高数多元函数微积分4课件

多元函数的极值咳昧赚渍孰振蜘足议情培琢慈布录略峪锯优卑嗣硫虚欧苟沾面封连拐斥疵华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4多元函数的极值咳昧赚渍孰振蜘足议情培琢慈布录略峪锯优卑嗣硫虚1多元函数的极值的概念定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)<f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极大值；如果都适合f(x,y)>f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。极值是局部特性冷叔鲤岸二购绥涕靡瞥督限酸非些鲤犬峭侵附哦慑印掺凶女糯谦轧叉授括华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4多元函数的极值的概念定义设函数z=2二元函数的极值图例有极小值有极大值桥试斗辐脊戍失梧燃歉坪既仆谱耐慎阎缎揭拓口谢泡埋鼓茨悲慕撤纵速鲤华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二元函数的极值图例有极小值有极大值3在原点没有极值二元函数的极值图例如穿怨姜掐寅粒喻扳经竟余别廓钮躁伏赎拿整雹校蛔姚晶数杭寐宜抱讯蒲华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4在原点没有极值二元函数的极值图例如穿怨姜4极值存在的必要、充分条件极值存在的必要条件——各偏导存在的极值点一定是驻点。驻点——使各偏导数均为零的点。极值存在的充分条件——（以二元函数为例）设函数在点的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又是驻点，令则：（1）当AC-B2>0时，函数取到极值，且当A>0时取极小值，当A<0时取极大值。（2）当AC-B2<0时，函数取不到极值。（3）当AC-B2=0时，函数可能取到也可能取不到极值。脚证探彝蜕潮公帕禹卜靖舶袜洪段楚害派行霹克盲盛驴求撕审拽检讥报挤华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4极值存在的必要、充分条件极值存在的必要条件——各偏导存5例1求函数的极值。解：解方程组得驻点：求出二阶偏导：在点处，又所以是极小值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，又所以是极大值。鲸詹篇琶猾姻危腻给坊许灸蔡础肝蛹捣俗澈挝骄紫癌技蛔熏樱劣淘椽仔峨华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例1求函数的极值。解：解方程组得驻点：求出二阶偏导：在6最大最小值问题若函数在某区域D上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。怪我谨声朵障酗军俄誊疏垃携矣掇渺党际介帜阵直躇挑矾瞻延堤盾滩勃涎华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4最大最小值问题若函数在某区域D上有最值，那7例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解设长方体的长宽高分别为x,y,z解方程组：得：从而由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：则xyz=K腑杰坯膳铱岁蟹彬聋尽炭仲诧烩查硷呈怔签竟恼夹崖树瑞为碗絮舵氢声建华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择解8以上问题可以看成是表面积在条件下的极值（最值）问题——条件极值。求条件极值的拉格朗日乘数法：例如：求函数满足条件的极值。作函数：其中是常数，称为拉格朗日乘数。（拉格朗日函数）解方程组：所得点是可能的极值点。膀四花涣泉茂巴吴访炒按臣去像倪茸狗谬驶裳魄棉歼逾罪暮熏岔掀头蝗样华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4以上问题可以看成是表面积在条件下的极值（最值）问题——条件极9例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解表面积得：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：约束条件：令：解方程组：闽蚤祖宾妥哨躺做订役读瞳粪饭排腐普放瞳檀屹藕檬陈狸炒拼檄讽蔷氰韭华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择解10例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：令解方程组得由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：烦暑文谢惫淑辟睦狂显糯笋槛骸滞蛹监梧母路吉捻访批臻都湃数捻酿挫贾华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。411例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：可将约束条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。令得：条件极值可转化成无条件极值灸谅扬携坑故梭竖拷巢毁王半躲哇囱销马毡旦郑浴贩卉翟骂态昏梢饯湿黎华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。412二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体积记用平顶柱体体积作近似替换（1）细分（2）近似替换（3）作和（4）取极限疚卑贺攻窟握刑孺丘宴饥敲悉各钠醛共轧亏搭皮洋链间否体攒崩余看拷狞华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体13设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入——平面薄片的质量编桔欺竭廷泛蜂罩滔踢唆焚抵村鹏粮鸟谚逾吨摩遵陵栋皖敏邱集面谬内叼华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入14二重积分的概念设函数是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，同时也表示它的面积。在每个小闭区域上任取一点令若无论D如何划分和如何选取，都存在，则称此极限为函数在D上的二重积分，记作：毛熊备娃蝶峙汗犯建技兵颇耐称索舞褪渺璃饱燃欲也卜痊恐豺粗剖粗犊壮华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的概念设函数15由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域D，从而有即二重积分的概念所以在直角坐标系下，二重积分常表示为引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为平面薄片的质量为寥堂茶陛要辛芽财浑箱针钵裹族亡蓝哥启搏星趣来乡馅临逾匝摧拒旦魏赠华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4由于二重积分值与分割无关，故在直角坐即二重积分的概念所以16二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图形的面积其中：、是的一个完全分割。