考研高数讲义高数第七章上课资料

第七章常微分方程第一节基本概念微分方程:含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程阶：未知函数导函数的最高阶数称为该微分方程的阶常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程〃阶方程的一般形式为方（招必/,…,,5））二0①标准形式为,⑺=/（占必，,…,②解：若函数y=9(*)代入①或②，使之成为恒等式,则称函数y=夕(%)为微分方程①或②的解通解：如果解的表达式含有个数与方程阶数相等的独立常数，则称其为通解或一般解特解：如果解的表达式中不含有独立常数，则称其为特解初始条件：可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件。最常见的定解条件是初始条件。雇介方程①或②的初始条件一般为yX=xo x=x0 1)X=3其中"o，k。,kxi ，左”_1是事先给定的。初值问题：〃阶方程和它的初始条件组成一个定解问题：<称为雇介微分方程的初值问题O第二节一阶微分方程的解法一、变量可分离方程形式：?=g(x)/(y).ax解法：两边同除以/(y),将变量分离，再求积分—=fg(x)dxJf(y)J【例1】（94二）微分方程ydx+（，-4%）办=0的通解为.【答案】（X—4）y4=Cr（C为任意常数）【例2】(06--)微分方程旷二型二切的通解X是・【答案】y=Cxer(C为任意常数).二、齐次微分方程形式：半dx形式：半dxyf=u+xuduyf=u+xudu=u+x—dxduu-f(u)角星法：令〃则y=xdu-u+x——=f(u)=>dx=虫（变量可分离方程）[例3](93-)求微分方程，y'+孙=/满足初始条件y⑴=1的特解.【答案】y-2x=Cx2y【例4】（87二）求微分方程”半=x-y满足条件axyG历）=0的特解.FG. X1【答案】y= 2x三、一阶线性微分方程形式：/+p(x)y=q(x)通解公式：y=e-iP(x)Axdx+C，其中C是任意常数，不定积分只选一个原函数。【例5】(90—)求微分方程xInMfy+(y-Inx)dx=0满足条件y|『二l的特解•【答案】g(lnx【答案】g(lnx+1

Inx【例6】(92-)微分方程y'+^^口工二^^^的通解为y=.【答案】(x+C)cosx1＞伯努利(BernoulIi)方程(数一)形式：y+p(x)y=q(x)yn(nW0,1)解法：令2=)~,方程两边同乘解法：令2=)~,方程两边同乘(1-〃)如",化为一阶线性方程/+(1-〃)p(x)z=q(%)即可求出通解o【例7】求微分方程3孙'一y—3盯“nx=O的通解3 3C【答案】-=--xlnx+-x^—y32 4x【例8】【答案】y-2=X2+1+Cex2解方程坐+孙ay33=xy第三节可降阶的微分方程（数一、二）一、类型一形式：j（n）=/（X）解法：进行〃次积分，得到=J•••J/(x)Jx---dx+Qx"-1+C2xn-2+•••+€„L — /〃次【例1】求y"=(x+l)e"的通解。【答案】y(x)=(x+3)ex+Ctx4-C2二、类型二形式：/〃=〃*,，)(不显含,)解法:令°=，，则p'=y",原方程化为p'=/(%,p)求解【例2】(07-)求微分方程)“(％+"2)=3/满足初始条件WD=/(I)=1的特解.21【答案】y=-x2+-3ZZ 不开J二形式：y"=/(y,V)(不显含%)解法：令p=y,则尸?p,原方程化为ay知=求解【例3】(02--)微分方程与〃+/=o满足初始1条件九。=1,九一。二的特解是-【答案】y=Jx+1第四节高阶线性微分方程一、线性微分方程解的性质及解的结构定理设方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ①y"+p(x)y+^(x)j=O ②⑴若%(%),%(%)是齐次方程②的特解，则。1%(工)+。2%(%)仍是齐次方程②的解.⑵若%(x),%(%)是非齐次方程①的特解，则%(x)-%(X)是齐次方程②的解.⑶若%（%）是非齐次方程①的特解，%（“）是齐次方程②的解，则%（工）+%（工）是非齐次方程①的解.⑷若为（%）,典（*）是齐次方程②的两个线性无关解（即42。常数），7*（”）是非齐次方程①的特I%⑴ ）解，则齐次方程②的通解为6%（工）+。2%（“）；非齐次方程①的通解为g外（“）+。272（%）+y'（%）Q(5)(叠加原理)设%(%)与%(%)分别是方程y'+p(x)y+q(x)y=f1(x)与y"+0(%)_/+q(x)y=/2(")的特解，则G%(x)+c2y2(“)是方程,"+0(％)/'+q(x)y=，/(%)+。2£(%)的特解•注：上述结论对于〃阶线性方程y(n)+%(x)，"T)+…+an_^x)y+an(x)y=f(x)③及其对应的齐次方程y(n)+ +…+an_^x)y+«n(x)j=O④仍然成立.【例1】(06H)设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)与两个不同的解％(x),j2(x),C为任意常数，则该方程的通解是()(A)C[jx(x)-j2(x)] (B)月(工)+。[%(%)一典⑴](C)C[jx(x)+j2(x)](D)j1(x)+C[j1(x)+j2(x)]【答案】(B)【例2】(89-)设线性无关的函数外都是二阶非齐次线性方程y〃+pa)y'+q(%)y="X)的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A)+%(B)3]+。2%-(3+。2)%C.y.+c2y2-(1-G-c2)yyQJi+C2y2+(1-G-C2)j3.【答案】(D)二、二阶常系数线性微分方程形式：Z+py'+qy=f(x) ①解法：(-)先解对应齐次方程的通解y0(%)：

