4928误差传播定定律—一般函数的的中误差计计算式中xi为自变量(独立观测值值)，设mi为观测值的的中误差，，Z为独立变量量的函数。。则Z的中误差为为：式中为为各各个变量的的偏导数。4929三、线性函函数和倍函函数的中误误差线性函数：：自变量的偏偏导数：按照误差传传播定律，，得到线性性函数的中中误差：算术平均值值也也属于观测测值的线性性函数，根根据误差传播定律：：4930由于是等精精度观测,因此m1=m2=…=mn=m由此可见，，算术平均均值的中误误差比观测测值的中误误差小倍倍。。如果线性函数数只有一个自自变量：,则成为倍函数，其中误差为为：上式中的系数数k，即为误差扩大大的倍数。4931函数式为：D=500d实地距离和量量距中误差为为：该距离及其中中误差可以写写成：例：量得比例尺为为1∶500的地形图上两两点间长度d=134.7mm,图上量距中误误差为0.2mm,换算为实地距距离D和量距中误差差mD。4932其中误差均为为：和差函数的中中误差计算方方式也可用于于多种独立误误差来源的观测值中误误差的计算。。例如用测角角仪器观测水水平方向时，同时受到到对中、瞄准准、读数、仪仪器误差、大大气折光等误差影响，，观测水平方方向的偶然误误差是这些误误差的代数和和：故观测水平方方向的中误差差为：误差传播定律律小结第一步：写出出包含各个自自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出出全微分式(计算对各个自自变量的偏导导数)第三步：按误误差传播定律律写出中误差差关系式注意：误差传播定律律只适用于将将各个独立观观测值作为自变量。如如果观测值之之间是相关的的，则得到的结果将是不不严格的。4933函数式：函数中误差：：§5-6误差传播定律律的应用4934一、距离测量量的精度光电测距的误误差来源有：：仪器误差、、气温气压测测定误差、仪仪器对中误差差、倾斜改正正垂直角测定定误差等。这这里仅讨论前前二者，即仪仪器频率调制制误差df、测定相位的的误差dΔφ以及气象测定定误差影响折折射率dn。斜距测定的函数式对各个自变量量求偏导数得到到真误差关系式式用误差传播定定律得到光电电测距中误差差的估算式：：4935上式根号内第第一项为测定定相位误差的的影响，它与与距离长短无无关，称为““常误差a”；第二、第三三相为气象测测定误差与频频率误差的影影响，它们均均与距离长度度成正比，称称为“比例误差b”。因此,光电测距的误误差估算式：：上式常作为测测距仪本身的的精度指标，，a的单位为mm，b为百万分率，，即每公里的的毫米数(mm/km)。二、角度测量量的精度DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一一测回方向观观测值中误差m=±6″，水平角为两两个方向观测测值之差，故故一测回水平角观测测的中误差为为：4936一测回水平角角取盘左盘右右角度的平均均值，故半测测回水平角值值的中误差为为：盘左、盘右水水平角值之差差的中误差为为：以2倍中误差作为为极限误差为为±34″(一般规定40″)多边形水平角角观测角度闭闭合差的规定定多边形内角(水平角β)之和在理论上上应为(n-2)180°,由于水平角观测中的的偶然误差，，产生角度闭闭合差：4937每个角度的测测角中误差为为mβ,则n个角度之和的的中误差:以2倍中误差作为为极限误差,则n边形的角度的的允许闭合差差例：设水平角角观测的中误误差mβ=±18″,则三角形的允允许角度闭合差差：三、水准测量量的精度水准测量高差差测定的计算算式h=a-b,设用S3水准仪在水准准尺读数的中中误差m=±1mm，则一次测定高差差的中误差：：4938两次测定高差差之差Δh=h1-h2,则高差之差的的中误差：以2倍中误差作为为极限误差,则允许的高差差之差为±4mm水准路线高差差测定的精度度4939在一条附合水水准路线进行行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：设水准尺读数数误差为m,每次高差测定定中误差为mh,则线路的高差差总和的中误误差：设水准线路长长度为L,各测站前、后后视平均长度度为d,单位长度的高差测测量中误差为为m0,则：，，L以公里为单位位m0为每公里高差测量中误差差4940上式说明：水水准测量的精精度与水准路路线的长度的的平方根成正比。水准测量的等等级以每公里里高差测量的的中误差mo作为精度指标标：水准测量等级一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm据此,可以按水准测测量等级和设设计水准路线线长度,估算水准测量全程程的高差中误误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精精度：四、坐标计算算的精度4941两点之间,如果已测定其其水平距离D和方位角α,则可按下式计计算其坐标增增量：对观测值(自变量)D和α求偏导数,得到函数式的的全微分：按误差传播定定律,将上式转换为为坐标增量的的中误差表达达式4942坐标增量的中中误差:上式右边根号内内第一项为纵向向误差,是由距离误差造造成,第二项为横向误误差,是由角度误差造造成。由纵横坐坐标增量误差或纵横横向误差，形成成两点间的相对对点位误差：一、不等精度观观测与观测值的的权4943§5-7加权平均值及其其中误差同一量的一系列列等精度观测值值可以取其算术术平均值，而同一量的一系系列不等精度观观测值则应取其其加权平均值。“权”(P)意为衡量轻重,观测值的中误差差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差差的平方成反比比：C为任意常数。等等于1的权称为“单位位权”,权等于1的中误差称为“单位权中误差”(mo)。因此,权和中误差的另另一种表达式为为：4944为了使“权”的的概念简单明了了，取一次观测测、一个测回或或单位长度（例例如1k