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1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)⑴当x=时，函数y=x-2x取得极小值.(2)由曲线y=lnx与两直线y=e+l-x及y=0所围成的平面图形的面积是 .x=1(3)与两直线＜y=-l+r及牛=上产=、匚都平行且过原点的平面方程为」 .z=2+，(4)设L为取正向的圆周f+y2=%则曲线积分JJ2"-2y)dx+(x2-4x)力=.(5)已知三维向量空间的基底为ap«(1,1,0),2=(1,0,1),3=(。，1，1)，则向量B=(2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(本题满分8分)求正的常数。与6,使等式lim一一[' dt=1成立.lofer-sinxJ。及+产三、(本题满分7分)(1)设/、g为连续可微函数，〃=f(x,xy),v=g(x+xy),求dudvdxdx(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中-3orA=110，求矩阵B.014四、(本题满分8分)求微分方程y”+6y〃+(9+a2)y，=i的通解淇中常数。〉0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设lim =一1,则在x=a处I(x-a)

f{x}的导数存在，且f{x}的导数存在，且f\a)*0f(x)取得极大值(C)/(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在S(2)设/(x)为已知连续函数,/= 其中，＞0,s＞0,则I的值(A)依赖于s和， (B)依赖于s、f和x(C)依赖于八X,不依赖于5 (D)依赖于s,不依赖于，00 f.(3)设常数攵＞o,则级数y(-i)n"n-l 〃(A)发散 (B)绝对收敛(。条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关(4)设A为”阶方阵，且A的行列式IA1=aH0,而A*是A的伴随矩阵，则IA*I等于(A)a (B)—a

(C)an-\(D)(C)an-\(D)。六、(本题满分10分)求累级数夕一!一X"T的收敛域，并求其和函数.9〃2"七'(本题满分10分)求曲面积分/=jjx(8y+l)dydz+2(l-y2)dzdx-4yzdxdy,工z=Jy-1l<y<3"其中Z是由曲线f(x)=<%其中Z是由曲线f(x)=<x=07T成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于八'(本题满分10分)设函数/(x)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每•个x,函数/(%)的值都在开区间(0,1)内，且/'(X)#1,证明在(0,1)内有且仅有一个X,使得/(X)=X.

九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组X]+w+演+x4=Qx2+2x3+2x4=1—x2+(a—3)Xj—t'x4=b3X1+2x2+x3+a;有唯•解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十'填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行〃次独立试验,则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的概率为.(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.己知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为〃x)=：e*+2z,

7兀则x的数学期望为X的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为10<x<lfe~yy>0

fx（x）="出，人（力= '，, 0其它“I0”0求z=2x+y的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分满分15分)(1)求幕级数£旦戈的收敛域.占〃3"(2)设/(x)=JJ®(x)]=1-x且夕(1)20,求Q(x)及其定义域.(3)设Z为曲面x2+y2+z2=\的外侧，计算曲面积分/=JJx3dydz+y^dzdx+z3dxdy.£二'填空题(本题共4小题,每小题3分满分12分.把答案填在题中横线上)⑴若/Q)=limr(l+L)2",则f\t)=.XT00X⑵设“X)连续且 =X,则/(7)=.(3)设周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为/(x)卜2 —1<x<0, 一，则的傅里叶(Fourier)级数在x=1处收敛于x20<x<l(4)设4阶矩阵A闻/泮阶部J=［，2，3，J其中耶利上，3，4均为4维列向量,且已知行列式|A|=4,|B|=1,则行列式|A+B|=.三'选择题(本题共5小题,每小题3分篇分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)可导且:(x0)=g,则Ar->0时，/(x)在/处的微分dy是(A)与Ar等价的无穷小 (B)与Ax同阶的无穷小(C)比k低阶的无穷小 (D)比Ac高阶的无穷小(2)设y=f(x)是方程y"-2y'+4y=0的一个解且/(x0)>0J'(Xo)=0,则函数/(x)在点/处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少设 空 间 区 域Q：jr2+y2+z2</?2,z>0,Q,：jr2+y2+z2</?2,x>0,y>0,z>0,则(A)jjjxdv=41Jjdv叫「小=叩必,(C)jjjzdv=4jjjzdvQ Q,(D)jjjxyzdv=明］xyzdv(4)设幕级数£a“(x-1)"在x=-1处收敛，则此级数在x=2处〃=1(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)〃维向量组apa2,- S(3<s<n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数配忆2,…人，使k}a^.nk22+…+£s#0(B)aaa”…，,中任意两个向量均线性无关(C)apia>,中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)aaa?,…，，中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设〃=炉(土)+烟()),其中函数八g具有二阶连续导数，求yxd2ud2uX——+v .dx2dxdy五'(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2e\其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=Y-x_i在该点处的切线重合，求函数y=yU).

六'(本题满分9分)k设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为3快＞0为常r数，;•为A质点与M之间的距离)，质点M沿直线自8(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(本题满分6分)1已知1已知AP=BP,其中B=0000''10o-00,p=2-10,求0-121 1A,A5.八'(本题满分8分)一200-'200-已知矩阵人=001与B=0y0相似.01x00-1(1)求x与y.(2)求一个满足P'AP=B的可逆阵P.九、(本题满分9分)设函数/(x)在区间加上连续，且在(a,b)内有f'(x)>0,证明:在(a,b)内存在唯一的虞使曲线y=/(x)与两直线y=f^),x=a所围平面图形面积R是曲线y=/(x)与两直线y= =b所围平面图形面积$2的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中，事件4出现的概率相等,若已知A至少19出现一次的概率等于二，则事件4在一次试验中出现的概率是27(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于微”的概率为.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知1140(x)=f-=e2 ^(2.5)=0.9938,J2》则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为.十一'（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为/x（x）=—二-，求随机变量）（1一厂）y=l-Vx的概率密度函数fY（y）.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知/'(3)=2,则lim"3i)7(3)= /1To 2h(2)设/(%)是连续函数，且/(x)=x+2j'/(r)Jr,则= •(3)设平面曲线L为下半圆周y=-yl\-x2,则曲线积分£(x2+y2)ds=.(4)向量场div〃在点P(l,l,0)处的散度div〃=.0]pl0,1=00]pl0,1=0311°(5)设矩阵A=1400(A-2I)二、选择题(本题共5小题.每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x>0时，曲线y=xsin，x(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2)已知曲面Z=4-V-y2上点p处的切平面平行于平面2x+2y+z-l=0,则点的坐标是(A)(l,-1⑵ (B)(-1J2)(C)(1J2)(D)(-l,-l,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)qy+c2y2+y3(B)^^+c2y2-(C1+c2)y3(C)ca+c2y2-(1-q-c2)y3

