高数-高数下d7-7极值与最值

法3：微分法：两边微分，不用区分x,y,z谁是函数，谁是1Fx

,

Fyx,y,z地位完全一样，都是自变量法2：直接法：两边求导，这时若对x求导，把z看成x,y的函数把y看成常量.复习：求隐函数F

(x,y,z)

0

的偏导数的三个方法法1：公式法：注意求自变量，把x,y,z

均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.凡是含z的地方求对x的偏导时，先对z求导，再乘以z对x的偏导y

x

z

zF

z

z

F

,

x

F

y

F2第七章第七节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其应用回顾：一元函数取得极值的必要条件和第一，第二充分条件.Th1(必要条件)可导函数的极值点必是它的驻点.Th2(第一充分条件)函数的导数在驻点左右两侧的符号：从左到右，导数由正变负，该驻点是极大值点；从左到右，导数由负变正，该驻点是极小值点；从左到右，导数不变号，函数在该点没有极值.Th3(第二充分条件)若函数在某点的一阶导数为零,二阶导数不为零,则该点的二阶导数小于(大于)零时,函数在该点取得极大(小)值.3的图形4观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形5观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形6观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形7观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形8观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形9观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形10观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值的图形11观察二元函数z

xy2

2ex

y一、多元函数的极值1.定义:设函数z

f

(x,y)在点(x0

,y0

)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0

,y0

)的点(x,y)：若满足不等式f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在(x0

,y0

)有极大值；若满足不等式

f

(x,y)

f

(x0

,y0

)，则称函数在

(x0

,y0

)有极小值；说明：(1)由定义知:极值点应在定义区域

（内点）,而不能在边界上.(2)在点(0,0)

有极小值;在点(0,0)有极大值;(3)二元函数的极值的概念可推广到三元以上的多元函数上.椭圆抛物面下圆锥面12xyzoyzxxyzo在点(0,0)无极值.13由局部保号性例1.

已知函数的某个邻域内连续,且则(

C

)(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.提示:

由题设f

(

x,

y)

x

2

y214(

x2

y2

)2

1*

0

0(

x2

y2

)2x

0y

0

lim15(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.提示:由题设例1.

已知函数的某个邻域内连续,且则(

A

)

(2003

考研)p330,2(3)设f

(x,y)

(x2

y2

)2

xy也可赋值法f

(

x

,

y

)

0

,x

0

0

y

0偏导数,且在该点取得极值不妨设z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处有极大值,证:则对于(x0

,y0

)的某邻域内任意(x,y)(x0

,y0

)都有f

(x,y)

f

(x0

,y0

),故当

y

y0，

x

x0时，有

f

(

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

),说明一元函数f

(x,y0

)在x

x0

处有极大值类似地可证必有

f

x

(

x0

,

y0

)

0;

f

y

(

x0

,

y0

)

02.多元函数取得极值的条件:（多元函数的Fermat引理）定理1

(必要条件)

函数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.1617设可微函数f

(x,y)在点(x0

,取得极小值，20030f

(x0

,y)在y

f

(x0

,y)在y

f

(x0

,y)在y

则下列结论正确的是（C

）(A)

f

(x0

,y)在y

y0

处的导数大于零处的导数小于零处的导数等于零即f

y

(x0

,y0

)

0处的导数不存在例2.推广:如果三元函数u

f

(

x,

y,

z)在点P(

x0

,

y0

,

z0

)具有偏导数，则它在P(

x0

,

y0

,

z0

)有极值的必要条件为fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

0,

f

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

0

,

fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0.x218如(0,

0)是函数z

y2的极值点，但不是驻点.注可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.（连续点）但不是取极值点.因函数在该点的偏导不存在.

1.驻点极值点的可疑点

2.偏导中至少有一个不存在的点.19问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2

(充分条件)若函数z

f

(

x,

y)

在点(

x

,

y

)

的0

0的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且f

(

x

,

y

)

0x

0

0

y

0令

A

f

(

x

,

y

)

,

B

f

(

x

,

y

)

,

C

f

(

x

,y

)xx

0

0

xy

0

0

yy

0

0则:1)当B2

AC

0

时,具有极值2)

当B2

AC

0

时,没有极值.A<0

时取极大值;A>0

时取极小值.3)

当B2

AC

0

时,

不能确定

,

需另行

.

