铁军考研概率讲义

2010年万学海文概率论与数理统计考研冲刺班讲义主讲铁军教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建箱;、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2010年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授,为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！2010年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！概率统计是考研数学的难点，也是重点.复习时必须抓住概率统计试题的三个特点：1.知识点较多，但题型单一，计算量也不大，主要考察基本题型的掌握情况。因此，必须突出重点，计算准确，基本功扎实。2.难点在于应用题多，强调数学建模能力。应多思、多看、多练。3.针对概率统计考题难以入手、难以下笔的特点，应有目的地记忆一些常见题型和重要公式，并能灵活运用，举一反三。第一章随机事件与概率“随机事件”是概率论中最基本的概念，概率的计算是概率统计的核心。本章涉及到大量公式，如：加法公式、乘法公式、全概、逆概公式和三个概型：古典概型、几何概型和伯努利概型，必须熟练掌握。【考点一】随机事件是样本空间。的子集，是样本点的某个集合。要学会正确地设事件、用字母表示事件、找出事件之间的关系并表示出来。.a+b=~abJab='a+~b(德•摩根律).随机事件的概率含义：①Au8表示若A发生，则8必发生②4+8表示A和8至少有一个发生③AB表示A与8同时发生④A-8表示A发生，而8不发生且==【例1】设随机事件A与8成立WU8=AU月则有I ](A)AU8=。 (B)AB-</> (C)A—B-(/> (D)ABAB=Q【详解】应选(C).因为XU5=AU8,所以A=8,A\JB=A,AB=A,ABUAB=<l>>A—B—(/>.因此应选(C).【考点二】古典概型：设随机试验E的样本空间。=｛劭,。2,•，％｝，若(1)〃为有限的正整数。(2)每个样本点电a=12…出现的可能性相等。则事件A发生的概率为P(A)="小。这样定义的概率称作古典型概率,样本空I可样本点总数"试验E所对应的概率模型称为古典概型。【例2】某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标概率为p,(O<p<l),此人在四次射击中命中二次，且是连中的概率为(A)3p2(l-p)2(B)4P2(1—p)? (C)5p2(l-p)2(D)6P2(l-p)2【详解】应选(A).已知前两封已放入不同信箱，则最后得到【例3】四封信等可能地分别投入三个信箱中去,不超过两封信在同一信箱的概率为已知前两封已放入不同信箱，则最后得到5-9\75-9\7