(D)c,y(+c2y2+(l-ct-c2)y3设函数/(x)=x,0<x<l,而opS(x)= sinn/rx,-oo<x<+oo,其中n=\bn= (x)sinnndx,〃=1,2,3,…，则S(-；)等于(A)-1 (B)-y2 411-2z(x(5)设A是〃阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中(A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分满分15分)⑴设z=/(2x—y)+g(x,孙)，其中函数/⑺二阶可导，g(〃,v)具有连续二阶偏导数，求三•.dxdy⑵设曲线积分1个2dx+yo（x）dy与路径无关，其中（p（x）具有连续的导数，且以0）=0,计算jooxy2dx-^y（p（x）dy的值.（3）计算三重积分川"（x+z）d匕其中。是由曲面z=Jx?+y2与Qz=J1一I-'所围成的区域.四、（本题满分6分）1-|-r将函数/（x）=arctan 展为x的累级数.1-x五、（本题满分7分）设/（外=5布入一「*一。/。）力,其中f为连续函数，求/（X）.*0六'（本题满分7分）证明方程Inx=±一「Jl-cos2xdx在区间（0,+8）内有且仅有eJ（）两个不同实根.七、（本题满分6分）问2为何值时，线性方程组rxi+x3-A<4xj+x?+2%3=之+26x,+x2+4x3=22+3有解，并求出解的一般形式.八、(本题满分8分)假设4为〃阶可逆矩阵A的一个特征值，证明⑴上为Ai的特征值.A均为A的伴随矩阵A*的特征值.2九、(本题满分9分)设半径为R的球面Z的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问当/?为何值时，球面Z在定球面内部的那部分的面积最大？十'填空题(本题共3小题,每小题2分篇分6分.把答案填在题中横线上)⑴已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BIA)=0.8,则和事件AUB的概率P(A\JB)=.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.(3)若随机变量J在(1,6)上服从均匀分布,则方程F+自丈+1=0有实根的概率是.十一、(本题满分6分)设随机变量x与y独立，且x服从均值为1、标准差(均方差)为、份的正态分布，而y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)'x=-t+2(1)过点且与直线iy=3f-4垂直的平面方程是• Lz=r-l(2)设a为非零常数，则lim(土三巴)'=.-x-a1|xl<1(3)设函数/(x)=] ，则/"(x)]= .0|x|>1(4)积分dy的值等于.(5) 已 知 向 量 组apimtl,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),则该向量组的秩是.二、选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设/(x)是连续函数，且尸(x)=1/Q)力，则F'(x)等于(A)-e-V(e-x)-/(x)(B)-e-V(e-x)+/U)(C)e-，/(er)-/(x)(D)e-x/(e-x)+/(x)(2)已知函数/(x)具有任意阶导数，且/'(x)="(x)]2,则当〃为大于2的正整数时，/(x)的〃阶导数/0°(幻是(A)加"(x)r”(B)n[/(x)r+,(C)"(x)F"(D)n![/(x)]2n(3)设a为常数，则级数之[/当"-「=]〃=1nyjn(A)绝对收敛(B)(A)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关(4)己知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且/(0)=0,lim」®-=2,则在点x=0处/(x)101-cosX(A)不可导 (B)可导，且广(0―0(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知也、/是非齐次线性方程组4乂=方的两个不同的解，四、a2是对应其次线性方程组AX=0的基础解析，仁、修为任意常数，则方程组AX=)的通解(一般解)必是BB-(A)k}a^k2((+2)+r---也)勺叫10女2(1-2)+郎；-(。《珅"2(1+2)+,12(D)匕＜/叩网(I-2)+吗上三'（本题共3小题,每小题5分,满分15分）dx.小.f”n(l+x)'Jo(2-x)2dx.⑵设z=/（2x-y,ysinx）,其中/（w,v）具有连续的二阶偏导数,改dxdy（3）求微分方程/+4y'+4y= 的通解（一般解）.四、（本题满分6分）8求幕级数Z（2〃+Dx"的收敛域，并求其和函数・”=0五'（本题满分8分）求曲面积分/=||yzdzdx+2dxdy其中S是球面尤2+丫2+72=4外侧在220的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数/(x)在闭区间3,加上连续，在开区间(a,»内可导，且/(“)=/(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得/W>0.七、(本题满分6分)设四阶矩阵1-100213401-10021300 1-1，L—002100 0 10002且矩阵A满足关系式A(E-C'B)C=E其中E为四阶单位矩阵，Ci表示C的逆矩阵,C'表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八'(本题满分8分)求一个正交变换化二次型f=x；+4x：+ —4内为2+4网X3— 成标准型.

