b10分析06-一致逼近课件

第六章函数逼近（最佳一致逼近）6-1第章第六章函数逼近（最佳一致逼近）6-1第章第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§2一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合§3正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合§4函数的最佳平方逼近§5最佳一致逼近2第章第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合2第章§5最佳一致逼近多项式在度量标准下，求

(x)，使

（达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍然取

(x)为多项式，即求多项式

(x)使残差：绝对值的最大值达到最小。或可写为：在H中求满足

(x)（f的逼近函数

(x)）：即在H中

(x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中任一ψ

(x)与f(x)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的

(x)为f(x)在H中的最佳一致逼近函数。3第章§5最佳一致逼近多项式在度量标准下，求(x)，最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面关系式的

称为f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式。记称为偏差。偏差点：

若满足

则称x0为ψ

(x)的偏差点，偏差点为正，称为正偏差点， 偏差点为负，称为负偏差点可以从下面例中理解有关概念。

4第章最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面称为f(x)在[a引例例如：要求区间[0,1]上y=arctgx的一次近似式可以有多种方法：（1）Talor公式：tg－1xx,误差R(x)=tg－1x-x，在x=0附近很小，x=1时误差最大，R(x)|x=1=0.2146；（2）插值:

x=0,1作节点=>L1(x)=πx/4，tg－1x

πx/4，其误差在处，即在1附近较大为0.0711；

（3）最小二乘法（例10§4中）

误差在x=1处最大为0.0493（比前二式误差小）。5第章引例例如：要求区间[0,1]上y=arctgx的问题：

由最小二乘法得到的arctgx≈0.0429+0.7918x是在最小二乘意义下的最佳逼近多项式，是不是最好的？这里“最好”的标准是什么？这个标准就是“一致逼近”的概念，它应使最大偏差尽可能小（或者说达到最小）。引例（续1）[0,1]上y=tg－1x的近似一次式就是曲线y=tg－1的近似直线，图6-3中，OA为arctgx的曲线，OA为OA的弦，CB为平切线，F为切点，作为近似直线：OA是不是最好的？回答是否定的！

∵在x=α处产生较大偏差或者说误差最大。那么CB是不是最好的？结论仍然是否定的！图6-3BEAOXYDCarctgxα1几何上：如图6-3，6第章问题：引例（续1）引例（续2）

∵在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此：作DE（OA与CB的中线），在OA到DE间，CB到DE间直线都不是最好的，∵若最好的近似直线在OA到DE间，必然在x=α处产生较大偏差，若在CB到DE间则必然在x=0及x=1处产生较大偏差。∴只有DE才是符合这里“标准”的最好近似直线（误差均匀），不产生最大偏差标准下的使最大偏差达到了最小。这样的DE如何求：设为a0+a1x，误差R(x)=arctgx-a0-a1x。R(x)在x=0,α,1这三点处绝对值最大，别的地方误差不会比这三点处的误差大，（图上清楚）。在x=0处，直线在上，曲线在下；而R(x)在x=α处曲线在上，直线在下，R(x)的符号正负相间；在x=1处，直线在上，曲线在下；∴可假定最大偏差值为E，则有：图6-3BEAOXYDCarctgxα17第章引例（续2）∵在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此引例（续3）

此近似式在x=α处（几何直观）误差最大为E=0.0356，比前面得到任何一次近似式的最大误差都小。好的近似直线：偏差均匀（一样大），即在0,,1三个点（偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使偏差值最小，例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易求，因为偏差点偏差能找到。

8第章引例（续3）此近似式在x=α处（几何直最佳一致逼近概念（按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为：在n次多项式中，求一个与其它任一个n次多项式ψ

(x)对f(x)的偏差相比较是最小的，亦即：

其最小值称为最小偏差，

(x)是f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式。下面的切比雪夫定理表明：这样的最佳一致逼近多项式是唯一存在的这个理论问题。

(x)，在[a,b]上使

(x)对f(x)的偏差也可写作：对于Hn（n次多项式的集合）中不同的ψ

(x)，有不同的偏差值9第章最佳一致逼近概念（按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为：在切比雪夫定理定理6.6

