排列组合公式-排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式^工二排列P——和顺序有关组合C——不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.”排列”把5本书分给3个人，有几种分法〃组合〃排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=nx（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm（n为下标，m为上标））Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-0813:30玲二的L1)…(ml*—3-小=C公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n—(n-r+1)=r！-阶乘，如从N9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n—(n-r+1)=rQ1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P（3,9）9*8*7,（从9倒数3个的乘积）Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟"？A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组.（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法.由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算.例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手(次).①是排列问题，共有(种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积.①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.例4证明.证明左式右式.「•等式成立.点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化.例5化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化.例6解方程：(1)；(2).解(1)原方程解得.(2)原方程可变为•，，原方程可化为.即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示（一）加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种？解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（二）排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有Pi；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有Pi2;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P3，得PiP3Pi=36（个）3由此可知此题应选C.3332例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1=9（种）.3例四例五可能有问题，等思考三）组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1・C2种；甲型2台乙型1台的取法有C2・C1种45根据加法原理可得总的取法有C2-C2+C2・C1=40+30=70（种）可4知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有Ci种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C^种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38XCiXC2XC2=X1=1680(种).二项式定理、二项展开式的性质542说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)i。的展开式中，X6的系数是()TOC\o"1-5"\h\zA.-27C6B.27C4C.-9C6D.9C4解设(X-)10的展开式中0第Y+1项含X6，1010因Ty+1=CyX10-Y(-)y，10-Y=6,Y=4于是展开式中第5项含x6,第5项系数是C4(-)4=9C4故此题应选D.1010例7(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)5的展开式中的X2的系数等于解：此题可视为首项为X-1，公比为-(X-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含X3的项是C3X3(-1)3=-20x3,因此展开式中X2的系数是-20.TOC\o"1-5"\h\z综合例题赏析6例8若(2x+)4=a+ax+ax2+aX3+aX4，^U(a+a+a)2-(a+a)2的值为()0123402413A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有()A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22=2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6X2=12种不同的分配方法。24应选B.例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有().A.140种B.84种C.70种D.35种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.VC2・+C2・C1=5X6+10X4=70.・•・应选c.54例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有()A.27种B.48种C.21种D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：•「C1・C17+C2=3X7+3=24，・•・应选D.3例12由数学0,1，2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有().A.210个B.300个C.464个D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15-P5=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半..••有X600=300个符合题设的六位数.应选B.例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）.A.70个B.64个C.58个D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C4=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如（ADBC）的有4组..・・能形成四面体的有70-6-2-4=58（组）应选C.例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）.A.12对B.24对C.36对D.48对解：设正六棱锥为O—ABCDEF.任取一侧棱OA（C1）则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.6・•・共有C16X4=24对异面直线.应选B.例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个（以数字作答）.解：7点中任取3个则有C3=35组..7....其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.・.・三角形个数为35-3=32个.例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为。解10个元素的集合的全部子集数有：S=C。+C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C。+C10=210=10241010.101010—10..1010101010其中，含3个元素的子集数有T=C310=120故二例17例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_种（用数字作答）.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.・.・C3・C2+C4・C1=4186（种）例18