九'(本题满分8分)质点尸沿着以A8为直径的半圆周，从点A(1⑵运动到点8(3,4)的过程中受变力片作用(见图).F的大小等于点P与原点。之间的距离，其方向垂直于线段。尸且与y轴正向的夹角小于土.求变力/对质点P所作的2功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数/(x)=；e"",-oo<%<+00则X的概率分布函数F(x)=.(2)设随机事件A、8及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若8表示8的对立事件，那么积事件人月的概率P(AB)=.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,2*e-2即p{X=%}=上匚/=0,1,2,3,则随机变量2=3*-2的数学k!期望E(Z)=.十一'(本题满分6分)设二维随机变量(X,y)在区域。：0＜尤内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差0(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)x=\+rn,d2yTOC\o"1-5"\h\z⑴设《 ，则—y= .y=costdx(2)由方程孙z+Jr?+y'+z?=J5所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz= .已知两条直线的方程是3=工2二=三二2 三±2=匕1=工则过平行于1 0 -12 2 1 1 1平面方程是.I(4)已知当xf0时,(1+0^)3一1与cosx—1是等价无穷小，则常数4=.5200⑸设4阶方阵A=2100，则A的逆阵001-200IIA'.二'选择题(本题共5小题,每小题3分浦分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)+e-x2(1)曲线、=产7r(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数/(x)满足关系式/(x)=[27/(-)Jr+In2,则Jo2/(X)等于(A)e'In2 (B)e2xIn2(C)ex+ln2(D)e(C)ex+ln2TOC\o"1-5"\h\z00 00 co(3)已知级数2(-1广％=2,2%“-1=5,则级数等于n=l n=l n=l(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设。是平面xoy上以(1,1)、(一1,1)和(一1,-1)为顶点的三角形区域，，是。在第一象限的部分，则Jj(xy+cosxsiny)dxdy等于D(A)2jjcosxsinydxdyd,(B)2jjxydxdyq(C)4,(町+cosxsiny)dxdy (D)0D,(5)设〃阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是〃阶单位阵，则必有(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E (D)BCA=E三、(本题共3小题,每小题5分满分15分)⑴求lim(cosy[xY.x->0+(2)设方是曲面2/+3y2+不=6在点p(l』』)处的指向外侧的法向量，求函数〃=J6/+8/在点P处沿方向元的方向导数.Zfff(x2+/+z)dv,其中C是由曲线Jy=2z绕z轴旋转一吧 x=0周而成的曲面与平面z=4所围城的立体.四、(本题满分6分)过点0(0,0)和A3,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L,使沿该曲线。从到A的积分J(l+y3)tZr+(2_r+y)dy的值最小.五'(本题满分8分)将函数/(x)=2+|x|(-1WxW1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数的和.〃=ln六'(本题满分7分)设函数f(x)在［0,1］上连续,(0,1)内可导，且3«f(x)dx=/(0),证明在(0,1)内存在一点c,使/'(c)=0.七、(本题满分8分)已 知api«(tl,0,2,3),2=(1,1,3,5),3=(1,-1,a+2,1),4=(1,2,4,a+8)及p=(l,l,b+3,5).(l)a、b为何值时，0不能表示成ajag,3,4的线性组合？(2)a,b为何值时，p有apiag,3,4的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、(本题满分6分)设A是〃阶正定阵，E是”阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点）,且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行.十、填空题（本题共2小题,每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上）（1）若随机变量X服从均值为2、方差为M的正态分布，且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=.（2）随机地向半圆0<y<>j2ax-x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于-的概率为.4十一'（本题满分6分）设二维随机变量（X,丫）的密度函数为一、2e《+2y）工>0,小00其它I求随机变量Z=X+2Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一'填空题(本题共5小题.每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数y=y(x)由方程+co(取)=0确定，则dy_dx(2)函数«=ln(x2+/+z2)在点M(l,2,-2)处的梯度grad= -(3)设/(x)=J"1,一"<尤,°,则其以2乃为周期的傅里叶级l+X0<X<7T数在点X-71处收敛于.(4)微分方程y+ytanx=cosx的通解为y=.。1仇a-2…以aa也…anbn。产0涉产0,«=1,2广、〃).则矩阵4的秩“人)=.二'选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)工一］—⑴当Xf1时，函数 的极限X—1(A)等于2 (B)等于0(C)为8 (D)不存在但不为00(2)级数£(一1)"(1一88巴)(常数4>0)„=1 〃(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3)在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设/(x)=3x3+x2|x|,则使存在的最高阶数〃为(A)0 (B)l(C)2 (D)3

口、(5)口、(5)要使茸=0a'°、1都是线性方程组AX=O的解，只要系数矩阵A为(A)[-212](B)(C)-1(C)-1001-1(D)4—2—201 1三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)⑴求而生非匚.⑵设z=f(exsiny,x2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，求dxdy(3)设/(x)=<1+xx一0,求f/(x-2)dx.x>0四、(本题满分6分)求微分方程/+2/-3y=e-3t的通解.五、(本题满分8分)计 算 曲 面 积 分||(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z，+ay2)dxdy,其中Z为上半£球面z=-Jf2-y2的上侧.六、(本题满分7分)设/7x)<0,/(0)=0,证明对任何x,>0,x2>0,有/Ui+x2)</(x,)+/(x2).七、(本题满分8分)在变力户=/『+4+町】的作用下，质点由原点沿直线运动到X2y2Z2椭球面r+2T+、=1上第一卦限的点问当自、〃、7a'b'c取何值时，力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八'（本题满分7分）设向量组aja?,3线性相关,向量组a3a3，4线性无关，问：（1）%能否由aq3线性表出?证明你的结论.（2）%能否由apa”3线性表出?证明你的结论.九'（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为4=1,4=2,4,=3,对应的特征向量依次为⑴将0用自软2,3线性表出。（2）求A0（〃为自然数）.十'填空题（本题共2小题,每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上)(1) B 知P(A)=P(B)=P(C)=~,P(AB)=0,P{AC)=P(BC)=贝U事4 6件A、B、。全不发生的概率为.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E{X+片2*}=.H■一'(本题满分6分)设随机变量x与y独立，x服从正态分布N(〃,/),y服从[-乃，扪上的均匀分布，试求z=x+丫的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数中表示，其中①(x)= 「e-5力).丁24J-1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)11(1)函数F(x)=f(2--r)dt(x>0)的单调减少区间为(2)由曲线J3/+2y2=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点Lz=0(0,、行,、历)处的指向外侧的单位法向量为.(3)设函数/(幻=乃*+/(_乃<》(乃)的傅里叶级数展开式为」■+Zcosnx+bnsinnx),贝!I其中系数4的值为.2n=l(4)设数量场u=InJ/+y2+z?,则div(gradw)=.(5)设〃阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为〃-1,则线性方程组AX=O的通解为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)fsinxr - .(1)设/(工)=[sin©力,晨外二丁+工,则当工-0时J(x)是g(x)的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线(x 7C_(D)—£4(cos20)2d。+y2)2=x 7C_(D)—£4(cos20)2d。n n(A)2尸cos20dO (B)4尸cos20d0Jo Jo其 (C)2Jjy/cos2Od0-y土x—1 y-5 z+8..⑶设有直线/,: = = 与¥'1-21x-y=6”则4与2y+z=3/,的夹角为(A)g6©f(B)-4(D)g2(4)设曲线积分⑴-e，］sinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中/(x)具有一阶连续导数，且/(0)=0,则/(x)等于e-e(A=X-Xe-e(B)—ev4-e-Ar[(C)--——1

