吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向§1.7两向量的数量积实例启示:两向量作这样的运算,结果是一个数量.一物体在常力作用下沿直线从点移动到点,以表示位移,则力所作的功为(其中为与的夹角)§1.7两向量的数量积实例启示:两向量作这样的运算,结果是定义1.7.1两向量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做和的数量积,记为或,即

注1由定理1.6.1,=射影,=射影,则射影射影.定义1.7.1两向量和的模和它们夹角的余弦的乘

注2由注1有,=射影.

注3

定理1.7.1证明:若,则.如果或,则.如果注2由注1有,=射影.数量积的运算律

定理1.7.2数量积满足下面的运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)数量积的运算律定理1.7.2数量积满足下面的运算规律证明:若中有,则(1)~(4)显然成立.若中没有,则(1)和(4)显然成立.(2)若,则等式成立.若,则射影(射影)(射影).又所以证明:若中有,则(1)~(4)显然成立.(3)射影(射影射影)射影射影

推论这说明向量的数量积遵循多项式乘法.(3)射影

例1证明:平行四边形对角线的平方和等于各边平方和.证明:如图,中,设,则有,所以所以,即例1证明:平行四边形对角线的平方和等于各边平方和.

例2证明:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它和平面内的任何直线都垂直,即垂直平面.证明:设直线与面内的两相交直线垂直,为面内的任一直线,如图.下证.在上分别取非零向量,则例2证明:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂由于相交,即不共线,由共面,知存在,使则所以,即.吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3

例3证明:三角形的三高交于一点.证明:中,高交于点,下证.设,.则由于,则例3证明:三角形的三高交于一点.所以即.所以所以三高交于一点.所以直角坐标系下数量积的坐标运算

定理1.7.3设则证明:直角坐标系下数量积的坐标运算定理1.7.3设而是两两垂直的单位向量,则有所以

推论设,则而是两两垂直的单位向量,则有空间两点距离由,这样有定理1.7.4设,则证明:由定理1.7.3,有所以空间两点距离由,这样有

定理1.7.5空间两点间的距离为证明:因为所以定理1.7.5空间两点向量的方向余弦向量的方向角:向量与坐标轴所成的角.向量的方向余弦:方向角的余弦.

定理1.7.6非零向量的方向余弦是向量的方向余弦向量的方向角:向量与坐标轴所成的角.且,其中分别为向量与轴,轴,轴的交角.证明:因为,且,则同理可证其余两式.

注:由该定理知模和方向余弦可决定向量.吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3两向量的交角定理1.7.7设非零向量,,则两向量的交角定理1.7.7设非零向量证明:由立得结论.

推论与互相垂直的充要条件是证明:由

例4已经三点,且,求(1)与的夹角,(2)在上的射影.解:(1)由,则所以例4已经三点,(2)由射影,而所以射影(2)由射影,而

例5利用两向量的数量积证明柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式

证明:令,由即得结论.例5利用两向量的数量积证明柯西-施瓦茨(Cauchy第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向§1.7两向量的数量积实例启示:两向量作这样的运算,结果是一个数量.一物体在常力作用下沿直线从点移动到点,以表示位移,则力所作的功为(其中为与的夹角)§1.7两向量的数量积实例启示:两向量作这样的运算,结果是定义1.7.1两向量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做和的数量积,记为或,即

注1由定理1.6.1,=射影,=射影,则射影射影.定义1.7.1两向量和的模和它们夹角的余弦的乘

注2由注1有,=射影.

注3

定理1.7.1证明:若,则.如果或,则.如果注2由注1有,=射影.数量积的运算律

定理1.7.2数量积满足下面的运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)数量积的运算律定理1.7.2数量积满足下面的运算规律证明:若中有,则(1)~(4)显然成立.若中没有,则(1)和(4)显然成立.(2)若,则等式成立.若,则射影(射影)(射影).又所以证明:若中有,则(1)~(4)显然成立.(3)射影(射影射影)射影射影

推论这说明向量的数量积遵循多项式乘法.(3)射影

例1证明:平行四边形对角线的平方和等于各边平方和.证明:如图,中,设,则有,所以所以,即例1证明:平行四边形对角线的平方和等于各边平方和.

例2证明:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它和平面内的任何直线都垂直,即垂直平面.证明:设直线与面内的两相交直线垂直,为面内的任一直线,如图.下证.在上分别取非零向量,则例2证明:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂由于相交,即不共线,由共面,知存在,使则所以,即.吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3

例3证明:三角形的三高交于一点.证明:中,高交于点,下证.设,.则由于,则例3证明:三角形的三高交于一点.所以即.所以所以三高交于一点.所以直角坐标系下数量积的坐标运算

定理1.7.3设则证明:直角坐标系下数量积的坐标运算定理1.7.3设而是两两垂直的单位向量,则有所以

推论设,则而是两两垂直的单位向量,则有空间两点距离由,这样有定理1.7.4设,则证明:由定理1.7.3,有所以空间两点距离由,这样有

定理1.7.5空间两点间的距离为证明:因为所以定理1.7.5空间两点向量的方向余弦向量的方向角:向量与坐标轴所成的角.向量的方向余弦:方向角的余弦.

定理1.7.6非零向量的方向余弦是向量的方向余弦向量的方向角:向量与坐标轴所成的角.且,其中分别为向量与轴,轴,轴的交角.证明:因为,且,则同理可证其余两式.

注:由该定理知模和方向余弦可决定向量.吕林根解析几何(第四版)(完整课件)3两向量的交角定理1.7.7设非零向量,,则两向量的交角定理1.7.7设非零向量证明:由立得结论.

推论与互相垂直的充要条件是证明:由

例4已经三点,且,求(1)与的夹角