高考数学一轮复习数学归纳法(理)课件

第七节数学归纳法（理）第七节数学归纳法（理）高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件一、数学归纳法的适用对象数学归纳法是用来证明关于与

有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是

．正整数n使命题成立的最小正整数一、数学归纳法的适用对象正整数n二、数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：1．当n＝

时，验证命题成立；2．假设n＝

时命题成立，推证n＝

时命题也成立，从而推出命题对所有的

命题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不可．k＋1从n0开始的正整数nn0(n0∈N*)k(k≥n0，k∈N*)二、数学归纳法的步骤k＋1从n0开始的正整数nn0(n0∈N数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.

数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体1.数学归纳法适用于证明什么类型的命题(

)A.已知⇒结论B.结论⇒已知C.直接证明比较困难D.与正整数有关答案：D1.数学归纳法适用于证明什么类型的命题2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(

)A.1B.2C.3D.0解析：边数最小的凸多边形是三角形.答案：C2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3.已知f(n)＝，则(

)A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝

D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D3.已知f(n)＝4.观察下列不等式：1＞由此猜测第n个不等式为

(n∈N*).4.观察下列不等式：1＞解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：答案：1+解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，答案：1+5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋

.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件1.用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其

关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两

边各有多少项，初始n0是多少.2.由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利

用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的

步骤，从而使问题得以证明.1.用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其设f(n)＝1+求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).设f(n)＝1+按数学归纳法的步骤进行证明即可.按数学归纳法的步骤进行证明即可.【证明】

(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2[1＋－1]＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，【证明】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)1.用数学归纳法证明22＋42＋62＋…＋(2n)2＝

(n＋1)(2n＋1).1.用数学归纳法证明证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝×1×2×3＝4，∴左边＝右边，即n＝1时，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即22＋42＋62＋…＋(2k)2＝k(k＋1)(2k＋1)，那么当n＝k＋1时，证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝×22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2＝(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，即n＝k＋1时，等式成立.由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.【证明】

(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，即命题成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即则当n＝k＋1时，【证明】(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式即n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.

又1+

2.设数列{an}满足an＋1＝－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通

项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.2.设数列{an}满足an＋1＝－nan＋1，n解：(1)由a1＝2，得a2＝－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝－3a3＋1＝5，由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1).(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立.②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝－a1＋1＝3，“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式.“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由.

已知等差数列{an}的公(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn－1＝bn求出{bn}的通项公式；(2)首先求出Sn＋1与的表达式，先进行猜想，再进行证明.(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn【解】

(1)由已知得又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.【解】(1)由已知得化简，得bn＝∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，化简，得bn＝∴Sn＋1＝(n＋1)2以下比较与Sn＋1的大小：当n＝1时当n＝2时，当n＝3时，当n＝4时，猜想：n≥4时，＞Sn＋1.∴Sn＋1＝(n＋1)2以下比较与Sn＋1的大小下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证.②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，＞Sk＋1，即＞(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1＞[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，下面用数学归纳法证明：∴n＝k＋1时，＞Sn＋1也成立.由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn＋1成立.综上所述，当n＝1,2,3时，＜Sn＋1，当n≥4时，＞Sn＋1.高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件3.设Sn是数列{}的前n项的和.是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；3.设Sn是数列{}的前n项的和.解：假设存在f(n)，使等式成立.当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)，即1＝f(2)(1＋－1)，解得f(2)＝2.当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，即1＋1＋＝f(3)(1＋－1)，∴f(3)＝3.猜想f(n)＝n(n≥2).解：假设存在f(n)，使等式成立.下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1＋S2＋…＋Sn－1＝n(Sn－1)恒成立.①当n＝2时，由上面计算知，等式成立.②假设n＝k(k≥2)时，等式成立，即S1＋S2＋…＋Sk－1＝k(Sk－1)，下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1＋S2＋…＋Sn－则S1＋S2＋…Sk－1＋Sk＝k(Sk－1)＋Sk＝(k＋1)Sk－k＝(k＋1)(Sk＋1－)－k＝(k＋1)Sk＋1－1－k＝(k＋1)(Sk＋1－1)即n＝k＋1时，等式也成立.由①②知，对一切n≥2，等式都成立.故存在f(n)＝n，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝f(n)(Sn－1)对大于1的正整数n都成立.则S1＋S2＋…Sk－1＋Sk＝k(Sk－1)＋Sk高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一.纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命题，往往与函数、不等式、数列结合命题.2009年安徽卷第21题利用数学归纳法确定参数范围，代表了一种新的命题方向.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法(2009·安徽高考)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝＋3)，n∈N＋.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N＋都有an＋1＞an，求a1的取值范围.(2009·安徽高考)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝[解]