2fe+e

(D)l———-

2(5)已知Q,P为三阶非零矩阵,且满足PQ=0,则（A）r=6时P的秩必为1 （B）f=6时P的秩必为2（C）f。6时P的秩必为1 （DHH6时P的秩必为2三、（本题共3小题海小题5分，满分15分）2 1（1）求lim（sin—4-cos-）x.18x x⑵求（xedx.JVer-l（3）求微分方程/了+孙二丁,满足初始条件=1的特解四、（本题满分6分）计算II^xzdydz+yzdzdx-z2dxdy,其中E是由曲面z=^x2+y2与z=也-x2_y2所围立体的表面外侧.五'（本题满分7分）求级数£（T"〃~+D的和.n=0 乙六、（本题共2小题,每小题5分满分10分）(1)设在［0,+O0)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)Nk〉0,/(0)<0,证明/(x)在(0,+oo)内有且仅有一个零点.(2)设b>a>e,证明ah>ba.七、(本题满分8分)已知二次型/(%,为2，%3)= +3x；+3x；+2a2x3(xz>0通过正交变换化成标准形/=y；+2及+5代,求参数a及所用的正交变换矩阵.八'(本题满分6分)设A是〃X?”矩阵,B是n?x〃矩阵，其中〃<m,I是〃阶单位矩阵，若AB=I,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体4从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体8从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2也方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题.每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度6(y)=.十一'(本题满分6分)设随机变量X的概率分布密度为/(x)=；€山,-8<x<+oo.(1)求X的数学期望EX和方差DX.(2)求X与凶的协方差，并问X与团是否不相关？(3)问X与|X|是否相互独立?为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)limcot -)=.sinxx(2)曲面z—e'+2盯=3在点(1,2,0)处的切平面方程为(3)设u=e-xsin-,则—在点(2,-)处的值为.yoxcy7r(4)设区域。为x2+y2<R2,则2 2[J(+~r)dxdy= -(5)已知a|Ml,2,3],=□,；,：],设A«p'，其中a'是a的转置,则A"=.

二、选择题(本题共5小题.每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设n• £ £M= ~ycos4xdx,N=［孑(sin3x+cos4x)dx,P=J：(x2sin3x-cos4x)dx,则有(A)N<尸<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N⑵二元函数/(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数<'(七,%)、f'(x0,%)存在是f(x,y)在该点连续的(B)必要条件(D)既非充分(A)(B)必要条件(D)既非充分(C)充分必要条件条件又非必要条件(3)设常数2>0,且级数名屋收敛,则级数£(-1)"/丁“=i n=i n~+A.(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与力有关