B(D)32 7【详解】应选(。).p=\——=-.3.39【例4】设一个质点落在xOy平面上由x轴、y轴及直线x+y=l所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比，则此质点落在直线兀=■!•的左边的概率为.3【详解】这是几何概型，所求概率为【考点三】常用概率公式：1.加奇减偶定理：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).P(A-B)=P(B)-P(AB)若BuA,则P(A—B)=P(A)-P(B).P(A)=P(AB)+P(AS).条件概率：若P(A)>0,则尸(814)=£幽尸(A).条件概率性质：条件概率也是一种概率，符合概率公理化定义。若P(A)>0,则有(1)对任意事件B,有P(B|A)20(2) IA)=1,P(</>IA)=0,P(A14)=1(3)若修々=。,则P(8]+4।A)=尸(B[IA)+P(B2IA)(4)P(B,+B2lA)=P(BtIA)+P(B2IA)-P(BtB2IA)(5)注意：下面两个等式一般不成立，即P(AIA)+P(BIA)=1P(B\A)+P(B\A)=\.乘法公式：(1)设P(A)>0,则P(AB)=P(B|A)P(A)(2)设P(B)>0,贝!J(PAB)=P(A|B)P(B)(3)设P(AiA2“M)>0,n22,JiliJP(AiAi……A)=P(Ai)P(AaIAi)P(AiIA而…P(A.IAiAt……2.【例5】已知P(A)=0.6,P(AUB)=0.8,且P(A⑻+P(，B)=1,则尸(用A)=【详解】P⑻A)=0.5因为P(A|8)+P(XW)=1,所以A与8相互独立，P(AB)=尸(A)P(8).又P(8)=0.5,P网A)=P(8)=0.5【例6】设A,B,C为三个事件，P(AB)=P(AC)=P(8C)=b,且P(A)=a,P(8)=2a,P(C)=3a.证明：a<-,b<~.4 4【详解】由P(A)=a,P(AB)=b,得aNb.又因为1>P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)=5a-b>4a,所以得a<—.进一步由。2匕，故84 4【考点四】1.全概公式(由原因求结果)：若事件组M,心…,人满足A1,A2,…,An两两互不相容P(Ai)>0UA=。，1=1则称M,4,•••,人为一个完备事件组，且对任一事件B,有P(8)=£P(A)尸⑻4)1=12.贝叶斯公式(由结果找原因)：若事件……人构成一个完备事件组，且P(B)>0,P(Ai)>0(i=l,2,…,n),则PR8)=尸⑷尸⑻4)=—⑻4)「⑻ 之尸…⑷/=1【例7】假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨.若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p,变的概率为l-p.设第一天无雨，试求第〃天也无雨的概率.【详解】设事件4="第i天无雨"，记Pj=p(a),i=i,2,….则有P1=1,且p(4.=p,p(A"J4)=i-p,所以由全概率公式得Pn=PPe+(l-p)(l-p“T)=(2p-l)Pi+l-p,n>2.得递推公式P“_g=(2p_D(Pi_g)，n>2.所以 P“-；=(2p-l)"T(Pi,将Pi=1代入上式可得 p,—；=(2p-l)"T(g),因此 p“=；[l+(2p-l)"-[,〃=2,3门・.【考点五】独立与互斥：.若A5=0,则A与8一片(互不相容).若P(AB)=P(A)P(8),则称A98相互独立..两事件相互独立与互斥之间没有必然联系。互斥不能推出相互独立，独立也不能推出互斥。.若P(A)>0,则4与8相互独立<=>P(BiA)=P(B)..若P(A)>0,尸(8)>0,则有①A与B相互独立=>A与B相容即AB+。②AB=0=>A与B不独立».若P(AB)=P(4)尸(B),P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同时独立，则称三事件A.B,C相互独立；若A,8,C仅满足前三个等式，则称A,B,C两两独立。注意：“〃个事件相互独立”与“〃个事件两两独立”并非一回事。.四对事件A与8)与8.A与瓦田与否之中有一对相互独立，则另三对也相互独立。.若A.反C相互独立，则48,C中任何一个事件与另外两事件的并、交或差(和、积或差)均分别独立。【例8】设A,8,C两两独立，且ABC=。.如果P(A)=P(B)=P(C)=x,则x的最大值为.1 9如果P(A)=P(8)=P(C)<-,且P(A+B+C)=—，则P(A)=.2 16【详解】依题意，A,B,C两两独立，且A8C=。,于是尸(A+8+C)=尸(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(8)P(C)(1)因为P(A)=P(8)=P(C)=尤，所以尸(A+8+C)=3x-3x2,而/(x)=3x—3/的最大值为己.所以由P(A+B+C)=3x—3x2=2得TOC\o"1-5"\h\z4 47 1(x——)2=0,即x=—.29 313(2)由一=P(A+8+C)=3x—3Y解得两个解为一和一，而一不合题意舍去，所以16 44 4第二章一维随机变量及其概率分布本章是复习备考的重点之一，也是后面其他重点内容的基础。随机变量及其概率分布是概率论与数理统计的重要概念，引进随机变量及其概率分布的概念，可以使随机事件及其概率的研究数量化，能够应用微积分等方法研究随机现象.【考点六】1.分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x,称尸(x)=P(X4x)为随机变量X分布函数，又称随机变量X服从分布尸(x)。2.分布函数尸(x)具有如下性质：0<F(x)<l,-oo<x<+oo9即F(x)的定义域为(-oo,+8),值域为[0,1]oF(x)单调不减，即若/V-2,则尸(修)4尸即2)F(-oo)=limF(x)=09F(+oo)=limF(x)=1X—>-<X> X—>4-00F(x)是右连续的,即对于每个实数“，有limF(x)=F(a)x-»a+0注意:连续型随机变量的分布函数一定为连续函数;离散型随机变量的分布函数尸(X)如果有间断点，则F(x)在间断点处必右连续。X落入区间[a,句内的概率尸{a<X46}=1@)-尸(a)X落在。点处的概率P{X=a}=F(a)-F(a-O)【例9]设随机变量X的分布函数为'0,x<-l.(尤)=<5x+7 -1<x<1161,x>l则P(X2=1)=.【详解】 P(X2=1)=P{X=1)+P(X=-1)=[尸(X41)一尸(X<1)]+[P(X<-l)-P(X<-1)]=[F(1)-F(1-O)]+[F(-1)-F(-1-O)]12 2=[1——+[——0]16 163二【考点七】二项分布：在n重伯努利试验中，设在每次试验中，事件A发生的概率为p,即P(A)=p,令X为n次试验中A发生的次数，则X服从参数为n,P的二项分布，记作X〜B(n,p),其概率分布为P(X=k)=C^Pk[\-P)k,k=0,\,2,-,n,O<P<1.设X~B(n,p),则EX=nP,DX=nP(1-P).【例10】某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为2，则第k次命中目2标恰在第〃次(〃2%)射击时发生的概率为(C)C：(g尸 (D)明)"[【详解】应选(8).事件“笫k次命中目标恰在第〃次(〃2k)射击时”=“前〃-1次射击中恰好命中k-1次且第n次(〃>k)射击时恰好命中”.因此 P=*(J1(i-3”.1=c：二:(1)".【考点八】一维随机变量的函数的分布：.已知离散型随机变量X的分布律为P{X=xj=&次=1,2,….设丫是X的连续函数，即Y=g(X),则可用列举法求X的函数Y=g(X)的分布律为P{Y=g(xk}=Pk(当k*_/时,g(x*)*g(Xj)).如果在g(x*)中有相同的数值，则将它们相应的概率之和作为随机变量丫=g(x)取该值的概率，就可以得到y=g(x)的概率分布。.已知连续型随机变量X的概率密度力(幻。又已知y=g(X)连续，则求随机变量函数y=g(x)的密度函数，方法如下：(1)设fx(x)在(。为)上取非零值，并求出产g(x)在(。力)上的最大值夕与最小值a(2)当yWa时,耳”)=0当”网,Fy(y)=l。(3)当a<y<例寸,y=g(X)的分布函数