形式：y"+pyf+qy=O ②步骤：特征方程：22+pA+q=Q③⑴若特征方程有相异实根4,4,则通解为⑵若特征方程有重根%则通解为⑶若特征方程有共轲复根。±3(夕W0),则通解为【例3】(96-)微分方程y〃+2y'+5y=0的通解为.【答案】y(x)=e~x(C]cos2x+C2sin2x)【例4】(94H)设函数片=/(%)满足条件[，"+4y'+4y=0[j(0)=2,/(0)=-4,【答案】1求广义积分J7y(x)dx.【例5】(01—)设y=ex(ctsinx+c2cosx)(力/为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.［答案】y,-2y+2y=0(-)根据非齐次项/(")的形式再求①的一个特解(1)/(x)=P"(x),其中p“(x)为X的〃次多项式(下同).［纥(%),0不是特征方程的根设特解形式为卜4(%),0是特征方程的单根x2Rn(x),0是特征方程的重根其中4(%)为待定的”的〃次多项式；⑵f(x)=pn(x)eax设特解形式为\RnMeax,a不是特征方程的根y=\xRn^eax,。是特征方程的单根x2Rn(x)eax,。是特征方程的重根、其中此(%)为待定的”的〃次多项式；【例6】(90-)求微分方程＜+4，+今=03的通解（一般解）.【答案】©+。2柳~2、33小【例7】（92—）求微分方程y+2y—3丁二1”的通解.【答案】Cg'+C/Tx—；xe-3.【例8】(96-)微分方程＜-2，+2y 的通解为 【答案】e"（Gcosx+。2sinx）+ex【例9】(87-)求微分方程＜+2旷+7=%优的通解.【答案】（。1+。2制6-*+；（工-1）短/(x)=A0sin尸工或30cos/工设特解形式为*_[Acos夕x+Ksin/x,±，笈不是特征方程的根'[x(Acos^x+Bsin^x),±，夕是特征方程的根其中为待定常数./(x)=0〃(%)**也，%或%(%)浮飞05，%设特解形式为*feax(Rn(x)cosjffx+Qn(x)sina+场不是特征方程的根v=〈[%(*(凡(X)cosPx+Qn(x)smJ3x)\a+a是特征方程的根其中为待定的”的〃次多项式。【例10】(94二)求微分方程+ =sinx的通解，其中常数Q>0.【答案】当aH±l时，y(x)=Gcosoy+C2sinar+——sinx当a=±1时，y(x)=C,cosax+C?sinax——xcosx【例11](91~)求微分方程y"+y=%+cosx的通解.【答案】y=C}cosx+C2sinx+x+—xsinx三、高阶常系数齐次微分方程（数一，数二）二阶常系数齐次微分方程的解的形式可以推广到〃5>2）阶常系数齐次微分方程的情形一般形式：严+马产）+必产）+,,,+pn-iy+pny=o（*）特征方程为：4"+凡4"-1+p2^n2+…+Pia+q=°其特征根中：①若2为单根，则（*）的无关解中有：才②若2为4重根，则（*）的无关解中有：AxAx2Axk—1Axny。 ・・・YoC,«/W ,«/VC, ,«/Vc③若为单根，则(*)的无关解中有：eaxcosx,eaxsinx④若为4重根，则(*)的无关解中有：(Xx (Xx 2cxx k-1(Xxecosx,xecosx,xecosx<>xecosxax• cxx• 2ax• k—1cxx•esinx,xesinx,xesinx<>xesinx【例12】 求解下列微分方程(1)j(4)-j=0 (2)ym-2y^+2y^-4y=0案](1)y=G""+。2,+。3cosx+C4sinxy=Cte2x+C2cosy[2x+C3sin41x【例13】在下列微分方程中，以y=Qex+C2cos2x+C3sin2x（CPC2,C3为任意常数）为通解的是（）（A）y〃+y"-4y'-4y=0y'"+y"+4y'+4y=0y-y"_4y'+4y=0y勿_y"+4y'_4y=0【答案】D欧拉（Euler）方程（数一）形式：工"严)+。/"一1/5一1)+…+an_rxy+any=f(x)解法：令x=",有孙=@,Ny〃=?一女，・・・・・・,dt dt2dt原方程可化为〃阶常系数线性方程。特别地，令*=储，二阶欧拉方程，产+pxy'+"=f(%)化为二阶常系数线性方程d2y/ ,、冲 ―八-^+(p-l)—-+qy=f(e)。dt clt【例14](04—)欧拉方程，y"+4盯'+2)=0(x>0)的通解为？i答案】")=*+§【例15】求解方程（X-1）2 +（X-i）y+j=【答案】Gcosln(x-l)+C2sinln(x-l)+ln(x-l)sinIn(x-l)=2cosln(x-l)第五节一阶差分方程（数三）一、差分的概念一阶差分:给定函数%=/«）,其自变量，取值为一阶差分:给定函数%=/«）,其自变量，取值为等间隔整数值,即”…0,1,2,…,则/«）在，时刻的一阶差分定义为△%=%+1-M=/(，+1)-f(t)二阶差分：一阶差分Ay,的差分称为/«)的二阶差分，记为篦加即A\=A%+1-Am=匕+2-2匕+1+.二、一阶常系数线性差分方程形式：yt+i-pyt= =0,1,2,-)其中p为非零常数，/⑴为已知函数。常系数一阶线性齐次差分方程:M+i-PT,=0一阶常系数线性差分方程的通解为：必=切'+》；，其中y：为特解。若/«)=(4〃+A/"1+••&)〃,则待定特解y：具有下列形式：*_|(叫£"+线产1+~+纥)加p丰byt~[t(BQtn+Bitn-1+..,+Bn)btp=b【例1】(97三)差分方程%「M=像的通解为.【答案】》=。+(2)2,【例2】（98三）差分方程2%1+10乂-5，=0的通解为 【答案】y=k(-5)'+-t--12 72【例3】（01三）某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上在追加2百万元。若以叱表示第，年的工资总额（单位为百万元），则叱满足的差分方程为【答案】叱+1=1.2叱+2