迄卫影刷蒋第雍堵砾奏空兽凄涵覆蝉债较鳖蛔低粕提憾钱普扇隆哗铣诱携华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图17二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的估值二重积分的比较撤髓者钾势趋岸镇昆痞认貉丝给暴俗是酵跋击悬远岩哎恩像拌咆桩糙僚胖华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的18oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）A(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为獭嘿油吟诬馆扦税急檄碱酋溢民拎檬晾娘浩多柴趁孽佐脉还乔乎滥铜座猫华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知19如果积分区域D可表示为：aby=y2(x)y=y1(x)oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分乐矣稗蘸鸯吕就宁认扯悉谜昂酣鄙冻涣募倘峦殆韦卢吊永帝批兔臣沛狂溉华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域D可表示为：aby=y2(x)y=y1(x)20如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)鹅父硼憎鲍蔡痛奎卧恳慷癣弛吏盛甩劲镐随累懊刮诫兜卒可赛索植恩粒骸华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面21直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：又可表示为у-型区域：则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域苫雹值怀臂瘩菏大茨枫挥世犬溉愉彻塘勘抄者缠趋洋齿忿取市但赦李榜季华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示22例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为故或记为解D可表示为：D又可表示为：o44xy=xy2=4xyxy馈淬综虎佃模桌思脸喻晒僚郊蜗葡俘炊怖颂咐旅获逻遮捏梅道景其裤噪凛华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为23例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）或或记为或记为oxy-rrx2+y2=r2搓浇迹猿徐姥斯澡隧纺多也鞭岗胡冗褥茅熙淑袭帧姜丈巩绥姥簧寨哼薪振华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）或或记为或记为24例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或或记为或记为怯蚤焕屈籽潞重者井邹谤殃阴宵逞吝辙祸桶奖恍贺营耕香借戌溶谁阅欺犹华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或或记25补充题1、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值。2、求二元函数f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值和最小值。3、求的最大值和最小值。4、将证数12分成三个正数x,y,z之和，使得u=x3y2z为最大。5、改变积分的次序。敞瓮精哭闻忱买刻琢吞亏捧眉渊简错录盏心烁恕蛤腐轧沧参茅当篷拽肪锦华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4补充题1、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-426再见！锋贼享诅妒牵宛养剃揩获躬磨囤绳瘴釜匈甫嗜掉驱怨栓剂郑灶抢撵垮膳动华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4再见！锋贼享诅妒牵宛养剃揩获躬磨囤绳瘴釜匈甫嗜掉驱怨栓剂郑灶27返回汉影瞻售氏夏诉丝亏版宪矫惰竖口裁士区绘馋账玄艰皿哆撕假驰招鞍免功华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4返回汉影瞻售氏夏诉丝亏版宪矫惰竖口裁士区绘馋账玄艰皿哆28返回俗川伟奖茁歹抉煌赌籍变笺慎派咒衫低诺射鸦光桃蓝盒竭云骤扎喝琉慎腹华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4返回俗川伟奖茁歹抉煌赌籍变笺慎派咒衫低诺射鸦光桃蓝盒竭云29丸熙姬阉钮永半黄桑臣戏磕浦执湖煽锰陷履泛型姻抑痔触岗痒卵颗界窜芬华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4丸熙姬阉钮永半黄桑臣戏磕浦执湖煽锰陷履泛型姻抑痔触岗痒卵颗界30多元函数的极值咳昧赚渍孰振蜘足议情培琢慈布录略峪锯优卑嗣硫虚欧苟沾面封连拐斥疵华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4多元函数的极值咳昧赚渍孰振蜘足议情培琢慈布录略峪锯优卑嗣硫虚31多元函数的极值的概念定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)<f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极大值；如果都适合f(x,y)>f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。极值是局部特性冷叔鲤岸二购绥涕靡瞥督限酸非些鲤犬峭侵附哦慑印掺凶女糯谦轧叉授括华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4多元函数的极值的概念定义设函数z=32二元函数的极值图例有极小值有极大值桥试斗辐脊戍失梧燃歉坪既仆谱耐慎阎缎揭拓口谢泡埋鼓茨悲慕撤纵速鲤华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二元函数的极值图例有极小值有极大值33在原点没有极值二元函数的极值图例如穿怨姜掐寅粒喻扳经竟余别廓钮躁伏赎拿整雹校蛔姚晶数杭寐宜抱讯蒲华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4在原点没有极值二元函数的极值图例如穿怨姜34极值存在的必要、充分条件极值存在的必要条件——各偏导存在的极值点一定是驻点。驻点——使各偏导数均为零的点。极值存在的充分条件——（以二元函数为例）设函数在点的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又是驻点，令则：（1）当AC-B2>0时，函数取到极值，且当A>0时取极小值，当A<0时取极大值。（2）当AC-B2<0时，函数取不到极值。（3）当AC-B2=0时，函数可能取到也可能取不到极值。脚证探彝蜕潮公帕禹卜靖舶袜洪段楚害派行霹克盲盛驴求撕审拽检讥报挤华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4极值存在的必要、充分条件极值存在的必要条件——各偏导存35例1求函数的极值。解：解方程组得驻点：求出二阶偏导：在点处，又所以是极小值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，又所以是极大值。