FY(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y).(4)求耳(y)的导数，即得到丫的密度函数4(y)。.定理：已知X的密度函数为fx(x),且/x(x)在(。，力内取非零值。y=g(x)连续,若y=g(x)在(a,»内单调，可导且g'(x)KO,则y=g(X)的密度函数为f/x= ■'(y)]•|[«(y)]|,a<y<P"1o, 其他其中a=min{g(a),g(b)},夕=max{g(a),gS)}..设X〜N(〃,cr2),则y=ax+b(aH0)也服从正态分布，且Y=aX+b~N(ap+b,a2a2))-X〜，-l<xvl 」v、.2 ，求随机变量y=e*的密度0，其他函数.【详解】y=，是严格单调增函数，y的取值范围是eT<y<e,其反函数为x其反函数为x=lny,且£=(lny)=—故可由定理直接求出Y的概率密度:,e~'<y<e,e~'<y<e其他【例12】设随机变量X的密度函数为/(尤)，则随机变量Y=2X+3的密度函数为()(A)?(F)⑻f(^~)(C)2f(2x+3) (D)f(2x+3)t详解】y=2X+3的分布函数为Fy(y)=P(Y<y)=P(2X+3<y)=P(X<三)=#f(x)dx,

1 v-3于是，y=2X+3的密度函数为4(y)=-/(——).应选(A).【例13】设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0,)，则随机变量|Z|=|X-r|的概率密度f(x)为( )/(x)=,-00<X<4-00⑻/(尤)=<—00<X<+00而f1" 2(2(C)/(x)==在，2,x>0(0/(X)He~T—x>010，x<00，X<0【详解】应选(。).因为X与丫相互独立，且均服从正态分布N(0,；),所以