本章强化练习一、一阶常微分方程的求解1、11、1(88-)求微分方程y'+^y=1E的通解(一般解).(一般解).答案：y=—(arctanx4-C)x2、(2、(求微分方程xyf+(1-x)y=e2x(0<x<+8)满足y⑴=0的解.答案：y=—ex{ex—e)x3、(08—三)微分方程盯'+y=0满足条件y(l)=1的解是y=.〜1答案：一.X4、(99-)求初值问题<(1+J，+y2)dx-xdy=0(x>0),的解.i=0X—i.答案：y=—x2——2 25、（08二）设函数x=x(t)rt2 确定,J。y=j(x)由参数方程其中x«)是初值问题dx_x 2，e=Ox> ../2dt 的解求弋.八 dx[xz-o=O答案：(l+r)[ln(l+/)+l]二、可降解微分方程的求解1、（00一）微分方程xy〃+3y，=0的通角星为答案：y=G■1—2~广2、求与〃=2,2一/)满足初始条件y(O)=l,，(0)=2的特角第冗答案：y=tan(x+—)三、二阶(高阶)常系数常微分方程的求解1、(89-)微分方程y〃-y=/+l的一个特解应具有形式(式中。，方为常数)aex+b. (B)axex+b.aexaex+bx.答案：(B)axex+bx.2、（99—二）y"-4y=小的通解为）=答案：。产-2*+[6+；》）62*（。”。2为任意常数）3、（07一二）二阶常系数非齐次微分方程/-4/+3j=Ze?"的通解为j=.4、(00二)具有特解必=e-x,y2=2xex,y3=31的3阶常系数齐次线性微分方程是(A) =J=0.y"-6y"+lly，-6j/z-2/-y+2j=答案：(B)5、(06二)函数y=C£微分方程是( )yf,—y—2y=3xex.(C)yf+y—2y=3xex.答案：(D)v=0.=0.:+C2e2x+xe”满足的一个2y=3e”.(D)y'+y-2y=3qx.6、(00三)求微分方程＜-2y-/工=0满足条件y(0)=L/(0)=1的角笔11)答案：y=—I—(3+2元)6“