Pn(x)Hn是f(x)C[a,b]的最佳一致逼近多项式的充要条件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2个不同的依次轮流为正，负的偏差点（这些点称为切比雪夫交错点组）。切比雪夫定理给出了最佳一致逼近多项式的特征，性质，在最佳一致逼近理论中起着重要作用。推论1如果f(x)C[a,b]，则在Hn中存在唯一的最佳一致逼近多项式。设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项式Pn(x)，就是f(x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插值多项式。推论2

（推论2证明下屏）（∵n+2个点是唯一的）10第章切比雪夫定理定理6.6Pn推论3

设f(x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(n+1)(x)定号或为正（为负），则区间端点a,b都属于f(x)的n次最佳一致逼近多项式的那n+2个偏差点。

∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f(x)－Pn(x)在[a,b]上至

少有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x)Pn(x)=0在

[a,b]上有n+1个根存在n+1个点：a

x0<…<xn

b

使f(xi)Pn(xi)=0即：f(xi)=Pn(xi)(i=0,1,2,…,n),所以，

以此作为插值条件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以

x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项式。切比雪夫定理（续1）

切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：（紧接下屏）11第章推论3设f(x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(切比雪夫定理（续2）则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,…,an，最小偏差值En及n+2个偏差点a

x0<x1<…xn+1

b，一共2n+4个未知数，应满足方程组：

对第一个方程是利用偏差点：两边开方有±（k=0为正，k=1为负），轮流下去；而第二个方程中：xk或为左端点，xk或为右端点，xk或为极值点（偏差极值点）。∵解方程组较困难，因此仅是从理论上解决了寻求最佳一致逼近多项式的方法。设f(x)在（a,b）内可微，其最佳一致逼近多项式为：

对于引例：n=1时，已有了n+2=3个偏差点中的2个（区间[a,b]的两个端点a、b为偏差点）∴仅需确定a0,a1,En及一个偏差点（n=1：2n+4本应为6个未知数和6个方程，因为已有两个已知，所以剩下4个参数，仅需4个方程确定）12第章切比雪夫定理（续2）则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,…x1x2Mmy1y2XYOP0(x)零次最佳一致逼近多项式但对于n=0的P0(x)有：P0(x)=(M+m)/2（6-14）

其中M、m分别为f(x)的最大值和最小值。∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2使f(x1)=M,f(x2)=m，即：x1,x2为偏差点（负,正）使：13第章x1x2Mmy1y2XYOP0(x)零次最佳一致逼近多项式但一次最佳一致逼近多项式对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)有：

设f(x)在[a,b]上二阶可微，且f(x)在(a,b)内定号（设为正），下面求P1(x)=a0+a1x.由切比雪夫定理，在[a,b]上存在三个偏差点，设为x0,x1,x2，设最小偏差为E，有f(xi)-P1(xi)=±E（i=0,1,2）∵f(x)>0(<0)定号即在[a,b]上不变号，保持凹（凸），故f(x)在[a,b]上单调增（减）。∴在（a,b）内只有一个零点x1(x0,x2取a,b两点，∴（只剩一个）也就是唯一的一个偏差点（极值点）使f(x1)

P(x1)=0（紧接下屏）14第章一次最佳一致逼近多项式对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)一次最佳一致逼近多项式（续）15第章一次最佳一致逼近多项式（续）15第章一次最佳一致逼近多项式举例例11[解]设P1(x)=a0+a1x是f(x)的最佳致逼近一次式。由定理6.6

函数P1(x)在[0,1]上至少有三个等幅振动点，设为：

0x1<x2<x3

1，由于求在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式。在(0,1)上单调减少，且仅有一驻点，故f(x)P1(x)在(0,1)内只有一个偏差点x2，它满足所以：16第章一次最佳一致逼近多项式举例例11[解]设P1(x)=a0+a例11续亦即有：将（16）(17）(18)联立求解得：

a1=1,x2=1/4,a0=1/8另两个偏差点为x1=0,x3=1于是

17第章例11续亦即有：将（16）(17）(18)联立求解得：另两个例11（续）在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式为：如图6-4所示，