1.驻点

2.偏导中至少有一个不存在的点.极值点的可疑点：1）C<0

时取极大值？例3.

求函数z

x3

y3

3xy的极值.zx

3

x

3

y2A

zxx解:zy

3

y

3

x2B

zxy

3C

z

yy解方程组2

3x

2

3

y

0

3

y

3x

0得驻点(1,1),(0,0)B2

AC

9

36

27

0对驻点(1,1):

A

6,

B

(1,1)所以

z极小

z

1B2对驻点(0,0):

A

0,

B

AC

9

0

所以函数在(0,0)处无极值.故所求函数的极值为:

z极小

z

(1,1)

1.20说明：求函数z

f

(x,y)的极值的一般步骤：第三步:

定出B2

AC

的符号，再判断是否为极值.

fx

(

x,

y)

0y第一步:

解方程组

f (

x,

y

)

0求出在定义区域

的实数解,

得驻点.第二步:对于每一个驻点(x0

,的值A、B、C.0求出二阶偏导数21x

x2

x

2z

z

2

4z

02

y

2z

zy

2

4zy

0解：解方程组例

2

求由方程x2

y2

z2

2

x

2

y定的函数z

f

(

x,

y)的极值

4z

10

0确1将上方程组再分别对x,y求偏导数,求出12

z2

zxx

Pxy

P yy

P,

B

z

|

0, C

z

|

1A

z

|

,故B2(2

z)20

(z

2)

AC

,函数在驻点有极值将P(1,1)代入原方程,

有z1

2,z2

6,14当z

2时，

A

1

0,所以z

f

(1,1)

2为极小值；22所以z

f

(1,1)

6为极大值.24当z

6时，

A

1

0,zx

0y

0

得P（1，-1令

zzxx

,

zxy

,

zyyf

(P)为最小值23(大)二、多元函数的最值最值的存在性：（假定函数在D有有限个可疑极值点）定理：若f

(P)在有界闭域D

上连续,则f

(P

在D

上可取得最大值M

及最小值m

.如函数z

x2

4

y2

9在闭域D

:x2

y2

4上存在最大值和最小值.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：（1）找最值可疑点

D内的驻点及不可导点

边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.特别,

当区域 最值存在,

且只有一个极值点P

时,f

(P)为极小值(大)解解方程组例324f

(6,

0)

025例4

某厂要用铁板作成一

积为2立方米的有盖长方体

.问当长、宽、高各取怎样的

尺寸时

,

才能使用料最省.解所用材料的面积为即解方程组26解得27以上问题是求函数x,

y

(0,

)其中以上问题也可以看成是:求函数A

2(xy

yz

xz)的最小值，其中xyz

2.无条件极值：对自变量只限制在定义域内，并无其他限制条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．x

y28A

2

x

y

2

2

的最小值3.条件极值极值问题无条件极值:

对自变量只有定义域内限制.条

件

极

值

:

对自变量除定义域内限制外,还有其它限制条件.求一元函数z

f

(

x,

(

x))

的无条件极值问题条件极值的求法:方法1

代入法.

例如

,在条件(

x,

y)

0下,求函数

z

f

(

x,

y)

的极值转化29从条件(x,y)

030方法2

日乘数法.