(4)lim。由x+如一cosx)=)其中/+c?#0,则必有3。0111(1-2》)+或1-广)(A)b=4d (B)b=-4d(C)a=4c (D)a=-4c(5)已知向量组ajag,3,4线性无关，则向量组(A)afMtaaacuH-3,3+4,4+1线性无关(B)ap«agaowi-3,3-4,4-।线性无关(C)afKtaga(4计3,3+4,4-1线性无关(D)ap«taga(M计3,3-4,4-।线性无关三、(本题共3小题*每小题5分满分15分)x=cos(r2) 2 I—⑴设 ，/1 ,求半、y=tcos(t^)- ——7=cosudu axaxV2的值.(2)将函数/(x)=』In匕土+Larctanx-x展开成x的幕级数.41.~x2⑶求Jdxsin(2x)+2sinx四、(本题满分6分)计算曲面积分JJxdy'+：dxR,其中§是由曲面x2+y2=R2sx+y+z及z=R,z=—R(R>0)两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设/(x)具有二阶连续函数，/(0)=0,/'(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.六'(本题满分8分)设“X)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且1盘—=0,证明级数"当绝对收敛.七、(本题满分6分)已知点A与8的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=O,z=l所围成的立体体积.八'(本题满分8分)设四元线性齐次方程组(I)为41 2 ,-2-％4=0又已知某线性齐次方程组(n)的通解为%(0,1,1,0)+&(-1,2,2,1).(1)求线性方程组(I)的基础解析.(2)问线性方程组(1)和(11)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.九'(本题满分6分)设A为〃阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A'是A的转置矩阵,当A*=A'时，证明|A|hO.十、填空题(本题共2小题,每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上)⑴已知A、8两个事件满足条件尸(A8)=P(而)，且P(A)=p,则P(8)=.(2)设相互独立的两个随机变量x,y具有同一分布率，且x的分布率为X0 1P2 2则随机变量Z=max{X,Y}的分布率为.H■一、(本题满分6分)设随机变量X和y分别服从正态分布N(l,32)和N(0,4。,且1 Vyx与y的相关系数°刀=一；,设z=2+：,(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数Pxz.(3)问x与y是否相互独立?为什么？1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)2lim(l+3x)sinx=.xtO—[xcosrdt= .dxJ*(3)设(axb)c=2,WiJ[(a+b)x(b+c)](c+a)=.⑷'幕级数1―4的收敛半径R=.⑸设三阶方阵A,B满足关系式ABA=6A+BA,且00，贝iJB=.7二、选择题（本题共5小题.每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）——二 x+3y+2z+l=0 —（1）设有直〈线L-. .s°八，及平面_ 2x-y-10z+3=0乃：4x-2y+z-2=0,则直线L（A）平行于乃 （B）在乃上（C）垂直于乃 （D）与；r斜交（2）设在［0,1］上_T（x）＞0,则—（0）,尸⑴J⑴-1（0）或f（0）—f（1）的大小顺序是（A）/,（i）＞/,（o）＞/（i）-/（o）（B）r（i）＞/（i）-/（o）＞/,（o）（c）/（i）-/（o）＞/,（i）＞r（o）（D）r⑴＞/（o）-/⑴＞八0）(3)设f(x)可导,F(x)=/(x)(l+|sinx|),则/(0)=0是F(x)在x=0处可导的(A)充分必要条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件条件又非必要条件(4)设〃“=(-l)nln(1H—t=),则级数yjn00 00(A)Z〃"与都收敛n=l n=l都发散n=l00 00(c)z〃“收敛，而Zd发散n=l n=l敛，而发散n=\(5)。12 。13 a\\。12。13A—,B—。23，R^^31^^32^^33 ^^31^^32^^33(B)充分条件(D)既非充分00(B)“与n=l0C①)X«n收/»=!设-010~\ 「100=100,P2=010001J [101则必有AP,P2=B(b)ap2p,=b(C)P|P?A=B(D)P2P,A=B三、(本题共2小题海小题5分.满分10分)⑴设〃=/(x,y,z),Q(x\e',z)=0,y=sinx,其中f尹都具有一阶连续偏导数，且包H0.求生.dzdx(2)设函数/(x)在区间［0,1］上连续，并设\'f(x)dx=Ay求\'Qdx\'f(x)f(y)dy.四、(本题共2小题,每小题6分，满分12分)⑴计算曲面积分0、zds,其中Z为锥面z=J-+y2在柱体x2+y2<2x内的部分.⑵将函数/(%)=x-l(0<x<2)展开成周期为4的余弦函数.五'(本题满分7分)设曲线L位于平面X。)，的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A已知|而|彳，且L过点求L的方程.六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分£2xydx+Q[x,y)dy与路径无关，并且对任意，恒有J2xydx+Q(x,y)dy=J()(2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).七、(本题满分8分)假设函数/(x)和g(x)在[〃,句上存在二阶导数，并且g"(x)*o,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：⑴在开区间(a,b)内g(x)wO.(2)在开区间(a,b)内至少存在一点,使/④=1卢.g《)g(J)八'(本题满分7分)设三阶实对称矩阵a的特征值为4=-1，4=4=1,对应于4的特征向的特征向量为当九、(本题满分6分)设A为〃阶矩阵，满足AA'=1(1是〃阶单位矩阵，A'是A的转置矩阵),|A|<0,求|A+I|.十、填空题(本题共2小题,每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=.(2)设X和丫为两个随机变量，且3 4>0,F>0}=y,P{X>0}=P{r>0}=y,则P{max(X,r)>0}=.十一'（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为fx（x）=e-xx>00x<0求随机变量y=e*的概率密度4（y）.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)r4-2〃⑴设 =8,则a=.I，x-a(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为.(3)微分方程/-2y'+2y=e*的通解为.(4)函数〃=ln(x+V/+z2)在点41,0,1)处沿点4指向点8(3,-2,2)方向的方向导数为.'102'(5)设A是4x3矩阵，且A的秩「。)=2,而8=020,则-103r(AB)=.

二、选择题(本题共5小题.每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)己知(1)己知 —~产上为某函数的全微分,a则等于(x+y)(B)0(D)2(B)0(D)2(C)l(A)/(O)是/(x)的极大值/(O)是/(x)的极小值(0(0,/(O))是曲线y=f(x)的拐点(D)/(0)不是f(x)的极值,(0J(0))也不是曲线y=f(x)的拐(3)设4>0(〃=1,2,…)，且Z。“收敛，常数；Ie(0,°),则级数£(-1)"(〃tan-)a2n

,/(0)=0,/'(0)¥0,尸(幻=］；，—/)/(。力，且当X-0时,F\x)与X*是同阶无穷小，则k等于(A)l(B)2(C)3(D)4q00仇0为40(5)四阶行列式2 2的值等于0%40400%连续的导数(A)绝对收敛(。发散力有关(4)(A)绝对收敛(。发散力有关(4)设有f(x)(B)条件收敛(D)散敛性与qa2a3a4+t>M2b3b4(/a2一"外)(a3a4-44)(D)(a2a3-b2b3)(。N4一匕也)三、(本题共2小题,每小题5分满分10分)⑴求心形线r=tz(l+cos。)的全长，其中a>0是常数.(2)设演=10,x“+1=，6+%(〃=1,2/一),试证数列｛》“｝极限存在,并求此极限.四、体题共2小题,每小题6分满分12分)(1)计算曲面积分,(2尤+z)dydz+zdxdy,其中S为有向曲面SZ=X2+y2(0WxW1),其法向量与Z轴正向的夹角为锐角.u=x-2y 8^z d^zz.(2)设变换［ ，可把方程6*+3--*=0简化为」=x+ay dxdxdydyd2zJ-=0,求常数a.dudv五、(本题满分7分)求级数—的和.士(〃2-1)2"六'(本题满分7分)设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(xJ(x))处的切线在y轴上1.x的截距等于一「/«)力,求/(X)的一般表达式.XJo七、(本题满分8分)设f(x)在［0,1］上具有二阶导数，且满足条件|/(x)|<a,\f\x)\<仇其中a力都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证叫八c)|42a+g.八、(本题满分6分)设A=I茕7,其中I是〃阶单位矩阵七是〃维非零列向量是g的转置.证明(da2=a的充分条件是gg=1.⑵当生=1时，a是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已 知 二 次 型f(xvx2,x3)=5x；+5x；+cx；-2x1x2+6%^3—6x^x3的秩为2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程/(x,,x2,x3)=1表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和8的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是.(2)设虞〃是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(3)2)的随机变量，则随机变量后-引的数学期望E(忸|)=.十一'(本题满分6分)设虞〃是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知J的分布率为P(J== =1,2,3.3又设X=max(J,〃),y=min(g,〃).(1)写出二维随机变量的分布率:123123(2)求随机变量X的数学期望E(X).1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)3sinx+x2cos—TOC\o"1-5"\h\z(l)lim -= .(1+cosx)ln(l+x)8 00(2)设暴级数X。/"的收敛半径为3,则基级数Z〃氏。-1)向

