版高中数学基本不等式应用创新演练新人教a版

第一部分第三章基本不等式应用创新演练1．(2022·上海高考)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) \f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：对于A，当a＝b时，有a2＋b2＝2ab，故A不正确；对于B，若a<0，b<0，则有a＋b<2eq\r(ab)，所以B也不正确，同理，C也不正确；对于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0.∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时，取“＝”号，故D正确．答案：D2．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最小值为2D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值解析：A错误．若0＜x＜1，则lgx＜0，∴lgx＜0.∴lgx＋eq\f(1,lgx)≥2，不成立．C错误．x＋eq\f(1,x)的最小值是2，当且仅当x＝1时成立，当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最小值是eq\f(5,2).D错误．当x＝2时，取到最大值．答案：B3．(2022·重庆高考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2) B．4\f(9,2) D．5解析：依题意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＞0，b＞0，))即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).答案：C4．若－4<x<1，则f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1解析：f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq\f(1,2)[(x－1)＋eq\f(1,x－1)]，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.∴f(x)＝－eq\f(1,2)[－(x－1)＋eq\f(1,－x－1)]≤－1.当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0时等号成立．答案：D5．当x>eq\f(1,2)时，函数y＝x＋eq\f(8,2x－1)的最小值为________．解析：∵x>eq\f(1,2)，∴x－eq\f(1,2)>0.∴y＝x＋eq\f(8,2x－1)＝(x－eq\f(1,2))＋eq\f(4,x－\f(1,2))＋eq\f(1,2)≥2eq\r(x－\f(1,2)·\f(4,x－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，当且仅当x－eq\f(1,2)＝eq\f(4,x－\f(1,2))，即x＝eq\f(5,2)时取“＝”号．答案：eq\f(9,2)6．若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).答案：[eq\f(1,5)，＋∞)7．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ac)，∴2(a＋b＋c)≥2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ca)，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，由于a，b，c为不全相等的正实数，等号不成立，∴a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).8．(2022·泰安市高二检测)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？解：(1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y，则y＝eq\f(3000,x)(6≤x≤500)，S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6≤x≤500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\