(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数.根据数学归纳法，对任何n∈N＋，an都是奇数.[解](1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数(2)法一：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，an＋1＞an当且仅当an＜1或an＞3.若0＜ak＜1，则0＜ak＋1若ak＞3，则ak＋1＞根据数学归纳法，0＜a1＜1⇔0＜an＜1，∀n∈N＋，a1＞3⇔an＞3，∀n∈N＋.综合所述，对一切n∈N＋都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3.(2)法一：由an＋1－an＝(an－1)(an法二：由a2＝得－4a1＋3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3.因为a1＞0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号.根据数学归纳法，∀n∈N＋，an＋1－an与a2－a1同号.因此，对一切n∈N＋都有an＋1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3.法二：由a2＝本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要存在以下问题.(1)基础知识不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强，本题要解决的是“对一切n≥2”，对一切“n∈N＋”的情况.符合用数学归纳法解题的特征.(2)数学归纳法的解题步骤掌握不好，如解(1)题时没有注明a1是奇数，而这一步是归纳奠基，是应用数学归纳法的前提.(3)不能很好的应用归纳假设，特别是解(1)题时很多考生没能想到令ak＝2m－1，并用m表示出ak＋1.

本题不能算是一道难题，但考生临场发挥的并不理想，主要存在以下第七节数学归纳法（理）第七节数学归纳法（理）高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件一、数学归纳法的适用对象数学归纳法是用来证明关于与

有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是

．正整数n使命题成立的最小正整数一、数学归纳法的适用对象正整数n二、数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：1．当n＝

时，验证命题成立；2．假设n＝

时命题成立，推证n＝

时命题也成立，从而推出命题对所有的

命题成立，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不可．k＋1从n0开始的正整数nn0(n0∈N*)k(k≥n0，k∈N*)二、数学归纳法的步骤k＋1从n0开始的正整数nn0(n0∈N数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.

数学归纳法的两个步骤各有何作用？提示：数学归纳法中两个步骤体1.数学归纳法适用于证明什么类型的命题(

)A.已知⇒结论B.结论⇒已知C.直接证明比较困难D.与正整数有关答案：D1.数学归纳法适用于证明什么类型的命题2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(

)A.1B.2C.3D.0解析：边数最小的凸多边形是三角形.答案：C2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3.已知f(n)＝，则(

)A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝

D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.答案：D3.已知f(n)＝4.观察下列不等式：1＞由此猜测第n个不等式为

(n∈N*).4.观察下列不等式：1＞解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：答案：1+解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，答案：1+5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋

.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件1.用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其

关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两

边各有多少项，初始n0是多少.2.由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利

用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的

步骤，从而使问题得以证明.1.用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其设f(n)＝1+求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).设f(n)＝1+按数学归纳法的步骤进行证明即可.按数学归纳法的步骤进行证明即可.【证明】

(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2[1＋－1]＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，【证明】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)1.用数学归纳法证明22＋42＋62＋…＋(2n)2＝

(n＋1)(2n＋1).1.用数学归纳法证明证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝×1×2×3＝4，∴左边＝右边，即n＝1时，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即22＋42＋62＋…＋(2k)2＝k(k＋1)(2k＋1)，那么当n＝k＋1时，证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝×22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2＝(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]，即n＝k＋1时，等式成立.由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.【证明】

(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，即命题成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即则当n＝k＋1时，【证明】(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式即n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.

又1+

2.设数列{an}满足an＋1＝－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通

项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.2.设数列{an}满足an＋1＝－nan＋1，n解：(1)由a1＝2，得a2＝－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝－3a3＋1＝5，由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1).(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立.②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝－a1＋1＝3，“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式.“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由.

已知等差数列{an}的公(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn－1＝bn求出{bn}的通项公式；(2)首先求出Sn＋1与的表达式，先进行猜想，再进行证明.(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn【解】

(1)由已知得又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.【解】(1)由已知得化简，得bn＝∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，化简，得bn＝∴Sn＋1＝(n＋1)2以下比较与Sn＋1的大小：当n＝1时当n＝2时，当n＝3时，当n＝4时，猜想：n≥4时，＞Sn＋1.∴Sn＋1＝(n＋1)2以下比较与Sn＋1的大小下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证.②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，＞Sk＋1，即＞(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1＞[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，下面用数学归纳法证明：∴n＝k＋1时，＞Sn＋1也成立.由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn＋1成立.综上所述，当n＝1,2,3时，＜Sn＋1，当n≥4时，＞Sn＋1.高考数学一轮复习-数学归纳法(理)课件3.设Sn是数列{}的前n项的和.是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；3.设Sn是数列{}的前n项的和.解：假设存在f(n)，使等式成立.当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)，即1＝f(2)(1＋－1)，解得f(2)＝2.当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，即1＋1＋＝f(3)(1＋－1)，∴f(3)＝3.猜想f(n)＝n(n≥2).解：假设存在f(n)，使等式成立.下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1＋S2＋…＋Sn－1＝n(Sn－1)恒成立.①当n＝2时，由上面计算知，等式成立.②假设n＝k(k≥2)时，等式成立，即S1＋S2＋…＋Sk－1＝k(Sk－1)，下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1＋S2＋…＋Sn－则S1＋S2＋…Sk－1＋Sk＝k(Sk－1)＋Sk＝(k＋1)Sk－k＝(k＋1)(Sk＋1－)－k＝(k＋1)Sk＋1－1－k＝(k＋1)(Sk＋1－