n=l n=l的收敛区间为.n(3)对数螺线夕=e"在点(p,。)=(”,1)处切线的直角坐标方程为.12-2(4)设A=4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O,则3-11(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球,30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是二,选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数/(x,y)={x2+y2，- '，在点(0,0)处、0 (x,y)=(0,0)(A)连续，偏导数存在 (B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在 (D)连续，偏导数不存在(2)设在区间［a,b］上f(x)>0J'(x)<0,/"(x)>0令$=J：f(x)d=f(b)(b-a),S3= +f(b)］(b-a),则(A)s,<s2<s3(B)S2<S,<53(c)s3<s,<s2(D)S2<53<5j

(B)为负常数⑶设F(x)=Jes,n,sintdt,则F(x)(A)(B)为负常数(C)恒为零(C)恒为零(D)不为常数qa2，2=b2，3=C2,则三条直线ai._瓦_一。3_(4)设叩食aix+bly+cl=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0(其中a；+b：x0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是(A)afta2,3线性相关 (B)apa2,3线性无关(C)秩"aaa2,3)=秩r(ap2) (D)apa2,3线性相关,ap2线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是(A)8 (B)16(C)28 (D)44三'(本题共3小题,每小题5分满分15分)(1)计算/=小(/+/)公,其中。为平面曲线F?=2z绕％轴TOC\o"1-5"\h\z吧 卜=0旋转一周所成的曲面与平面z=8所围成的区域.(2)计算曲线积分J(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中c是.C V1*24- =1曲线“-从Z轴正向往Z轴负向看C的方向是顺时针的.x-y+z=2(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N,在『=0时刻已掌握新技术的人数为%,在任意时刻，已掌握新技术的人数为x(O(将x(f)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数A>0,求x(t).四、体题共2小题，第(1)小题6分，第⑵小题7分满分13分)(1)设直线' 在平面乃上，而平面乃与曲面x+ay-z-3=0=/+/相切于点(1,_2,5),求。,方之值.⑵设函数/(w)具有二阶连续导数，而Z=/(e'siny)满足方程d2zd2z2*+,/、TT+—=ez,求/(〃).dxdy五'(本题满分6分)设/(x)连续，e(x)=1/(xr)力，且lim"D=4(4为常数)，求Jo xtOv°’(x)并讨论d(x)在x=0处的连续性.六'(本题满分8分)设q=0,4+1=1(。“+’~)(〃=1,2/..),证明2 «„⑴lima〃存在.(2)级数 -1)收敛."T°"+1七'(本题共2小题第⑴小题5分第⑵小题6分满分11分)(1)设B是秩为2的5x4矩阵,ap®[l,l,2,3]r,2=[-l,l,4,-l]r,3=[5,-1,—8,9『是齐次线性方程组B.r=0的解向量，求Bx=O的解空间的一个标准正交基.■1"-2-12'（2）已知g=1是矩阵A=5a3的••个特征向量-1b-21）试确定a力参数及特征向量自所对应的特征值.2）问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A是〃阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.（1）证明B可逆.（2）求ABL九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是*.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为（e+Mo<xfi"）一。其它I其中。＞-1是未知参数，X1,X2,…,X"是来自总体X的一个容量为”的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求。的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)Jl+x+Jl-x-2(1)lim ； = .1。 X2(2)设z=-f(xy)+y(p(x+y),具有二阶连续导数，则x於二dxdy2 2(3)设/为椭圆、+匕=1,其周长记为凡则f(2xy+3x2+4y2)ds=.L(4)设A为〃阶矩阵，|A|w0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵,若A有特征值尢则(A)+E必有特征值 .r一， 1 一， 、,(5)设平面区域。由曲线y=—及直线y=0,x=l,x=e~所围成,x二维随机变量(x,y)在区域。上服从均匀分布，则(x,y)关于x的边缘概率密度在x=2处的值为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设/(X)连续，则-^-^tf(x2-t2)dt=(A.)xf(x2) (B)-xf(x2)(C)2xf(x2)(D)-2xf(x2)(2)函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是(A)3 (B)2(C)l (D)0(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=+a,且当l+xAx->0时，a是Ax的高阶无穷小,y(0)=n厕y(l)等于(B)乃(A)2万(B)乃(C)e4(C)e4(4)设矩阵(D)^e4a2b2a3b3是满秩的，则直线上®=2也=三义,与直线生-b2(B)重合(D)(B)重合(D)异面(C)平行但不重合(5)设A,8是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>O,P(BIA)=P(BIA),则必有(A)P(AIB)=P(AIB)(B)P(4IB)wP(XlB)P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)三'(本题满分5分)求直线/:『=；=三；在平面万：为一丁+27-1=0上的投影直线的方程，并求绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数和使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2)xi-x2(x4+y2Yj为某二元函数”(x,y)的梯度，并求"(x,y).五'(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度丫之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为ni,体积为8,海水密度为夕，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k〉0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v).