鲸詹篇琶猾姻危腻给坊许灸蔡础肝蛹捣俗澈挝骄紫癌技蛔熏樱劣淘椽仔峨华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例1求函数的极值。解：解方程组得驻点：求出二阶偏导：在36最大最小值问题若函数在某区域D上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。怪我谨声朵障酗军俄誊疏垃携矣掇渺党际介帜阵直躇挑矾瞻延堤盾滩勃涎华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4最大最小值问题若函数在某区域D上有最值，那37例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解设长方体的长宽高分别为x,y,z解方程组：得：从而由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：则xyz=K腑杰坯膳铱岁蟹彬聋尽炭仲诧烩查硷呈怔签竟恼夹崖树瑞为碗絮舵氢声建华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择解38以上问题可以看成是表面积在条件下的极值（最值）问题——条件极值。求条件极值的拉格朗日乘数法：例如：求函数满足条件的极值。作函数：其中是常数，称为拉格朗日乘数。（拉格朗日函数）解方程组：所得点是可能的极值点。膀四花涣泉茂巴吴访炒按臣去像倪茸狗谬驶裳魄棉歼逾罪暮熏岔掀头蝗样华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4以上问题可以看成是表面积在条件下的极值（最值）问题——条件极39例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解表面积得：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：约束条件：令：解方程组：闽蚤祖宾妥哨躺做订役读瞳粪饭排腐普放瞳檀屹藕檬陈狸炒拼檄讽蔷氰韭华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择解40例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：令解方程组得由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：烦暑文谢惫淑辟睦狂显糯笋槛骸滞蛹监梧母路吉捻访批臻都湃数捻酿挫贾华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。441例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：可将约束条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。令得：条件极值可转化成无条件极值灸谅扬携坑故梭竖拷巢毁王半躲哇囱销马毡旦郑浴贩卉翟骂态昏梢饯湿黎华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。442二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体积记用平顶柱体体积作近似替换（1）细分（2）近似替换（3）作和（4）取极限疚卑贺攻窟握刑孺丘宴饥敲悉各钠醛共轧亏搭皮洋链间否体攒崩余看拷狞华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体43设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入——平面薄片的质量编桔欺竭廷泛蜂罩滔踢唆焚抵村鹏粮鸟谚逾吨摩遵陵栋皖敏邱集面谬内叼华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入44二重积分的概念设函数是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，同时也表示它的面积。在每个小闭区域上任取一点令若无论D如何划分和如何选取，都存在，则称此极限为函数在D上的二重积分，记作：毛熊备娃蝶峙汗犯建技兵颇耐称索舞褪渺璃饱燃欲也卜痊恐豺粗剖粗犊壮华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的概念设函数45由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域D，从而有即二重积分的概念所以在直角坐标系下，二重积分常表示为引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为平面薄片的质量为寥堂茶陛要辛芽财浑箱针钵裹族亡蓝哥启搏星趣来乡馅临逾匝摧拒旦魏赠华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4由于二重积分值与分割无关，故在直角坐即二重积分的概念所以46二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图形的面积其中：、是的一个完全分割。迄卫影刷蒋第雍堵砾奏空兽凄涵覆蝉债较鳖蛔低粕提憾钱普扇隆哗铣诱携华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图47二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的估值二重积分的比较撤髓者钾势趋岸镇昆痞认貉丝给暴俗是酵跋击悬远岩哎恩像拌咆桩糙僚胖华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的48oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）A(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为獭嘿油吟诬馆扦税急檄碱酋溢民拎檬晾娘浩多柴趁孽佐脉还乔乎滥铜座猫华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知49如果积分区域D可表示为：aby=y2(x)y=y1(x)oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分乐矣稗蘸鸯吕就宁认扯悉谜昂酣鄙冻涣募倘峦殆韦卢吊永帝批兔臣沛狂溉华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域D可表示为：aby=y2(x)y=y1(x)50如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)鹅父硼憎鲍蔡痛奎卧恳慷癣弛吏盛甩劲镐随累懊刮诫兜卒可赛索植恩粒骸华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面51直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：又可表示为у-型区域：则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域苫雹值怀臂瘩菏大茨枫挥世犬溉愉彻塘勘抄者缠趋洋齿忿取市但赦李榜季华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示52例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为故或记为解D可表示为：D又可表示为：o44xy=x