44I、差分方程的求解五、利用变换转化微分方程1、(03一二)设函数y=y(x)在(-8,+8)内具有二阶导数，且=直，)是y=y(x)的反函数.(I)试将％=x(y)所满足的微分方程dx •dx3 4工z、、—口段心皿—1-d-Cj+sinxM—)=0变换为y=y(x);两足的微dy ay分方程；(II)求变换后的微分方程满足初始条件・ 3j(0)=0,y'(0)=］的解.答案：(I)y"-y=sinx；(II)y=ex-e~x-^s\nx2、（98二）利用代换,二一匕将方程COSXy“cosx-2y'sinx+3jcosx=ex化简，并求出原方程的通解.cos2x答案：〃"+4〃=er,通解为y=a +2C2sinx+——cosx 5cosx3、(05-)用变量代换币分方程(1-/'〃-盯'+股y|x=o=1,Wd=2的特解.答案：y=2x+>/l-x2=cos/（0<t<万）化简微=0,并求其满足六、微分方程的应用1、(98--)已知函数7=，(%)在任意点”处的增量△”答+图且当-时,0是心的高阶无穷小，y(0)二巴则y(l)等于( )(C)e4.(D)7re4(C)e4.(D)7re4.答案：(D)2、(99--)设函数y(x)(xNO)二阶可导且>/(%)>0,j(0)=1.过曲线y=，(%)上任意一点P(“,y)作该曲线的切线及工轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为%区间［0/］上以了二了(%)为曲边的曲边梯形面积记为§2并设2sL邑恒为2sL邑恒为1，求曲线y=y(”)的方程.答案：y=e”3、(97")设曲线L的极坐标方程为r=，(8),M(r,e)为L上任一点，%(2,0)为L上一定点.若极径OM。和0M与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M°,M两点间弧长值的一半，求

曲线L的方程.答案：x+V3y=24、（97-）设函数在闭区间［0,1］上连续,在开区间（0,1）内大于零，并满足xf\x)=f(x)+^x2（。为常数），又曲线）=/（%）xf\x)=f(x)+^x2（。为常数），又曲线）=/（%）与％=与％=l,y=0所［成的图形S的面积值为2,求函数y=/(%)，并问。为何值时，图形s绕龙轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.Q答案：f(x)=^-x2+(4-a)x,当。=一5时，体积最小，最小值为15、(01二)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在7轴上的截距，且L经过点・12；(I)试求曲线L的方程；(II)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小.答案：(I)y=——X2；(II)y= -x+—"4 - 3 36、(02二)求微分方程%内+(x-2y)d%=0的一个解y=y(%),使得由曲线y=y(%)与直线x=i,x=2以及工轴所围成的平面图形绕“轴旋转一周的旋转体体积最小.752答案：y=x x1247、(03-)设位于第一象限的曲线y=/(x)过点佟］，其上任一点P(x,y)处的法线与)轴的交点为。，且线段尸。被畤由平分.(I)求曲线7=/(%)的方程;

（II）已知曲线y=sin%在［0/］上的弧长为2,试用［表示曲线y=/(x)的弧长S.答案：(I)f+2y2=l：(H)5=21/18、（05二）如右图,G和。2分别是》=3（1+1）和y=优的图像，过点（0」）的曲线。3是一单调增函数的图像.过。2上任一点M（x,y）分别作垂直于“轴和y轴的直线4和4记G，G与4所围图形的面积为Si(x)；c2fg与4所围图形的面积为Sz。)如果总有M(x)=S2(y)求曲线。3的方程%二夕(7)答案‘x=lny+^49、(07-)设/(%)是区间「o,叫上单调、可导的函数，且满足「⑺"十辿①”，其中广1sin/+cos/是/的反函数，求/(%).答案：f(x)=ln(sinx4-cosx),xe0,—410、(08-)设/(“)是区间［0,+8)上具有连续导数的单调增加函数，且八0)=1.对任意的在［0,+8),直线％=0,%=£,曲线y=/(%)以及％轴所围成的曲边梯形绕X轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数/(x)的表达式.答案：f(x)=^(ex+e-x)11、(98三)设函数/(