六、（本题满分7分）计算口丝华士与里誓其中Z为下半平面V（X2+/+Z2），/2z=-yla2-x2-y2的上侧,a为大于零的常数..乃.2兀

sin—sin—.乃.2兀

sin—sin—

求lim———+ %+-・・is〃+1 1nH—2〃+一n_八、（本题满分5分）00设正向数列｛《,｝单调减少，且发散，试问级数n-\£（‘一）"是否收敛?并说明理由.„=i4+1九、（本题满分6分）设y=/（x）是区间10,1］上的任一非负连续函数.⑴试证存在X。e（0,1）,使得在区间［0,x0］上以/（%）为高的矩形面积，等于在区间［%［］上以y=/(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设/(x)在区间(0,1)内可导，且八支)＞一组立,证明(1)中x的X。是唯一的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程+32+z?+2bxy+2xz+2yz=4可以经一/一夕过正交变换y=P〃化为椭圆柱面方程+4产=4,求q/的值和正交矩阵P.十一、(本题满分4分)设A是〃阶矩阵，若存在正整数出,使线性方程组Nx=0有解向量a,且AEiH.证明:向量组aAaAa、是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知方程组

am+a12x2+•••am+a12x2+•••“M"=°+。2.2"%=°I) ■ ■, <喉+*2+一.的一个基础解析为3||,仇2,…，4,2"）,（%也2,…,％2»），…，（”"1也2,…也,2”）.试写出线性方程组如M+比必+…fb⑵为“=02y2+…t2y2+…tbn.2nyin=0的通解，并说明理由.十三'（本题满分6分）设两个随机变量x,y相互独立，且都服从均值为。、方差为-的正态分布，求随机变量|x-y\的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N（3.4,62）中抽取容量为〃的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量〃至少应取多大？附:标准正态分布表①(x)=f-J=e-ydtJrJ2万Z1.281.6451.962.33①（X）0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:f分布表P[t(n)<tp(n)]=p0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)lim(—T- )=.xxtanx(2)—fsin(x-r)26fr= .drJo(3)y"-4y=e"r的通解为y=.(4)设〃阶矩阵A的元素全为1,则A的〃个特征值是(5)设两两相互独立的三事件和C满足条件:ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<p且已知P(AUBUC)=2，则P(4)=.16二'选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设/(X)是连续函数，尸(X)是/(X)的原函数厕

(A)当/(x)是奇函数时，尸(x)必是偶函数 (B)当/(x)是偶函数时，/(x)必是奇函数(C)当/(x)是周期函数时，/(x)必是周期函数 (D)当/(%)是单调增函数时，尸(x)必是单调增函数(1-(1-cosXVX2g(x)x=0处(A)极限不存在但不连续(C)连续，但不可导(3)，其中g(x)是有界函数，则/(X)在x<0(B)极限存在,(D)可导设x0<x<1/(X)=<cc15。)=§+三%

Zn=\COSnTTX,5。)=§+三%

Zn=\COSnTTX,—00<X<4-00,ri 5其中。〃=21f(x)cosn/rxdx(〃=0,1,2,・・・),则S(——)等于Jo 2TOC\o"1-5"\h\z1 1(A)— (B)--2 23 3(C)- (D)--4 4(4)设A是mx及矩阵,B是〃xm矩阵则(A)当m>〃时，必有行列式IABlw0 (B)当时，必有行列式IAB1=0(C)当〃 时，必有行列式IABI#0 (D)当〃>加时，必有行列式IAB1=0(5)设两个相互独立的随机变量X和丫分别服从正态分布N(0,l)和则(A)尸{X+Y40}=；(B)?{x+ywi}=；(c)p{x-r<0}=^(D)P[X-Y<\]=^三、(本题满分6分)设y=y(x),z=z(x)是由方程z=a/(x+y)和尸(x,y,z)=0所确定的函数，其中/和尸分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,pdz求一・dx四、(本题满分5分)求/=J(evsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy.其中a,b为正的常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=^ax-x1到点。(0,0)的弧.五'(本题满分6分)设函数y(x)(x20)二阶可导且y(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为4,区间［0,幻上以y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S”并设2号-$2恒为1，求曲线y=y(x)