例如,在条件(

x,

y)

0下,求函数

z

f

(

x,

y)

的极值.如方法1

所述,设(x,y)

0可确定函数y

(x),则问题等价于一元函数

z

f

(

x,

(

x))

的极值问题,

故xd

xd

z极值点必满足

fyd

x

f

d

y

0d

x

因d

y

x

,yxy

yxxyf

f

记xxf

y

y极值点必满足f

(

x,

y)

0引入辅助函数F

(

x,

y,

)

f

(

x,

y)

(

x,

y)y

xyyff

故

f

f

x

0

x

F

目标函数约束条件31日乘数法:要找函数z

f

(

x,

y)在条件

(

x,

y)

0下的可能极值点先构造函数F

(

x,

y,

)

f

(

x,

y)

(

x,

y)

，其中

为常数,可由

fyy

x

y

0).,(

x

y

0)

f

x

x

y

x

x

y

0)x

y其中x,y就是可能的极值点的坐标.辅助函数F

称为

日(

Lagrange

)函数.称为

日乘数解出x,y,

，利用拉格朗日函数求极值的方法称为

日乘数法.以上解正是

F

(

x,

y,

)

f

(

x,

y)

(

x,

y)

的驻点.日函数的驻点不是目标函数的驻点目标函数约束条件例5解3233例5.

求函数z

x2

4

y2

9在闭域D

:x2的最大值和最小值.提示:答案:

25,

zmin

9zmax

y2

4上1.求出在开区域x2

y2＜4

内的驻点.求出在边界x2

y2

4上的可能极值点.比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.F(

x,

y,

)

x2

4

y2

9

(

x2

y2

4)推广:日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.例如,

求函数

u

f

(

x,

y,

z)在条件(

x,

y,

z)

0,

(

x,

y,

z)

0下的极值.设

F(

x,

y,

z,

,

)

f

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)1

2

1

2解方程组可得到条件极值的可疑点(x,y,z).344.

函数的最值应用问题求多元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.特别,当区域最值存在,且只有一个极值点P

时,f

(P)为极大(小)值

f

(P)为最大(小)值★函数的最值应用问题的解题步骤：第一步

找目标函数,

确定定义域(

及约束条件)第二步判别比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值3536例5

在球面x

2

y2

z

2

1上求一点(

x,

y,

z)，使它到点(1,2,3)的距离最远.

(y

2)2

(z

3)2

在条件解：就是求f

(x,y,z)

(x

1)2

y

2

z

2

1下的最大值.x

2用 日乘数法求解

(

y

2)2

(z

3)2令F

(x,y,z,

)

(x

1)2

(

x

2

y

2

z

2

1)Fx

2(

x

1)

2

x

02yzF

2(

y

2)

2

y

0F

2(z

3)

2

z

0F

x

y2

z2

1

0

解方程组(

x

1)2

(

y

2)2

(z

3)2分析d

(

x,

y,

z)在球面上)

和14

14

141

2

3(

,

,可得两个可能极值点:(

1

,

2

,

3

)14

14

14由问题的几何意义知:第一个点对应于函数的最小值;第二个点对应于函数的最大值故所求的点为:(

1

,

2

,

3

).14

14

1437(也可以比较大小来找最值点

）注意:1、有时为了简单,需要对目标函数进行变通.(x

-1)2

(y

-2)2

(z

-3)2

在x2

y2

z2

1下38如上例:求d

的最大值

求f

(

x

-

1)2

(

y

-

2)2

(z

-

3)2在x2

y2

z2

1下的最大值.2、利用拉氏乘数法的难点在于解方程组，而当目标函数与约束条件中的变量都对称时，则变量相等.约束条件y2

z2

R2

0设

F(

x,

y,

z,

)yz

(

x2

y2

z2

R2

)令zF

8xy

2

z

0Fx

8

yz

2

x

0Fy

8

xz

2

y

0y2

z2

R2

03Rx

y

z

得唯一驻点：根据问题的实际意义,知例6.

求球面

内接正方体的最大体积解：设内接正方体在第一卦限的顶点坐标为则内接正方体的体积为问题归结为目标函数:39变量都对称内容小结1.

函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.如对二元函数z

f

(

x,

y),

即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.

函数的条件极值问题(1)

简单问题用代入法；x

f

(

x,

y)

0y

f

(

x,

y)

0(2)

一般问题用

日乘数法.40求函数

u

f

(

x,

y,

z)在条件(

x,

y,

z)

0,下的极值.设

F(

x,

y,

z,

)

f

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)3.

有界闭区域上连续函数的最值的求法