/W=0.Z=X—y〜N(O,1).当xWO时，|z|的分布函数尸(x)=P(|Z|«x)=O,当x>0时，/(无)=P(|z|4x)=P(rWZWx)=2/W=0.Xf(x)Xf(x)=2(p(x)=e2因此，应选(O).第三章多维随机变量及其概率分布两个或多个随机变量的联合分布、边缘分布、独立性等是概率论中的重要概念，也是数理统计的基础.本章作为考试的重点、难点章节应予以高度重视。【考点九】.二维离散型随机变量的条件分布函数设(X,Y)是二维随机变量，若P(y=y)>0,则称(xIy)=P(X4xIy=y)为在丫=y的条件下，X的条件分布函数。若P(X=x)>0,则称Fy]x(yIx)=P(yWyIX=x)为在X=x的条件下，丫的条件分布函数。.二维离散型随机变量的条件分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P(X=Xj,y=x)=&/,/=1,2,……，若尸(丫=力)>0(/=1,2「一)P{X=x,,r=y;)P,i则称p(x=七|y=yj)=- : 卫=上,'2丫=无) %称为在r=无条件下x的条件分布律。同理，若P(X=Xj)>O,(i=l,2,…)，则称「｛y=y/X=Xjp(x=x,,y=则称「｛y=y/X=XjP(X=Xj)_—7为在X=尤,条件下随机变量丫的条件分布律。.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为尸(x,y)。若存在F(x,y)NO,使对任x和y,都有F(x,y)=工: 则(X,Y)为二维连续随机变量，函数/(x,y)称为(X,Y)的概率密度或随机变量X和丫的联合概率密度。.二维连续型随机变量的边缘概率密度设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为/(x,y),则什8(1)关于X的边缘概率密度为fx(x)=「f(x,y)dy(2)关于Y的边缘概率密度为fY(y)=[j(x,y)dx(3)二维连续型随机变量(X,Y)的边缘分布函数分别为：fxm=1/x⑴公，&(y)=f：6(y".二维连续型随机变量的条件概率密度(1)设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f{x,y),边缘概率密度fx(X)和/y(y)连续且恒大于0,则称fx.(x\y)=①上为在Y=y条件下X的条件概率密度,

4(y)称fYtx(yIx)=/叫为在X=x下丫的条件概率密度。JX(X)(2)二维连续型随机变量(X,Y)的条件分布函数FxirUly)=P(X<xir=y)=£皑，dt,xJr(y)FYlx(yIx)=P(Y<yIX=x)=£，；[dt°jfxM.二维随机变量的独立性1)定义：若对任都有：P(X<x,Y<y)=P(X<x)P(Y<y)或F(x,y)=Fx(x)-耳(y)成立，称随机变量X和丫相互独立。(2)离散型随机变量：X和丫相互独立的充要条件是P(X=Xi,Y=yj)=P(X=匕)P(y=力)，即P：j=Pj•Pj(i,j=1,2,…)(3)连续型随机变量：X和丫相互独立的充要条件是f(x,y)=fx(x)fY(y),x,yeR【例14】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为[1,0<x<1,0<y<2x,/Uy)=lo,其他求：⑴。,丫)的边缘概率密度力(外，力(丁)；(idz=2x-y的概率密度心仁).【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分

布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I）关于X的边缘概率密度<X<1,

其他.2x,0<x<1,=10,其他关于丫的边缘概率密度力(1)=「/(苍力(1)=「/(苍y)dx<y<2,其他.1 0<y<1 0<y<2,J其他•(II)令Fz(z)=P{ZWz}=P{2X—y4z},1)当z<0时，FzU)=P{2X-y<z}=0；2)当o«z<2时，FZ(Z)=P{2X-Y<z}3)当z22时，Fz(z)=P{2X-Y<z}=\.即分布函数为:°，z<即分布函数为:°，z<0,

1,Fz(z)=^~~?,0<z<2,故所求的概率密度为：_/z（Z）=1,zN2.b--Z,0<z<2,Io2其他【例15】设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为p（x+y）,O<y<x<l;〃苍）‘）=[0，其他（1）求常数k；（2）求（X,Y）关于X和丫的边缘概率密度；⑶求条件概率密度&xG'|x）和&y（x|v）；(4)求P(X+Y41)的值.