的方程.六'(本题满分7分)论证:当x>OBt,(x2-l)lnx>(x-1)2.七、（本题满分6分）为清除井底的淤泥，用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口（见图）.已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/S的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明:①INxlm=lJm,N,s,J分别表示米,牛，秒，焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.）八'（本题满分7分）设S为椭球面］+'+z2=1的上半部分，点P（x,y,z）eS7为S在点P处的切平面，.(x,y,Z)为点。(0,0,0)到平面71的距离，求ff---dS.72(x,y,z)九、(本题满分7分)JT设q=卜tan"xdx:"Jo(1)求W(q“+q,+2)的值.n=l〃(2)试证:对任意的常数4>o,级数£2收敛.，1n十、(本题满分8分)a-Ic设矩阵A=5b3，其行列式IA1=—1,又A的伴随矩1—c0—a阵A*有一个特征值4，属于4的一个特征向量为a= 求a,b,c和4的值.十一、（本题满分6分）设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mx〃实矩阵,B7为B的转置矩阵，试证BrAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B）=n.十二、（本题满分8分）设随机变量x与y相互独立，下表列出了二维随机变量（x,y）联合分布率及关于x和关于y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.%y3P（X=苍）=Pi.8x218p（y=yi）=p.jJ_61十三'（本题满分6分）设X的概率密度为6x—7(^-X)Q<X<0 , 」A/(幻="3' ,X],X2，・・・,X〃是取自总体X的简单0其它随机样本⑴求。的矩估计量无(2)求。的方差D(0).2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)£42x-x1dx=.(2)曲面*2+2/+3?=21在点(1,-2,-2的法线方程为(3)微分方程x/+3/=0的通解为.12⑷已知方程组231a(5)设两个相互独立的事件4和8都不发生的概率为』，A发生8不发生的概率与8发生A不发生的概率相等，则P(A)= .二、选择题(本题共5小题海小题3分篇分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设/(X)、g(x)是恒大于零的可导函数，且/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,则当a<x<b时，有(A)/(x)gS)>FQ)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)(2)设S:x2+y2+z2=a2(z>0),S,为S在第一卦限中的部分，则有(A)jjxdS=4jjxdSTOC\o"1-5"\h\zS S|(B)腿=叫xdSs s,(C).dS=4jjxdS5 S)(D)jjxyzdS=4xyzdSS Sj(3)设级数收敛，则必收敛的级数为n=ln=l 〃 n=l8(OZ(“21-"2〃)n=l□D(D)Z(""+K)”=1(4)设〃维列向量组afx…，，”(〃?<〃)线性无关，则〃维列向量组0口…，“，线性无关的充分必要条件为(A)向量组叫1…，，”可由向量组口口…，”，线性表示(B)向量组「口…，”,可由向量组a«…，，”线性表示(。向量组ap…，M与向量组P口…，”等价(D)矩阵Aou(1,…，〃,)与矩阵BP§(Q等价⑸设二维随机变量(X1)服从二维正态分布，则随机变量g=x+y与？=x-y不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(K)(B)£(X2)-[£(X)]2=£(r2)-[E(K)]2(C)E(X2)=E(y2)(d)£(x2)+[e(x)]2=£(r2)+[£(y)]2三、(本题满分6分)I/2+e"sinx、求hm( 丁+丁厂)・Z8.- X+ex 11四、(本题满分5分)设z=f(xy,-)+g(~)，其中,具有二阶连续偏导数，g具有二yy阶连续导数，求匹.dxdy五、(本题满分6分)计算曲线积分/=f"汽二yf,其中l是以点(1,0)为中心，中九4x+y2为半径的圆周(R>1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间尤>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有||xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数/(x)在(0,+8)内具有连续的一阶导数，且lim/(x)=l,求/(x).xt0+七、(本题满分6分)8 1Yn求基级数>——-——土的收敛区间，并讨论该区间端点处的23"+(—2)"〃收敛性.八'(本题满分7分)设有一半径为R的球体，片是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到外距离的平方成正比(比例常数k>0),求球体

的重心位置.九、(本题满分6分)设函数/(x)在[0,乃]上连续，且f(x)dx=0,「/(x)cosxdx=0.试证:在(0,乃)内至少存在两个不JO J0同的点&12,使f(<)=JC2)=。十、(本题满分6十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵人1000010010100-308ABA-=BA-1+3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.H"一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将L熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.62新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有-成为熟练工.设第〃年51月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x”和记成向量(1)求%n+,与I"的关系式并写成矩阵形(2)验证n脂 ，2=是a的两个线性无关的特征向量，并\1、1,求出相应的特征值.十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(O<p<l),各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).十三、（本题满分6分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为fZe'a"）x>0/（无;6）=（ 八，其中。>0为未知参数・又设%,12，・・・，天[0 x<0是x的一组样本观测值,求参数e的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y=ex(asinx+/?cosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.(2)r=yjx2+y2+z2，则div(gradr)|(l_22)=.(3)交换二次积分的积分次序：f(x,y)dx=(4)设A2+A-4E=O厕(A-2E)-1=.(5)D(X)=2，则根据车贝晓夫不等式有估计P{|X-£(X)|>2}<.二'选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数/(外在定义域内可导,y=/(x)的图形如右图所示，则y=7'(x)的图形为(B)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义，且/；(0,0)=3,f：(0,0)=1则(A)dzl(00)=3dx+dy(B)曲面z=在(0,0J(0,0))处的法向量为{3,1,1}(C)曲线4-J在(0,0J(0,0))处的切向量为{1,0,3}y=0V.，"Zy)(D)曲线4~J 在(0,0,/(0,0))处的切向量为{3,0,1}、y=0lim⑶设/(0)=0则“X)在x=0处可导。，八，• /(I-cos/l)—升(A)hm—_；——-存在2。h川-r)存在*->oh小、1./(/z-sin/i)/人(C)hm——-——-存在dh2①)碗细“»存在/i->oh(4)设aJ11Lb1111Jill,(A)合同且相似相似(C)不合同但相似不相似(B)4000、°°°°厕A与B00000000,(B)合同但不(D)不合同且(5)将一枚硬币重复掷〃次，以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y相关系数为(A)-l(B)0(D)l三、(本题满分6分),,rarctane”,

求J ——dx.四、（本题满分6分）设函数z=f（x,y）在点（1,1）可微，且/(1,1)=1,/；(1,1)=2,/；(1,1)=3,奴x)=/(xj(x,x)),求五'（本题满分8分）ri+x2设/（x）=^"ctanx 将/（幻展开成、的幕级数，并11 x=0求£上受的和.占1-4〃2六、(本题满分7分)计算/=J(y2-z2a+(23一/)玲+(3/一,2)成，其中L是平面》+丁+%=2与柱面国+|乂=1的交线,从2轴正向看去，么为逆时针方向.七'(本题满分7分)设/(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且/"(x)#0.证明：(1)对于Vxw(-1,0)u(0,1)，存在惟一的6(x)e(0,1),使/(x)=/(0)+xf,(6>(x)x)成立.(2)lim^(x)=0.5.xtO八'(本题满分8分)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z=〃(t)-冬(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体h(t)积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？九、(本题满分6分)设apa2,-,5为线性方程组AX=O的一个基础解系，PfiaPpcjifkea2,2=tx2+t2s=tts+t2p其中为实常数，试问满足什么条件时0即2,…，3也为AX=O的一个基础解系？十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关，且满足A?x=3Ax-2A2x.⑴记P=(x,Ax,A、),求B使A=PBP(2)计算行列式|A