是一条与(0,0)，(1,1)的直线。两点联线及的与这条联线平行的切线等距图6-4XY10.5所以18第章例11（续）在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式为：如图6切比雪夫插值法

对定义在任意区间[a,b]上的函数f(x)，作变换：

即可将定义在[a,b]上的f(x)，化为定义在[-1，1]上的函数g(t)：因此，下面仅对区间[-1，1]进行讨论。

切比雪夫插值法是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。（紧接下屏）19第章切比雪夫插值法对定义在任意区间[a,b]上的即可将定义切比雪夫插值法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1个零点：为节点构造f(x)的n次插值多项式n(x)，而以n(x)作为n次最佳一致逼近多项式的近似。

定理6.7（切比雪夫性质）设H为最高项系数为1的n次多项式的集合，则有20第章切比雪夫插值法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1

由切比雪夫多项式的性质，在[-1，1]上在n+1个偏差点（极值点）：

证明）用反证法）：假设存在

使得：

因为

于是

令：

处有：（紧接下屏）定理6.7（切比雪夫性质）证明21第章由切比雪夫多项式的性质，在[-1，1]上在n+1个偏差

即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介值定理，在[-1，1]上应具有n个零点。但：和Pn(x)都是最高次项系数为1的n次多项式，Q(x)作为它们的差，至少是n-1次多项式，不可能有n个零点，所以定理得证。因此有：定理6.7证明（续）22第章即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介切比雪夫插值法（续4）

因此，对于[-1，1]上的f(x)，若以Tn+1(x)的n+1个零点作n次插值多项式n(x)，其插值余项为：定理6.7说明，在H中的最大绝对值最小，故对表达式：

仅当x0,x1,,xn取为Tn+1(x)的零点时达到最小值2n。（紧接下屏）23第章切比雪夫插值法（续4）因此，对于[-1，1]上的f(切比雪夫插值法（续5）

这表明以n(x)作n次插值多项式，比采用其它n+1个节点插值所产生的误差都要小，因而n次切比雪夫插值多项式可作为n次最佳一致逼近多项式的近似。24第章切比雪夫插值法（续5）这表明以n(x)作n次插切比雪夫插值法步骤用切比雪夫插值法求f(x)在[a,b]的n次最佳一致

逼近多项式n(x)的步骤为：1.变换区间[a,b][-1,1]（切比雪夫多项式定义在

[-1,1]上）2.25第章切比雪夫插值法步骤用切比雪夫插值法求f(x)求三次逼近多项式举例例9分别用Taylor展开，Newton插值及Chbyshev插值

求f(x)=xex在[0,1.5]上的三次逼近多项式。

26第章求三次逼近多项式举例例9分别用Taylor展开，Newton例9[解]（2）Newton插值xifi23

00

10.50.82441.6488

x12.71833.78782.139

x(x-0.5)1.56.72258.00844.22061.3877x(x－0.5)(x－1)三次Newton插值多项式为：其误差为：[解]（2）取节点x0=0,x1=0.5,x2=1,x3=1.5，Newton插值的计算过程见下表27第章例9[解]（2）Newton插值xifi23

00

例9[解]（3）Chebyshev插值以xk(k=0,1,2,3)为节点求插值多项仍用Newton插值计算，结果见下表：[解]（3）Chebyshev插值。首先按式（6.18）求的零点28第章例9[解]（3）Chebyshev插值以xk(k=0,1,例9[解]（3）Chebyshev插值（续1）xifi23