【详解】(1)由于—=1,.*.k=2.2—=1,.*.k=2.2f(x,y)dxdy= ^(x+y)dy(2)当0<x<l时，(X,Y)关于X的边缘概率密度为fx(x)=匚f(x,y)dy=[：2(x+y)dy=3x2,"x(X)=,3x2,0<x<10，其他当0<y<l时，"x(X)=,3x2,0<x<10，其他当0<y<l时，（X,Y）关于Y的边缘概率密度为A(y)=£/U,y)dx=[2(x+y)dx=l+2y-3y2；于是fY(y)=l+2y-3/,0<y<l其他(3)当0<x<l时，加（亦）=隼斗Jx（X）2(x+y)1, ,0<y<x3x0,其他当0<y<l当0<y<l时，A|rUb)=J77T2(x+y)I--——,y<x<l={l+2y-3y20,其他(4)P(X+K<1)=JJf(x,y)dxdy(4)P(X+K<1)=JJf(x,y)dxdy=JJ2(x+y)dxdyx+yWl

0<y<x<l=W、2(x+y)dx=；.第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、矩、协方差和相关系数等。【考点十】一维随机变量的数字特征一数学期望与方差：.设离散型随机变量X的分布律为P{X=x*}=6/=1,2,3,…。若无穷级数Zsp**=1绝对收敛，则X的数学期望EX=£sp*。若y=g（x）,jWEy=£g（s）pA。&=1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若广义积分^xf(x)dx绝对收敛，则X的数学期望EX=fV(x)dx；若Y=g(X),则EY=「'g(x)/(x)dx..数学期望的性质：(1)若C为常数，则E(C)=C(2)设a为常数，则E(aX)=aEX。E(X±Y)=EX±EY.(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=EX•EYo(5)若X|,X2,…,X”相互独立，则E(XlX2-Xn)=EXlEX2-EXn。.设X是一个随机变量，若数学期望£(X-£X/存在，则称DX=E(X-EX)2为X的方差，cr(X)=VB#为X的标准差或均方差。.计算方差的公式：DX^EX2-(EX)2.方差的性质：(1)设C为常数，则D(C)=0(2)设C为常数，则D(X+€)=DXD(KX)=K2DX(4)设随机变量X和Y相互独立，则D(X±Y)=DX+DY(5)DX=0的充要条件是X以概率1取常数C,即P{X=C}=1,其中EX=C7.常见随机变量的数学期望和方差：(1)若X服从(0-1)分布，且P(X=l)=P,贝ijEX=P,DX=P(1-P)；(2)若X-B(n,p),^]EX=np,DX=nP(l-P)(3)若X服从参数为7的泊松分布，则EX=DX=2。(4)若X服从(a,b)上的均匀分布，则EX=±a,£>X=2 12(5)若X服从参数为2的指数分布(2>0),则EX=；,QX=5。【例16】设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3个部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。求机器需要调整的概率；记X为需要调整的部件数，求期望E(X)、方差0(X)。【详解】设事件A为机器要调整，记从为第i个部件需要调整，i=1,2,3.（1）显然a=a+a，2+4,则P(A)=1-P(X)=1-P(A,+A2+A3)=1-P(X•月•4)(根据事件的独立性知)=1-P(4)尸(耳)尸(耳)=l-0.9x0.8x0.7=0.496.(2)求期望E(X)、方差£>(X)有两种解法：解法一：先求X的分布律，根据分布律再求数学期望和方差.根据X的意义，显然有X=0,1,2,3.事件的记法如(1),并注意到事件之间的独立性，有P(X=0)=P(《•用•《)=0.9x0.8x0.7=0.504;P(X=1)=P(A•耳•工)+P«.4・4)+p(4.天•&)=P(A,)P(再)P(4)+P(4)P(4)P(无)+P(《)P(耳)P(4)=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3=0.398；P(X=2)=P(A,A2A^)+P(A, )+P(\A2A3)=P(A,)P(A2)P(应)+P(A)P(月)P(A3)+P(A^)P(A2)p(a3)=0.1x0.2x0.7+0.1x0.8x0.3+0.9x0.2x0.3=0.092；P(X=3)=P(&42A3)=P(A)P(A2)P(4)=0.1x0.2x0.3=0.006.〃，f0 1 2 3)所以，X~I 1(0.5040.3980.0920.006)E(X)=0x0.504+1x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6,D(X)=E(X2)-(EX『=『x0.398+22x0.092+32x0.006-(0.6)2=0.46解法二：可以不求X的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望E(X)、方差。(X)。现引进新的随机变量X,.定义如下：[1,第，个部件需要调整，即事件4发生

