(一)薛定谔方程课件

（一）薛定谔方程1.坐标变换：在解薛定谔方程的过程中，要设法使3个自变量分离；但在直角坐标系中：

r=(x2+y2+z2)1/2

无法使x、y、z分开；因此，必须进行坐标变换，即：直角坐标系坐标(x,

y,

z)→球坐标系坐标(r,

,

)得：

x=rsin

cosy=rsin

sinz=rcosr=(x2+y2+z2)1/2

(x,

y,

z)

(r,

,

)（一）薛定谔方程1.坐标变换：1直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)之间的关系

直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)之间的关2直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)的转换

222zyxr++=cosrz=qsinsinry=φqcossinrx=φq()()φq,,

,,

rΨzyxΨ()()φq,YrR=θ：0-2π,Φ：0-π直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)的转换2223

2.

波函数和3个量子数(n、l、m)

:薛定谔方程的数学解很多，但只有少数的数学解是符合电子运动状态的合理解。在求合理解的过程中，引入了3个参数（量子数）n、l、m.于是波函数

(r,

,

)具有3个参数和3个自变量，写为：

(r,,)

n,l,m

(r,,)

2.波函数和3个量子数(n、l、m):4量子数n、l、m的意义：每一组允许的n、l、m值→核外电子运动的一种空间状态→有对应的波函数n,l,m（r,,），表示一个原子轨道函数→有对应的能量En,l；

量子数n、l、m的意义：53.四个量子数n、l、m和ms的意义(1)主量子数n=1,2,3,4，5，6，7，它决定电子离核的平均距离、能级。1.确定电子出现概率最大的区域离核的平均距离。

2.确定电子层:

n1234567

电子层KLMNOPQ3.四个量子数n、l、m和ms的意义(1)主量子数n6(2)角量子数l

(轨道角动量量子数)l=0,1,2,3…n-1，共有n个值.1.确定原子轨道和电子云在空间的角度分布情况（形状）；2.在多电子原子中，n与l一起决定的电子的能量；3.确定电子亚层：l

0

1

2

34

电子亚层：spdfgl=0123anforbital(2)角量子数l(轨道角动量量子数)l=07(3)磁量子数m

m

=0,±1,±2,…±l.（共有“2l+1”个值）m值决定波函数(原子轨道)或电子云在空间的伸展方向:由于m可取（2l+1）个值，所以相应于一个l值的电子亚层共有（2l+1）个取向，例如d轨道的l=2，m

=0，±1,±2，则d轨道共有5种取向的轨道。(3)磁量子数m8(4)自旋量子数ms

ms=1/2,表示同一轨道中电子的二种自旋状态。根据四个量子数的取值规则，则每一电子层中可容纳的电子总数为2n2(4)自旋量子数ms9四个量子数描述核外电子运动的可能状态例：

原子轨道

msn=1l=01s(1个)

1/2n=2l=0，ml=02s(1个)

1/2

l=1，ml=0,12p(3个)

1/2

n=3l=0，ml=03s(1个)

1/2l=1，ml=0,13p(3个)

1/2l=2，ml=0,1，23d(5个)

1/2

n=4?四个量子数描述核外电子运动的可能状态例：10氢原子和类氢离子(单电子体系)

的几个波函数氢原子和类氢离子(单电子体系)

的几个波函数11（二）波函数图形波函数n,l,m(r,,)是三维空间坐标r,,

的函数，不可能用单一图形来全面表示它，需要用各种不同类型的图形表示。设n,l,m(r,,)=

Rn,l(r)

Yl,m(,)

空间波函数

径向部分

角度部分

3参数3自变量2参数1自变量2参数2自变量

n、l、ml

→波函数n,l,m(r,,)(原子轨道)；

n、l

→能量En,l

原子轨道——区别于玻尔的“轨道”.

波函数图形又称为“原子轨道（函）图形”。（二）波函数图形波函数n,l,m(121.波函数（原子轨道）的角度分布图

即Yl,m(,)-(,)对画图.（1）作图方法：

①原子核为原点，引出方向为(,)的向量；

②从原点起，沿此向量方向截取长度=|Yl,m(,)|的线段；

③所有这些向量的端点在空间组成一个立体曲面，就是波函数的角度分布图。1.波函数（原子轨道）的角度分布图13原子轨道与电子云的空间图像例：氢原子波函数2,1,0的角度部分2Pz为例原子轨道与电子云的空间图像例：氢原子波函数2,1,0的角度14