0.05710.06046

10.4630.73561.6633

(x－0.0571)1.0372.92513.81452.1953

x(x-0.0571)(x-0.463)1.44296.10777.84084.10891.3809x(x-0.0571)(x-0.463)(x-1.037)所以三次最佳一致逼近多项式为：29第章例9[解]（3）Chebyshev插值（续1）xifi例10上的三次最佳一致逼近多项式。分析：要求f(x)的最佳一致逼近多项式p3(x),即要使达到最小此时也达到最小是首项系数为1的四次多项式考虑到由切比雪夫性质（定理6.7）知道，当取为首项系数为1的四次切比雪夫多项式时，上与0的偏差最小。于是可取30第章例10上的三次最佳一致逼近多项式。分析：要求f(x)的最佳一例10（续）一般地，在区间[-1，1]上首项系数为an的n次多项式f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式[-1，1]上首项系数为1的n次切比雪夫多项式若区间为[a，b]可1.先做区间变换:2.3.最后得到f(x)的n-1次最佳一致逼近多项式31第章例10（续）一般地，在区间[-1，1]上首项系数为an的n次第六章结束6-32第章第六章结束6-32第章

上机练习题：不同拟合模型的比较

已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线的优劣。方案I拟合函数取为如下形式的三次多项式：

方案II用离散正交多项式求三次拟合多项式

方案III用离散正交多项式求四次拟合多项式

方案IV拟合函数取为如下形式的函数：

33第章上机练习题：不同拟合模型的比较已知观测数据如下表所x00.20.61.01.31.61.71.81.9y02.54.05.73.52.01.02.03.5x2.22.32.52.62.93.13.43.84.1y4.07.07.59.910.911.913.513.011.9x4.44.74.84.95.05.15.3

y9.06.54.01.50.02.55.0

观测数据表34第章x00.20.61.01.31.61.71.81.9y02第六章函数逼近（最佳一致逼近）6-35第章第六章函数逼近（最佳一致逼近）6-1第章第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§2一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合§3正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合§4函数的最佳平方逼近§5最佳一致逼近36第章第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合2第章§5最佳一致逼近多项式在度量标准下，求

(x)，使

（达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍然取

(x)为多项式，即求多项式

(x)使残差：绝对值的最大值达到最小。或可写为：在H中求满足

(x)（f的逼近函数

(x)）：即在H中

(x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中任一ψ

(x)与f(x)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的

(x)为f(x)在H中的最佳一致逼近函数。37第章§5最佳一致逼近多项式在度量标准下，求(x)，最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面关系式的

称为f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式。记称为偏差。偏差点：

若满足

则称x0为ψ

(x)的偏差点，偏差点为正，称为正偏差点， 偏差点为负，称为负偏差点可以从下面例中理解有关概念。

38第章最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面称为f(x)在[a引例例如：要求区间[0,1]上y=arctgx的一次近似式可以有多种方法：（1）Talor公式：tg－1xx,误差R(x)=tg－1x-x，在x=0附近很小，x=1时误差最大，R(x)|x=1=0.2146；（2）插值:

x=0,1作节点=>L1(x)=πx/4，tg－1x

πx/4，其误差在处，即在1附近较大为0.0711；

（3）最小二乘法（例10§4中）

误差在x=1处最大为0.0493（比前二式误差小）。39第章引例例如：要求区间[0,1]上y=arctgx的问题：

由最小二乘法得到的arctgx≈0.0429+0.7918x是在最小二乘意义下的最佳逼近多项式，是不是最好的？这里“最好”的标准是什么？这个标准就是“一致逼近”的概念，它应使最大偏差尽可能小（或者说达到最小）。引例（续1）[0,1]上y=tg－1x的近似一次式就是曲线y=tg－1的近似直线，图6-3中，OA为arctgx的曲线，OA为OA的弦，CB为平切线，F为切点，作为近似直线：OA是不是最好的？回答是否定的！

∵在x=α处产生较大偏差或者说误差最大。那么CB是不是最好的？结论仍然是否定的！图6-3BEAOXYDCarctgxα1几何上：如图6-3，40第章问题：引例（续1）引例（续2）