i=[o,第i个部件不需要调整3 3因此我们有ZXj,E(X)=£EXj,i=l i=l而X,服从(0-1)分布，E(Xj)=P(Xj=1)=P(AJ,所以E(X)=£EXj= )+P(A2)+P(A3)=0.1+0.2+0.3=0.6,/=1又因为o(xj=p(x,=i)p(x,.=o)=p(a)p(Q,且x,之间相互独立，3 3所以 D(X)=ZD(X,)=Z玖A)P(Qi=l i-\=p(a)p(4)+p(4)P(工)+P(.)尸(4)=0.1x0.9+0.2X0.8+0.3x0.7=0.46.【评注】本题中解法二比解法一简单得多，这就是引进新的随机变量的好处，但如何引进新的随机变量是一个难点。一般在考研试题中，总是引进X,服从(0-1)分布，用独立性和Ex,来简化计算。i【考点十一】二维随机变量的数字特征：.二维随机变量函数的数学期望⑴设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P{X=x,.,r=y.}=P『i,j=1,2,…，则随机变量Z=g(X,y)的数学期望为E(Z)=E[g(X,y)]=££(Xj,yj)号。7=11=1(2)设二维连续型随机变量(XJ)的概率密度为〃x,y),则随机变量Z=g(X,y)的数学期望为E(Z)=£lg(X,r)]=rrgUy)f(x,y)dxdy.J-COJ-00.矩⑴设X是随机变量，若&*«)«=1,2,.-存在，则称以X")为X的左阶原点矩。(2)若以X-E(X)]*,k=2,…存在，则称之为X的人阶中心矩。(3)设X和Y是两个随机变量，如果E(X«叫,—=1,2,…存在，则称之为X和Y的k+/阶混合(原点)矩。(4)若反X-E(X)Wy-E(y)Y/,/=l,2,…存在，则称之为X和Y的k+/阶混合中心矩。*3.协方差(D定义：对于随机变量X和Y,如果仇X-E(X)]W-E(y)]存在，则称之为X和丫的协方差，记作cov(x,y)=E[x-E(x)ny-E(y)]。事实上，协方差为X和丫的1+1阶混合中心矩。(2)公式：对于任意两个随便机变量X和Y,有cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)(3)协方差的性质：1°cov(x,y)=cov(r,x)2°cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中a力是常数。3°cov(X1+x2,r)=cov(x1,y)+cov(x2,y),*4.相关系数(1)定义：对于随机变量X和Y,如果。(*-0,。(丫)#0,则称一2^^=为*和丫的ylD(X)y[D(Y)相关系数，记为Pxy，即cov(x,y)pw=-I —―/ 二Jo(x)V5而:.pXY=cov(X,,/*),其中X•和Y*分别是X和Y的标准化随机变量。(2)如果随机变量X和Y的相关系数pxy=O,则称X和Y不相关。(3)如果随机变量X和Y相互独立，则X和Y不相关；但X和Y不相关时，X和Y却不一定相互独立。(4)相关系数的性质：1°|0*3<1・当夕=1时，X与Y正相关，Y=aX+b(a>0),当0=-1时,X与丫负相关J=aX+b(a<0)2°|「xy|=1的充要条件是存在常数"和人,使得叩=a+6X}=l(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布(X,Y) 仁登,p),则X和Y相互独立的充要条件是p=0.即X和Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。【例17】设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中O={(x,y)：k|+|y|41},又设Z=X+Y。试求(1)X的概率密度/x(x)和Z的概率密度fz(Z);(H)X与Y的相关系数pXY；(in)在x=o条件下，y的条件密度为x(yk)。【详解】区域D实际上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形区域，I)的面积为2.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度/(x,y)=12 ，(%，,)w口0 ,其它(1)设2='+丫，4(z)=P(ZWz)=P(X+yWz)=fjf(x,y)dxdy.(1)X的概率密度fx(x)=「*/(x,y)dy,在区域D上，—14x41.当一IWxVO时，fx(x)=£-Jy=1+x当0vxW1时，/x(x)=f]gdy=l-x当xv-l或x>l时，fx(x)=0.1+x,—IWxVO于是X的概率密度为 人(幻=1-x,0<x«l0,其它⑵在区域D上，国+3W1,所以-l<z=x+y<l.当zW-l时，B(z)=O；当z?l时，%(z)=l；当-1<Z<1时，巳⑺=jjf(x,y)dxdy=^--y/2~=^^.O,z<-11+7则 ^U)=I2，-1<Z<1l,z>l于是Z的概率密度为/z(z)={2' ' .0,其它(II)cov(X,Y)=E(XY)-EXEY1+x,-1WxWO因为X的概率密度%(x)=<l-x，0<xWl为偶函数，所以0,其它EX=£xfx(x)dx=0,E(XY)=££xyf(x,y)dxdy=j|-xydxdy=0,所以cov(X,Y)=E(XY)-EXEY^O,pXY^0.(Ill)九八田口=史必，人(幻#0,所以，在X=Q条件下，丫的条件密度

