届新课标高中数学理第一轮总复习第0章60讲平面与垂直高中学习库

2.已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的序号是_②④

.3.如果平面a⊥平面b，a∩b=l，点P∈a，点Q∈l，那么“PQ⊥l”是“PQ⊥b”的 条件．充要4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1

，CD的中点，则平面AED与平面

_A_1_D_1_F

垂直．5.设a，b表示两个不同平面，m，n是平面a，b外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n；②a⊥b；③n⊥b；④m⊥a.以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：

②③④⇒①或①③④⇒②

.用判定定理证明面面垂直【例1】如图，在正三棱柱ABC

－A1B1C1

中，点D，F分别是BC，BB1的中点．求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1；若BB1

＝

BC

，求证：平面FAC⊥平面ADC1.【证明】1在正三棱柱ABC－A1B1C中，因为D是BC的中点，所以AD

BC.因为CC1

平面ABC，AD

平面ABC，所以C1C

AD，所以AD

平面BCC1B1.又AD

平面AC1D，所以平面AC1D

平面BCC1B1.2因为AD

平面B1BCC1，FC

平面B1BCC1，所以AD

FC.又因为B1B＝BC，所以四边形B1BCC1是正方形．又F，D分别为B1B，BC的中点，所以FC

DC1.而AD

C1D＝D，所以FC

平面ADC1.又FC

平面AFC，所以平面FAC

平面ADC1.要证明面面垂直，只需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直即可．【变式练】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求证：平面PBC⊥平面DEF.【证明】因为侧棱PD

平面ABCD，且CD

平面ABCD，所以PD

DC，因为PD＝DC，可知PDC是等腰直角三角形而DE是斜边PC的中线，所以DE

PC，同样由PD

平面ABCD，得PD

BC，因为底面ABCD是正方形，有BC

DC，所以BC

平面PDC，而DE

平面PDC，所以BC

DE，又由前面可知DE

PC，PC

BC＝C，所以DE

平面PBC，而DE

平面DEF，所以平面PBC

平面DEF.面面垂直的性质定理的应用【例2】如下图，已知平面α、β、γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.【证明】方法1：设α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，如图所示．在γ内任取一点P，过P作直线m，n分别垂直于直线AB，BC.因为α⊥γ，β⊥γ，所以m⊥α，n⊥β.又α∩β＝l，所以l

α且l

β，所以m⊥l，n⊥l.而m∩n＝P，所以l⊥γ.方法2：设

I

＝AB，如图所示．在、内分别作直线a、b，使得a

AB，b

BC.由面面垂直的性质定理得a

，b

.所以a

//b，且a

，b

.由线面平行的判定定理得a

//.又因为a

，

I

＝l，故由线面平行的性质定理得a

//l.综上，有a

，a

//l，所以l

.本题题目文字少，但有一定难度．只有真正对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应手．面面垂直的性质定理的 是“垂直于交线，则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓尽致，不失为一个训练的好题．【变式练习2】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面

ABD⊥平面ACD.【证明】因为平面ABC

平面BCD，DC

BC，且平面ABC

平面BCD＝BC，DC

平面BCD所以DC

平面ABC.又AB

平面ABC，所以DC

AB.因为AB

AC，AC

DC＝C，故根据线面垂直的判定定理得AB

平面ACD.而AB

平面ABD，所以平面ABD

平面ACD.与垂直有关的探索性问题【例3】A1B1C1D1，在直四棱柱ABCD－中

，

DB

＝

BC

，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．求证：MD⊥AC；试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

平面ABCD，所以BB1

AC.又因为BD

AC，且BD

I

BB1＝B，所以AC

平面BB1D.而MD

平面BB1D，所以MD

AC.【证明】1证明：因为BB1

平面ABCD，AC2当点M

为棱BB1的中点时，平面DMC1

平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，

连结OM、BN.因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN

DC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，且平面ABCD

平面DCC1D1，所以BN

平面DCC1D1.因为O是NN1的中点，所以BM

//ON且BM＝ON，所以四边形BMON是平行四边形，所以BN

//OM

.所以OM

平面CC1D1D，因为OM

平面DMC1，所以平面DMC1

平面CC1D1D.本题以

几何中的棱柱为载体，重点考查几何中的垂直关系的探索及推理论证．第(1)问要证线线垂直，可通过线面垂直即可得证；第(2)问是开放性探究问题．要使得平面DMC1⊥平面

CC1D1D，关键在于找出其中一个面的一条垂线，而另一个平面恰过这条垂线，从而问题转化为寻求平面CC1D1D的垂线．由条件DB＝BC，可联想到取DC的中点N，则BN就是平面CC1D1D的垂线，再结合平面图形的特点，从而可确定M点的位置．3ABCD是菱形，BAD＝ ，若PA【变式练习3】如图，四棱锥P－ABCD中，底面＝PD，平面PAD

平面ABCD.1求证：AD

PB；2若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF

平面ABCD，并证明你的结论．3连结PO，BO，BD，因为PA＝PD，所以PO

AD，因为底面ABCD是菱形，BAD＝，【解析】1证明：取AD的中点O，所以VABD是等边三角形，又O是AD的中点所以AD

OB，又OB

I

OP＝O，所以AD

平面POB，因为PB

平面POB，所以AD

PB.2当F是棱PC的中点时，平面DEF

平面ABCD.连结OE，OC，因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，所以DO

//CE，DO＝CE，所以四边形DOEC是平行四边形，设DE

I

OC＝M，所以M

是OC的中点，连结FM

.又因为F是棱PC的中点，所以FM

//PO；因为平面PAD

平面ABCD，平面PAD

I

平面ABCD＝AD，PO

AD，所以PO

平面ABCD，所以FM

平面ABCD，又因为FM

平面DEF，所以平面DEF

平面ABCD.1.若l为一条直线，、、

为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①

，

；②

，

；③l

，l

.其中正确 题有②③2.三个平面两两垂直，且它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的距离是

5

2

【解析】OP是以3、4、5为边长的长方体的体对角线，OP＝5

2.3.二面角C

－BD

－A

是直二面角，且DA⊥平面ABC

，

则△

ABC

是

三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)直角【解析】VABC是直角三角形．如图平面CBD

平面ABD，平面CBD

I平面ABD＝BD，过点A作AE

BD，则AE

平面CBD，又因为BC

平面CBD，所以AE

BC；因为DA

平面ABC，BC

平面ABC，所以AD

BC；又因为AD

I

AE＝A，所以BC

平面ABD，又因为AB

平面ABD，所以BC

AB，所以VABC是直角三角形．4.如图，设P是△ABC所在平面外一点，

P到A、B、C的距离相等，∠BAC为直角．求证：平面PBC⊥平面ABC.【证明】过P作PH

底面ABC，垂足为H，连结HA.H是ABC的外心．又因为BAC为直角，所以ABC是直角三角形，所以H是斜边BC的中点，即PH

平面PBC且PH

底面ABC.由面面垂直的判定定理得平面PCB

平面ABC.5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1

中，已知M是棱AB的中点．求证：AC1∥平面B1MC；平面D1B1C⊥平面B1MC.且M

是棱AB的中点，所以MN

//AC1.又AC1

平面B1MC，MN

平面B1MC，所以AC1

//平面B1MC.【证明】1如图，连结BC1交B1C于N，连结MN.因为ABCD

—A1B1C1D1是正方体，2方法1：由1知，B1C

BC1.又AB

平面B1BCC1，所以AB

B1C.因为AB

I

BC1＝B，所以B1C

平面ABC1.而AC1

平面ABC1，所以B1C

AC1.同理可