∵在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此：作DE（OA与CB的中线），在OA到DE间，CB到DE间直线都不是最好的，∵若最好的近似直线在OA到DE间，必然在x=α处产生较大偏差，若在CB到DE间则必然在x=0及x=1处产生较大偏差。∴只有DE才是符合这里“标准”的最好近似直线（误差均匀），不产生最大偏差标准下的使最大偏差达到了最小。这样的DE如何求：设为a0+a1x，误差R(x)=arctgx-a0-a1x。R(x)在x=0,α,1这三点处绝对值最大，别的地方误差不会比这三点处的误差大，（图上清楚）。在x=0处，直线在上，曲线在下；而R(x)在x=α处曲线在上，直线在下，R(x)的符号正负相间；在x=1处，直线在上，曲线在下；∴可假定最大偏差值为E，则有：图6-3BEAOXYDCarctgxα141第章引例（续2）∵在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此引例（续3）

此近似式在x=α处（几何直观）误差最大为E=0.0356，比前面得到任何一次近似式的最大误差都小。好的近似直线：偏差均匀（一样大），即在0,,1三个点（偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使偏差值最小，例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易求，因为偏差点偏差能找到。

42第章引例（续3）此近似式在x=α处（几何直最佳一致逼近概念（按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为：在n次多项式中，求一个与其它任一个n次多项式ψ

(x)对f(x)的偏差相比较是最小的，亦即：

其最小值称为最小偏差，

(x)是f(x)在[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式。下面的切比雪夫定理表明：这样的最佳一致逼近多项式是唯一存在的这个理论问题。

(x)，在[a,b]上使

(x)对f(x)的偏差也可写作：对于Hn（n次多项式的集合）中不同的ψ

(x)，有不同的偏差值43第章最佳一致逼近概念（按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为：在切比雪夫定理定理6.6

Pn(x)Hn是f(x)C[a,b]的最佳一致逼近多项式的充要条件是Pn(x)在[a,b]上至少有n+2个不同的依次轮流为正，负的偏差点（这些点称为切比雪夫交错点组）。切比雪夫定理给出了最佳一致逼近多项式的特征，性质，在最佳一致逼近理论中起着重要作用。推论1如果f(x)C[a,b]，则在Hn中存在唯一的最佳一致逼近多项式。设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项式Pn(x)，就是f(x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插值多项式。推论2

（推论2证明下屏）（∵n+2个点是唯一的）44第章切比雪夫定理定理6.6Pn推论3

设f(x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(n+1)(x)定号或为正（为负），则区间端点a,b都属于f(x)的n次最佳一致逼近多项式的那n+2个偏差点。

∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f(x)－Pn(x)在[a,b]上至

少有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x)Pn(x)=0在

[a,b]上有n+1个根存在n+1个点：a

x0<…<xn

b

使f(xi)Pn(xi)=0即：f(xi)=Pn(xi)(i=0,1,2,…,n),所以，

以此作为插值条件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以

x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项式。切比雪夫定理（续1）

切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：（紧接下屏）45第章推论3设f(x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(切比雪夫定理（续2）则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,…,an，最小偏差值En及n+2个偏差点a

x0<x1<…xn+1

b，一共2n+4个未知数，应满足方程组：

对第一个方程是利用偏差点：两边开方有±（k=0为正，k=1为负），轮流下去；而第二个方程中：xk或为左端点，xk或为右端点，xk或为极值点（偏差极值点）。∵解方程组较困难，因此仅是从理论上解决了寻求最佳一致逼近多项式的方法。设f(x)在（a,b）内可微，其最佳一致逼近多项式为：

对于引例：n=1时，已有了n+2=3个偏差点中的2个（区间[a,b]的两个端点a、b为偏差点）∴仅需确定a0,a1,En及一个偏差点（n=1：2n+4本应为6个未知数和6个方程，因为已有两个已知，所以剩下4个参数，仅需4个方程确定）46第章切比雪夫定理（续2）则Pn(x)的n+1个系数a0,a1,…x1x2Mmy1y2XYOP0(x)零次最佳一致逼近多项式但对于n=0的P0(x)有：P0(x)=(M+m)/2（6-14）

其中M、m分别为f(x)的最大值和最小值。∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2使f(x1)=M,f(x2)=m，即：x1,x2为偏差点（负,正）使：47第章x1x2Mmy1y2XYOP0(x)零次最佳一致逼近多项式但一次最佳一致逼近多项式对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)有：