fX⑴而(小)={2k10,其它【例18】设二维随机变量(x,y)在区域。上服从均匀分布，其中。={1,>)：凶+|小1}.又设。=乂+丫,丫=乂一丫.试求(I)U与V的概率密度九(N)与。(V)；(II)。与V的协方差cov(U,V)；(III)U与V的相关系数月内.【详解】区域D实际上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形区域，D的面积为2.—V)GD二维随机变量(X,Y)的联合概率密度/(x,y)={20，其它(I)设U=X+y,Fu(u)=P(U<u)=P(X+Y<u)=f(x,y)dxdy.在区域D上，W+b，|§,所以一14“=x+yWl.当时，F[}(u)=0；当以之1时，Fu(u)=l；当一时，Fv(w)=JJf(x,y)dxdy=~j=~'~= jr+y5w 7乙O,M<-1则 Fu(u)=<^-^-,-1<M<11,M>11,1——1<w<1于是 u的概率密度为 。(“)=«2'0,其它设丫=乂—Y,Fv(v)=P(V<v)=P(X-Y<v)=jjf(x,y)dxdy.x-y<v在区域D上，+所以TWv=x-yWl.

当vV-l时，&3)=0；当vNl时，入")=1;当T<v<l时，6(v)=JJ/(x,y)dxdy = .x-y<v 74O,v<-1贝U R(v)=<^^-,-1<v<12l,v>l[1tf——1<v<1于是V的概率密度为 4(v)=12'0,其它(11)cov(f/,V)=E(UV)-EUEV,显然，EU=EV=0.E(UV)=E(X+Y)(X-Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2=0.所以cov(X,r)=0.(Ill)U与(Ill)U与V的相关系数4Vcov(x,y)

y[DUy/DV【例19】设X,y相互独立，同服从正态分布N(0,cr2),又百=aX+bY,〃=aX—bY.(1)求J与〃的相关系数「；(2)问《、〃是否相关？是否独立？(3)当J、〃相互独立时，求(乙？)的联合密度函数.【详解】(1)根据已知条件，X1同服从正态分布N(0,cr2),所以E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=a2,EC)=E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)=0,E(rj)=E(aX-bY)=aE(X)-bE(Y)=0.已知x,y相互独立，所以ax与by也相互独立，故有£>(4)=D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)cr2.