原子轨道角度分布图和电子云的角度分布图：原子轨道角度分布图和电子云的角度分布图：15波函数（原子轨道）的角度分布图(剖面图)(一)薛定谔方程课件16

p原子轨道角度分布图p原子轨道角度分布图17d原子轨道角度分布图d原子轨道角度分布图181.波函数（原子轨道）的角度分布图

（2）意义：表示波函数角度部分随,的变化，与r无关。（3）用途：用于判断能否形成化学键及成键的方向（分子结构理论：杂化轨道）。1.波函数（原子轨道）的角度分布图192.波函数径向部分图形（径向波函数图形）

即Rn,l(r)-r对画图（1）作图方法:写出Rn,l(r)的表达式。例.氢原子波函数100(r,,)(1s原子轨道)的径向部分为：R10

(r)=2(1/a03)1/2exp(-Zr/a0)求出不同r对应的R(r)值，并以r为横标、

R(r)为纵标作图。（2）意义：表示波函数径向部分随r的变化。

2.波函数径向部分图形（径向波函数图形）20（一）薛定谔方程1.坐标变换：在解薛定谔方程的过程中，要设法使3个自变量分离；但在直角坐标系中：

r=(x2+y2+z2)1/2

无法使x、y、z分开；因此，必须进行坐标变换，即：直角坐标系坐标(x,

y,

z)→球坐标系坐标(r,

,

)得：

x=rsin

cosy=rsin

sinz=rcosr=(x2+y2+z2)1/2

(x,

y,

z)

(r,

,

)（一）薛定谔方程1.坐标变换：21直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)之间的关系

直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)之间的关22直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)的转换

222zyxr++=cosrz=qsinsinry=φqcossinrx=φq()()φq,,

,,

rΨzyxΨ()()φq,YrR=θ：0-2π,Φ：0-π直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,θ,φ)的转换22223

2.

波函数和3个量子数(n、l、m)

:薛定谔方程的数学解很多，但只有少数的数学解是符合电子运动状态的合理解。在求合理解的过程中，引入了3个参数（量子数）n、l、m.于是波函数

(r,

,

)具有3个参数和3个自变量，写为：

(r,,)

n,l,m

(r,,)

2.波函数和3个量子数(n、l、m):24量子数n、l、m的意义：每一组允许的n、l、m值→核外电子运动的一种空间状态→有对应的波函数n,l,m（r,,），表示一个原子轨道函数→有对应的能量En,l；

量子数n、l、m的意义：253.四个量子数n、l、m和ms的意义(1)主量子数n=1,2,3,4，5，6，7，它决定电子离核的平均距离、能级。1.确定电子出现概率最大的区域离核的平均距离。

2.确定电子层:

n1234567

电子层KLMNOPQ3.四个量子数n、l、m和ms的意义(1)主量子数n26(2)角量子数l

(轨道角动量量子数)l=0,1,2,3…n-1，共有n个值.1.确定原子轨道和电子云在空间的角度分布情况（形状）；2.在多电子原子中，n与l一起决定的电子的能量；3.确定电子亚层：l

0

1

2

34

电子亚层：spdfgl=0123anforbital(2)角量子数l(轨道角动量量子数)l=027(3)磁量子数m

m

=0,±1,±2,…±l.（共有“2l+1”个值）m值决定波函数(原子轨道)或电子云在空间的伸展方向:由于m可取（2l+1）个值，所以相应于一个l值的电子亚层共有（2l+1）个取向，例如d轨道的l=2，m

=0，±1,±2，则d轨道共有5种取向的轨道。(3)磁量子数m28(4)自旋量子数ms

ms=1/2,表示同一轨道中电子的二种自旋状态。根据四个量子数的取值规则，则每一电子层中可容纳的电子总数为2n2(4)自旋量子数ms29四个量子数描述核外电子运动的可能状态例：

原子轨道

msn=1l=01s(1个)

1/2n=2l=0，ml=02s(1个)

1/2

l=1，ml=0,12p(3个)

1/2

n=3l=0，ml=03s(1个)

1/2l=1，ml=0,13p(3个)

1/2l=2，ml=0,1，23d(5个)

1/2

n=4?四个量子数描述核外电子运动的可能状态例：30氢原子和类氢离子(单电子体系)

的几个波函数氢原子和类氢离子(单电子体系)

的几个波函数31（二）波函数图形波函数n,l,m(r,,)是三维空间坐标r,,

的函数，不可能用单一图形来全面表示它，需要用各种不同类型的图形表示。设n,l,m(r,,)=

Rn,l(r)

Yl,m(,)

空间波函数

径向部分

角度部分

3参数3自变量2参数1自变量2参数2自变量

n、l、ml

→波函数n,l,m(r,,)(原子轨道)；

n、l

→能量En,l

原子轨道——区别于玻尔的“轨道”.

波函数图形又称为“原子轨道（函）图形”。（二）波函数图形波函数n,l,m(321.波函数（原子轨道）的角度分布图

即Yl,m(,)-(,)对画图.（1）作图方法：

①原子核为原