设f(x)在[a,b]上二阶可微，且f(x)在(a,b)内定号（设为正），下面求P1(x)=a0+a1x.由切比雪夫定理，在[a,b]上存在三个偏差点，设为x0,x1,x2，设最小偏差为E，有f(xi)-P1(xi)=±E（i=0,1,2）∵f(x)>0(<0)定号即在[a,b]上不变号，保持凹（凸），故f(x)在[a,b]上单调增（减）。∴在（a,b）内只有一个零点x1(x0,x2取a,b两点，∴（只剩一个）也就是唯一的一个偏差点（极值点）使f(x1)

P(x1)=0（紧接下屏）48第章一次最佳一致逼近多项式对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)一次最佳一致逼近多项式（续）49第章一次最佳一致逼近多项式（续）15第章一次最佳一致逼近多项式举例例11[解]设P1(x)=a0+a1x是f(x)的最佳致逼近一次式。由定理6.6

函数P1(x)在[0,1]上至少有三个等幅振动点，设为：

0x1<x2<x3

1，由于求在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式。在(0,1)上单调减少，且仅有一驻点，故f(x)P1(x)在(0,1)内只有一个偏差点x2，它满足所以：50第章一次最佳一致逼近多项式举例例11[解]设P1(x)=a0+a例11续亦即有：将（16）(17）(18)联立求解得：

a1=1,x2=1/4,a0=1/8另两个偏差点为x1=0,x3=1于是

51第章例11续亦即有：将（16）(17）(18)联立求解得：另两个例11（续）在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式为：如图6-4所示，

是一条与(0,0)，(1,1)的直线。两点联线及的与这条联线平行的切线等距图6-4XY10.5所以52第章例11（续）在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式为：如图6切比雪夫插值法

对定义在任意区间[a,b]上的函数f(x)，作变换：

即可将定义在[a,b]上的f(x)，化为定义在[-1，1]上的函数g(t)：因此，下面仅对区间[-1，1]进行讨论。

切比雪夫插值法是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。（紧接下屏）53第章切比雪夫插值法对定义在任意区间[a,b]上的即可将定义切比雪夫插值法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1个零点：为节点构造f(x)的n次插值多项式n(x)，而以n(x)作为n次最佳一致逼近多项式的近似。

定理6.7（切比雪夫性质）设H为最高项系数为1的n次多项式的集合，则有54第章切比雪夫插值法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1

由切比雪夫多项式的性质，在[-1，1]上在n+1个偏差点（极值点）：

证明）用反证法）：假设存在

使得：

因为

于是

令：

处有：（紧接下屏）定理6.7（切比雪夫性质）证明55第章由切比雪夫多项式的性质，在[-1，1]上在n+1个偏差

即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介值定理，在[-1，1]上应具有n个零点。但：和Pn(x)都是最高次项系数为1的n次多项式，Q(x)作为它们的差，至少是n-1次多项式，不可能有n个零点，所以定理得证。因此有：定理6.7证明（续）56第章即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介切比雪夫插值法（续4）

因此，对于[-1，1]上的f(x)，若以Tn+1(x)的n+1个零点作n次插值多项式n(x)，其插值余项为：定理6.7说明，在H中的最大绝对值最小，故对表达式：

仅当x0,x1,,xn取为Tn+1(x)的零点时达到最小值2n。（紧接下屏）57第章切比雪夫插值法（续4）因此，对于[-1，1]上的f(切比雪夫插值法（续5）

这表明以n(x)作n次插值多项式，比采用其它n+1个节点插值所产生的误差都要小，因而n次切比雪夫插值多项式可作为n次最佳一致逼近多项式的近似。58第章切比雪夫插值法（续5）这表明以n(x)作n次插切比雪夫插值法步骤用切比雪夫插值法求f(x)在[a,b]的n次最佳一致

逼近多项式n(x)的步骤为：1.变换区间[a,b][-1,1]（切比雪夫多项式定义在

[-1,1]上）2.59第章切比雪夫插值法步骤用切比雪夫插值法求f(x)求三次逼近多项式举例例9分别用Taylor展开，