二阶微分方程应用习题课课件

高阶微分方程应用习题课第七章微分方程二、二阶微分方程的实际应用

一、两类高阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法2.二阶线性微分方程的解法高阶微分方程应用习题课第七章微分方程二、二阶微分方程的实1一、两类高阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法——降阶法令令逐次积分求解

一、两类高阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法——22.二阶线性微分方程的解法常系数齐次情形——代数法特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2.二阶线性微分方程的解法常系数齐次情形——代数法特32.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法为常数其中为实数,为m次多项式.1）此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当是特征方程的k重根时,可设特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法42.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法为常数2）型则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法5的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解

上式两端对x求导,得1)由反函数的导数公式知(2003考研)的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将x＝x(y)6代入原微分方程得①2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为代入原微分方程得①2)方程①的对应齐次方程的通解为设7二、微分方程的应用

1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题8例2解

欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度③例2解欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初9②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意10为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,11练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,

需确定仪器的下沉深度

y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为

m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(1995考研)提示:

建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪12初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量m体积B注意:初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量m注意:13在闭合回路中,所有支路上的电压降为0.例3

有一电路如图所示,电阻

R和电∼解

列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri;经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流强度感L都是常量,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0.例3有一电路14解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼15暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼16求电容器两两极板间电压练习题

联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.解设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板上在闭合回路中,所有支路上的电压降为0‖~求电容器两两极板间电压练习题联组成的电路,其中R,17串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器18当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例4

质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手物体在弹性取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).①自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移满足的微分方程.当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例4质量为19据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力②强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外则得强迫振动方程:力据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力②强迫振动情况202）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律为初始设t=0时物体的位置的定解问题为由1）知,位移满足方程:特征方程:特征根:方程通解:①无阻尼自由振动情况(n=0)利用初始条件得:2）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律为21故所求特解:简谐振动

A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)解的特征:故所求特解:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固22方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:②有阻尼自由振动情况大阻尼:n>k临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三23小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动24大阻尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.大阻尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此25临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,263）的作用，求物体的运动规律.解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④3）的作用，求物体的运动规律.解问题归结为求解无阻尼强27当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当

p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为④当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动28若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t29练习1容器内溶液的含糖量问题

一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以5L/min的速度注入浓度为10克/L的糖水，同时将均匀混合的糖水以5L/min的速度排出.求含糖量对时间变化的函数？分析:

在时间微量dt内容器含糖量的改变量解得－该时间内排出盐水的含盐量＝该时间内注入盐水的含盐量微量平衡原理练习1容器内溶液的含糖量问题一容器内有糖水1030练习2污水治理问题

某湖泊水量为V,每年均匀排入含污染物A的污水量V/6,流入不含污物A的水量也是V/6,同时每年以匀速将V/3的水量排出湖泊.经测m(0)=5m0,为治理执行限排标准.排入湖泊中的污染物含A浓度不得超过每年m0/V.假定湖中含A总是均匀的,问几年后A含量不超过m0？湖中A的改变量＝流入A的量－排出A的量解得练习2污水治理问题某湖泊水量为V,每年均匀31

君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.—宋·朱熹

希望同学们抓紧时间、克服困难，认真复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！

最后，预祝各位同学及你们的家人过一个祥和、温馨的春节！

谢谢大家，再见！对各作业组组长的出色工作表示感谢！君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.—32高阶微分方程应用习题课第七章微分方程二、二阶微分方程的实际应用

一、两类高阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法2.二阶线性微分方程的解法高阶微分方程应用习题课第七章微分方程二、二阶微分方程的实33一、两类高阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法——降阶法令令逐次积分求解

一、两类高阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法——342.二阶线性微分方程的解法常系数齐次情形——代数法特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2.二阶线性微分方程的解法常系数齐次情形——代数法特352.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法为常数其中为实数,为m次多项式.1）此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当是特征方程的k重根时,可设特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法362.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法为常数2）型则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法37的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解

上式两端对x求导,得1)由反函数的导数公式知(2003考研)的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将x＝x(y)38代入原微分方程得①2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为代入原微分方程得①2)方程①的对应齐次方程的通解为设39二、微分方程的应用

1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题40例2解

欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度③例2解欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初41②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意42为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,43练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,

需确定仪器的下沉深度

y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为

m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(1995考研)提示:

建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪44初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量m体积B注意:初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量m注意:45在闭合回路中,所有支路上的电压降为0.例3

有一电路如图所示,电阻

R和电∼解

列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri;经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流强度感L都是常量,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0.例3有一电路46解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼47暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼48求电容器两两极板间电压练习题

联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.解设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板上在闭合回路中,所有支路上的电压降为0‖~求电容器两两极板间电压练习题联组成的电路,其中R,49串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器50当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例4

质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手物体在弹性取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).①自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移满足的微分方程.当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例4质量为51据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力②强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外则得强迫振动方程:力据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力②强迫振动情况522）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律为初始设t=0时物体的位置的定解问题为由1）知,位移满足方程:特征方程:特征根:方程通解:①无阻尼自由振动情况(n=0)利用初始条件得:2）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律为53故所求特解:简谐振动

A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)解的特征:故所求特解:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固54方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:②有阻尼自由振动情况大阻尼:n>k临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三55小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动56大阻尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.大阻尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此57临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,583）的作用，求物体的运动规律.解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④3）的作用，求物体的运动规律.解问题归结为求解无阻尼强59当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当

p

=k