高等数学讲义微分方程课件

第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念1定义1：含有自变量、函数及函数的各阶导数的方程称为微分方程其中导数的最高阶n称为微分方程的阶。满足微分方程的函数称为微分方程的解。含有任意常数且任意常数的个数等于微分方程的阶数的解称为微分方程的通解。确定了任意常数的解称为微分方程的特解。确定任意常数的条件称为微分方程的初始条件。定义2：如果微分方程中函数及函数的各阶导数都是一次的，则称微分方程为线性微分方程。定义1：含有自变量、函数及函数的各阶导数的方程2§2。一阶微分方程一阶微分方程的一般形式我们主要讨论的一阶微分方程为的几种特殊类型。1。可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程具有如下形式§2。一阶微分方程一阶微分方程的一般形式我们主要讨论的一阶微3两边积分可得通解两边积分可得通解4oxylM(x,y)oxylM(x,y)52。齐次微分方程2。齐次微分方程6NoP(x,y)Q(x,y)yxaaαNoP(x,y)Q(x,y)yxaaα7高等数学讲义第十一章微分方程-课件83。一阶线性微分方程3。一阶线性微分方程9高等数学讲义第十一章微分方程-课件10高等数学讲义第十一章微分方程-课件114。全微分方程4。全微分方程12高等数学讲义第十一章微分方程-课件13§3。某些可降阶的高阶微分方程我们主要讨论的二阶微分方程为的几种特殊类型。§3。某些可降阶的高阶微分方程我们主要讨论的二阶微分方程为的14高等数学讲义第十一章微分方程-课件15高等数学讲义第十一章微分方程-课件16高等数学讲义第十一章微分方程-课件17§4。线性微分方程的解的结构1。二阶齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程具有解的叠加性§4。线性微分方程的解的结构1。二阶齐次线性微分方程解的结构18高等数学讲义第十一章微分方程-课件19这又称为刘维尔公式这又称为刘维尔公式202。二阶非齐次线性微分方程解的结构2。二阶非齐次线性微分方程解的结构21这种方法称为常数变易法这种方法称为常数变易法22高等数学讲义第十一章微分方程-课件23二阶线性微分方程解的结构的理论可以推广到n阶线性微分方程。二阶线性微分方程解的结构的理论可以推广到n阶线性微分方程24高等数学讲义第十一章微分方程-课件25§5。常系数线性微分方程1。二阶常系数齐次线性微分方程§5。常系数线性微分方程1。二阶常系数齐次线性微分方程26特征方程的根微分方程的通解相异实根相同实根共轭复根特征方程的根微分方程的通解相异实根相同实根27二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到n阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到n阶常系数线性微28特征根的情况通解中包含函数k重实根r

k重复根特征根的情况通解中包含函数292。二阶常系数非齐次线性微分方程2。二阶常系数非齐次线性微分方程30高等数学讲义第十一章微分方程-课件31高等数学讲义第十一章微分方程-课件32高等数学讲义第十一章微分方程-课件33高等数学讲义第十一章微分方程-课件343。欧拉方程3。欧拉方程35此即为二阶常系数线性微分方程此即为二阶常系数线性微分方程36第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念第十一章微分方程§1。微分方程的基本概念37定义1：含有自变量、函数及函数的各阶导数的方程称为微分方程其中导数的最高阶n称为微分方程的阶。满足微分方程的函数称为微分方程的解。含有任意常数且任意常数的个数等于微分方程的阶数的解称为微分方程的通解。确定了任意常数的解称为微分方程的特解。确定任意常数的条件称为微分方程的初始条件。定义2：如果微分方程中函数及函数的各阶导数都是一次的，则称微分方程为线性微分方程。定义1：含有自变量、函数及函数的各阶导数的方程38§2。一阶微分方程一阶微分方程的一般形式我们主要讨论的一阶微分方程为的几种特殊类型。1。可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程具有如下形式§2。一阶微分方程一阶微分方程的一般形式我们主要讨论的一阶微39两边积分可得通解两边积分可得通解40oxylM(x,y)oxylM(x,y)412。齐次微分方程2。齐次微分方程42NoP(x,y)Q(x,y)yxaaαNoP(x,y)Q(x,y)yxaaα43高等数学讲义第十一章微分方程-课件443。一阶线性微分方程3。一阶线性微分方程45高等数学讲义第十一章微分方程-课件46高等数学讲义第十一章微分方程-课件474。全微分方程4。全微分方程48高等数学讲义第十一章微分方程-课件49§3。某些可降阶的高阶微分方程我们主要讨论的二阶微分方程为的几种特殊类型。§3。某些可降阶的高阶微分方程我们主要讨论的二阶微分方程为的50高等数学讲义第十一章微分方程-课件51高等数学讲义第十一章微分方程-课件52高等数学讲义第十一章微分方程-课件53§4。线性微分方程的解的结构1。二阶齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程具有解的叠加性§4。线性微分方程的解的结构1。二阶齐次线性微分方程解的结构54高等数学讲义第十一章微分方程-课件55这又称为刘维尔公式这又称为刘维尔公式562。二阶非齐次线性微分方程解的结构2。二阶非齐次线性微分方程解的结构57这种方法称为常数变易法这种方法称为常数变易法58高等数学讲义第十一章微分方程-课件59二阶线性微分方程解的结构的理论可以推广到n阶线性微分方程。二阶线性微分方程解的结构的理论可以推广到n阶线性微分方程60高等数学讲义第十一章微分方程-课件61§5。常系数线性微分方程1。二阶常系数齐次线性微分方程§5。常系数线性微分方程1。二阶常系数齐次线性微分方程62特征方程的根微分方程的通解相异实根相同实根共轭复根特征方程的根微分方程的通解相异实根相同实根63二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到n阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到n阶常系数线性微64特征根的情况通解中包含函数k重实根r

k重复根特征根的情况通解中包含函数652。二阶常系数非齐次线性