D(")=D(aX-bY)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)cr2.E(切)=E(a2X2-b2Y2)=a2E(X2)-b2E(Y2)=a2D(X)-b2D(Y)=(a2-b')cr2,二E©j)-E8ES)= a-b?PlJocm.)一d+/)/_/+/•⑵当|《=网时，夕初=o看，〃不相关;当时#网时，0%/0,4〃相关.由于x,y同服从正态分布n(o,<t2),且相互独立，都是x,y的线性组合，所以577都服从正态分布N(0,(a2+b2)(r2)。而在正态分布中，不相关与独立是等价的，所以当时=例时，或〃是相互独立的;当卜卜例时，以〃相互独立。当77是相互独立时，即。2=匕2时，^~^(o,2a2(T2),r]~N(0,2a2a2),1 524⑸=后.四山匕(一了五宁)'1 产=后再而ex"-石嚏’所以,加所以,加(s/)=X(s)£Q)=【考点十二】切比雪夫不等式：1.设随机变量X的期望E(X)=/z,方差O(X)=，，则对任£>0,总有2 2P(lX-Wr或P(lX-〃l<e)21--r.££2.意义：切比雪夫不等式的重要意义在于，不管X服从什么分布，只要知道它的期望〃和方差。2,就能给出概率值的界限。【例20】设随机变量X和丫分别服从正态分布N(l,l)和N(0,l),£(%/)=-0.1,则根据切比雪夫不等式，有P(—4<X+2Y<6)2.【详解】由题设条件知E(X)=D(X)=D(Y)=1,E(Y)=O,E(XY)=-0.1,因此E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=l,Cov(X,Y)=C(xy)-E(X)£(r)=-0.1,D(X+2Y)=D(X)+4D(r)+4coy(X,/)=1+4+4x(-0.1)=4.6,由切比雪夫不等式有P(-4<X+2K<6)=P(|X+2r-l|<5)>l-0(，；2丫)=0.816.【考点十三】独立同分布的中心极限定理（列维——林德伯格中心极限定理）设随机变量X”X2,…X,,……相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差EXn=p,D（Xn）=（r2^0,〃=1,2,…。f 、ZX*-〃"则对于任意实数x,有「 4X：=◎（%）,"T8y/n<j其中①（X）是标准正态分布的分布函数。注：该中心极限定理告诉我们，当n充分大时，XXj=X1+X2+…X“近似地服从正态分布即对任a〈b,当n充分大时，有【例21】设随机变量X”X2…,X”相互独立，S=Xt+X2+•••+%„,则根据列维―林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S,近似服从正态分布，只要X1,X2…,X“，（ ）（A）有相同期望和方差 （B）服从同一离散型分布（C）服从同一指数分布 （D）服从同一连续型分布【详解】由定理知：随机变量X1,X2,…X”相互独立同分布，且其数学期望和方差存在。

由于有相同的数学期望未必有相同分布，可见（A）不满足定理条件。满足（B）和（D）的随机变量X,的数学期望或方差未必存在，只有（C）成立。（因为指数分布的数学期望和方差都存在，且方差不为0）。【例22】一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977?（0（2）=0.977）«【详解】以Xj（i=l,2,…〃）表示装运的第i箱产品的实际重量，n为所求箱数。由条件Xx,X2,-Xn是独立同分布随机变量（但具体分布未知），因而总重量为T=Xj+X2+---+Xn。由条件知EX,=50千克,cr=75无7=5千克。£7=50〃千克,叫=/DX~=5几千克。又；随机变量X1,X2,…X,,独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维―林德伯格中心极限定理，只要n充分大，随机变量T就近似服从正态分布N（50n,25n）。由题意知，所求n应满足条件：当n充分大时变量。=（7-50〃）//?近似服从N（0,1）,可见网。42}=0.977.•.nW98即最多只能装98箱。•।—1000.•.nW98即最多只能装98箱。从而有 ———>2yjn第五章 数理统计本章必须掌握基本概念：总体，统计量。特别要掌握常见统计量的分布。统计量是样本的函数，统计量的选择和运用在本章统计推断中占据核心地位。【例23】设总体X为连续型随机变量，概率密度函数为/*）,从该总体抽取容量为"的简单随机样本X1,X2,…,X,,。试求在曲线〃x）下方，统计量M=max{XJ对应的统计值1在〃m=max{xj的右方的（曲边形）面积S的数学期望。\<i<n【详解】设/1）为总体X的分布函数，贝IJS= /（x）dx=1-1:f（x）dx=1-F（ni）先求M=max{XJ的分布函数G(m)的概率密度g(m)。vM的分布函数G(m)=P(M<m)=P(max{XJ</n)=P(X,<m,X2<m,---Xn<m)=P(X,<m)P(X2<m)--P(X„</n)=F"(m)M的概率密度g(w)=G'(m)=[r"(/n)]=nF"~'(m)f(m)因此，计算S的数学期望：ES=E(1-F(M))=l-EF(M)1-rF(m)•g(m)dm=1-「nFn(x)-g(x)dxJ-x J-X=1-rnF'\x)f{x}dx=\-CnF'1(x)dF(x)令f=F(x)l-(ntndt=1-=---" n+1 71+1[1-A