《材料力学》附录I-截面的几何性质-习题解

I-何性质-习题解附录I 截面的几何性质习题解[习题I-1]试求图示各截面的阴影线面积对轴x的静积。（a）解：S Ayx

(4020)(2010)24000(mm3)（b）解：Sx

Ayc

(2065)2

42250(mm3)（c）解：S Ayx

20)10)280000(mm3)（d）解：S Ayx

(10040)(15020)520000(mm3)[习题I-2]试积分方法求图示半圆形截面对轴x的静矩，并确定其形心的坐标。234[I-4]x和轴的惯性矩、y I

和惯性积。Ix y xy解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dA (xd )dx y xsin面积对轴的惯性矩为：xdI y2dAy2(xddx)x2sin2xddxx3sin2dxdx四分之一圆对轴的惯性矩为：xI rx3x

/

sin[

/21cosdxx

4 0 0 2r41[/2d1/2cosd()]4 2 0 20r4 1 { [sin]8 2 2 r416

/2}由圆的对称性可知，四分之一圆对轴的惯性y矩为：5I Iy

r416微分面积对轴、轴的惯性积为：x ydI xydAxyI rx

r2x2

ydxr1x(r

x2)dx

1[r2x2 x4]

1(r

r4)r4rxy 0 0r

02 2 2 4

2 2 4 8[习题I-5] 图示直径为 的圆形截面在其d 200mm20mm积分法求余下阴影部分对其对称轴的惯性矩。x解：圆的方程为：x2y2r2如图，作两条平行轴的、相距为线段，截x dy圆构成微分面积，微分面积为：dA2 r2y2dy切去之后，剩下部分对轴的惯性矩为：xI rsinx rsin

2y

r2y2dyy r4 yrsin82 (2y8

r2) r

y2

arcsin8

rrrsin6r4(1sin4)2 4r48

(4sin4)x220)210021x236001x 60(mm)1tan10020460 34arctan31004

53.130

0.927(rad)I (40.927sin212.520)3.963107(mm4)x 8[I-6]矩。解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为，竖坐标轴为。z yI y2dA

dzz

ay2dy

2adzz2ay2dy22 2 22z 2a 2 0 2A 2 z2

z a22[0 dzz2aydy2adzz2aydy]2 222 2 22 a 0 0 0272 0 z2

2a

z2a [ y33 2a 2

2 dz0

y3 2 dz]022[0 (z 2a)3d(z 2a)a(z 2a)3d(z 2a)]23 3 a 2 2 0 2 222 2 0 2 2a22 (z

42

2(z

a)42 3 4 3 4 2a4 a4

2 a 02= 316 16a412故正方形对其的对角线的惯性矩为：a4I 。z 12[I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴的惯性矩。x(a)1 1 1 1 Ix(b)

42) 3.141754( )4]21177368(mm4)64 64 17581 I 1502103 90150390449999(mm41 x 12 12A并平[习题I-8]BC的轴的惯性矩。BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得I-9]的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相1m。9：解已知半圆形截面对其底边的惯性矩是：，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩I-10]x惯性矩。10解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角的圆心，到形心轴的距离是上面一个圆的圆心到轴的距离是

。23d6利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下：I-11]的惯性矩。解：（a）22a。利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩1I 3.4107( 120103115212010)265760000(mm4)1z 1211（b）等边角钢 的截面积是 ，28.4面对轴的惯性矩如下：习题I-11（b）图图形bhIxcaAIx中间矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形1795100271.61926143869495右上L形1795100271.61926143869495左下L形1795100271.61926143869495右下L形1795100271.61926143869495I Ix xc

a2

1220644645I-12]I-3a平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下：12I-13(a)[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴的惯I-13(a)x性矩。图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000082125000000全图28000011900000425133583333330图形bihiAiYci习题I-13(AiYcib)YcaiIxcIx(mm4)上图(3)2515037502751031250148703125089601489中图(2)20015030000125375000025625000056328044下图(1)10050500025125000102104166752667577全图387504906250127198597110bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)2140115024610005751415075000271222708333159333213698275790-980333335-3286926674275020279139919882022211614806671086382333734134393476159I-13(c)I-13(c)图形矩形半圆全图yc4r/I4/88r4/xcbihibihiAiYci习题I-13(d)AiYciYcaiIxciIx(mm4)2201635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269408242699922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914从下往上[习题I-14]在直径

D8a圆2a4a的矩对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩和。I Ix y解：先求形心主轴的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y轴向下为正）14x1）

（组合图形对过圆心轴（组合图形对形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a)h(a)b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)42-8.001-82.6671.189314.0450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9[习题I-15]正方形截面中开了一个直径为d 100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：15图形bihirAiYci习题I-15AiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圆50-392779-309365685977242860346全图360733690635102130686455yc1004r3I xcr488r49I Ixxca2A形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：I 130686455mmx

。对竖直形心轴的惯性矩：a4 r4 2004 3.14159504I 130878966(mm4)图形arIy（mm4图形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圆502454367全图130878966I-15I I-15I ya412r48

20a

号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相x I x 等，则两槽钢的间距a

应为多少？16解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是 ， ；横截面为；槽钢背到其形心轴的距离是。根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是；若即等式两边同除以2，然后代入数据，得于是所以，两槽钢相距17[习题I-17]试求图示截面的惯性积Ixyb高为h则

，x0yc ch)h)(b)bh1224I Ixy xyCC

abA0(

b2h2故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标

I xy 4

b2h2习题I-17图形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重复加的矩形10102500全图 上图+下图-重复图= 497500[习题I-18] 图示截面由两个18 （图中虚线 125mm 125mm 10mm合而成。试求该截面的最大惯性矩

Imax

和最小惯性矩。ImaxC位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为轴正xcCx

轴的直线为y

轴向上为正。把xcyc c

c cC坐标绕点逆时针转C450后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就I Iy0 min

x,y0

。主惯性矩Ix0

I ，max查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：A24.373cm2z 3.45cm0

，I I'y x0

149.46cm4

I I'x y0

573.89cm4 ，角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：a 2z 0

1 2(3.450.5)3.95 2cm222ImaxImin

I 2[149.46(3.95 2)21820(cm4)x0I 21148(cm4)y0（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）19[习题I-19]试求图示正方形截面的惯性积 和I1x1惯性矩Ix1

，并作出比较。Iy1解： a4I x 12I a4y 12（

为形心主惯性轴）I xy

x,y

a4a4I II x

IxI

cos

sin12 1200a41x 2 2 xy 2 121a4a4I II x

IxI

cos

sin12 1200a41y 2 21I I

xy 2 12I xxy

ysinIxy

cos200011结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕20形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。[I-20]置，并求形心主惯性矩。（a）解：截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。1 400 40 1122212[1402003(20020)220040]21122212I [ 200403122212[1402003(20020)220040]21122212xI y400 40 200 20

320203183146666.6(mm4)I [( )( )20040]2259200000(mm4)xy 2 2 2 2tan

2Ixy

(2)(259200000)

1.31640 I Ix y

575146666.5181346666.6arctan1.316452047'0 26024'0IxIxIyIxy21575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146IIIIx0I Ix2y12(I I )24I2xyxyy0I-20(b)长度单位:cm20（xy8I-20(b)长度单位:cm图形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全图43.149.4492.11.1511.432.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.63510.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.6643.122962490-158.290.15474.42308.2237.2I-2