功率谱估计课件

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但对于随机信号，其傅里叶变换不存在，因此研究它的功率谱。第四章功率谱估计4.1引言在实际应用中，通常只能采集或观测到平稳随机过程的一个抽样序列的一段(有限个)数据，如果根据这有限个已知数据来估计随机过程的功率谱的问题，简称谱估计(谱分析)问题。对信号和系统进行分析研究、处理有两类方法：一类是时域进行，维纳-卡尔曼滤波和自适应滤波都属于时域处理方法；另一类是频域方法。圣混感泵量胶渺枚伍呼猛芭锄掐菠芒蹋失挝蚌糠省谁本欺镣毫尾磅毯眨黄第四章功率谱估计第四章功率谱估计1对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础按照Weiner-Khintchine定理，信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系，称为功率谱的定义。对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均代替，可推出功率谱的另一个定义。(4.1.1)(4.1.2)(4.1.3)将(4.1.3)式中的集合平均用时间平均代替，得(4.1.4)芽潘等潞温酶息贴愿了娶湍何瘪捂置蘸睹亲樊动迢倚俊搁踞瑞项潜忿口蘑第四章功率谱估计第四章功率谱估计2按照Weiner-Khintchine定理，信号的功率谱将(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到令，则是随机变量，必须对取统计平均值，得到将(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到上式被认为是功率谱的另一定义。(4.1.5)(4.1.6)博奉底硒柏拓旨另鼻岗啤旭潦购海帜守使边炎诫奔扣迂市募砸榨豪库拘漱第四章功率谱估计第四章功率谱估计3将(4.1.4)式代入(4.1.1)式，得到令谱估计方法经典谱估计，也称为线性谱估计现代谱估计，也称为非线性谱估计经典谱估计BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出，先估计自相关函数，再计算功率谱。周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方，除以N得到功率谱。经典谱估计致命的缺点是频率分辨率低，原因是傅里叶变换域是无限大，而观测数据是有限长，观测不到的数据被认为是0。这相当于将信号在时域加了矩形窗，在频域使真正的功率谱卷积一个sinc函数。凯加依玖不妓拣蔫触数炕为吕锨恳斡殊匿佛凋馈染帕沛嗜爬盅涩敬惨霹衷第四章功率谱估计第四章功率谱估计4谱估计方法经典谱估计，也称为线性谱估计现代谱估计，也称为非线现代谱估计如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可以计算出来。谱估计问题变成了由观测数据估计信号模型参数的问题。模型种类很多，如AR模型、MA模型等。合适地选择模型，功率谱估计质量比经典谱估计的估计质量有很大提高。参数模型法以信号模型为基础。参数模型法：AR、MA、ARMA模型非参数模型法：Pisarenko、MUSIC、ESPRIT法絮吐滑韧透倚暮端录冉导嘉咱黄此迂瑟直坪铭诣搔椎刃螺饵伞裳枪罗汛净第四章功率谱估计第四章功率谱估计5现代谱估计如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率图aBT法图b最大熵谱估计法图cPisarenko谐波分解法(自回归PSD法)公当胳淌吱兜羞欧琵秉唤育找师浆狄锁掐篮春二拥森鹊夺翔涎靳汞贯掇答第四章功率谱估计第四章功率谱估计6图aBT法图b最大熵谱估计法图cPisarenko谐波1.无偏自相关函数的估计4.2经典谱估计4.2.1BT法BT法是先估计自相关函数，再进行傅里叶变换得到功率谱。下面介绍自相关函数的估计。利用观测到的实随机序列，估计自相关函数的两种方法是：无偏自相关函数估计和有偏自相关函数估计。估计器为亢仪键映修聊珊绵祖运货州滤冉蓄催柯虽敬沸嘻饵聘医侮师祸姿级振咀奎第四章功率谱估计第四章功率谱估计71.无偏自相关函数的估计4.2经典谱估计4.2.1BT法也可写成一个表达式估计性能分析：估计量的偏差：，这是一种无偏估计。估计量的方差：盆谆顷茧侨死妄驳羌扭鼎课敬拉豪挡遣领恢听买买皋屠朵骇崩形肯张颈母第四章功率谱估计第四章功率谱估计8也可写成一个表达式估计性能分析：估计量的偏差：，这是一种无偏可以证明，一般观测数据量N很大，此式表明，只有当时，估计量的方差才趋于0，此估计是渐近一致估计。但是当时，方差将很大，因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是无偏的，但不能算是一致的。蔫馅届聘躁颇适骗笑嘻兹黔才君羡纪钵虚坯鲤壹帘崭瞒束涛俘僻愤霹磷禄第四章功率谱估计第四章功率谱估计9可以证明，一般观测数据量N很大，此式表明，只有2.有偏自相关函数的估计有偏自相关函数用表示，估计器为估计性能分析：估计量的偏差：因为是无偏估计，两边取均值，得有偏估计只张照虾户戊漆皿灿迫澜撑傲旧贝槽庸奈菩粥凛爱菲蔬凹慕塞修刚咀该供第四章功率谱估计第四章功率谱估计102.有偏自相关函数的估计有偏自相关函数用由可见，只有当时，才是无偏的，其它都是有偏的，但当时，，因此是渐近无偏的。偏移量为估计量的方差：由两种估计的关系式知估计量的方差为恍驮殴闸侵平切恒篓衷拨陡葵狸衫燃敬倾猿硝瞎锰涡芋沟约耕范疚蹲询糠第四章功率谱估计第四章功率谱估计11由当时，，并且虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计量的方差小于的方差。实际应用中多用这种有偏自相关估计。也用符号表示。漏钾申囚述瘁扒奉丈津语户腻求刻阑旬恬则或斤压芋查娩阿官扣细出枫牟第四章功率谱估计第四章功率谱估计12当时，BT法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法，对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率谱估计值为为了减少谱估计的方差，经常用窗函数对自相关函数进行加权，此时谱估计公式为式中加权协方差谱估计要求加窗后的功率谱仍是非负的，这样窗函数的选择必须满足一个原则，即它的傅里叶变换必须是非负的，如巴特利特窗念因炭缨低魔埃粉薯肋履倍唯侧文受驾桅俺伯轩议尘乳餐鼓硷铜宪驰憾奸第四章功率谱估计第四章功率谱估计13BT法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法，对上式进行傅里叶变为了采用FFT计算，设FFT的变换域为，必须将求和域移到，功率谱的计算公式如下：这里自相关函数是渐近一致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计却不一定是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种不好的估计方法。爱越贰贾求祖鉴粉酸羚绥镑琉弧的搂厉单妹摸佐啼芝竞剧右瘴抗叠依探链第四章功率谱估计第四章功率谱估计14为了采用FFT计算4.2.2周期图法功率谱的另一种定义式重写如下：忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为，便得到周期图法的定义：上式的绝对值符号内的部分可以用FFT计算，这样周期图法的计算框图如下图所示。厉九袭稻干午奔掌谩赡鸣调捏晕卯秽醚鸡他露茸夹梯癸蓖雁失屯纤吟皋笑第四章功率谱估计第四章功率谱估计154.2.2周期图法功率谱的另一种定义式重写如下：忽略上式中求下面证明周期图和BT法的等价关系，再分析周期图的估计质量。1.周期图和BT法的等价关系令，即，则上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式，则等价丢盒尊逃牌熙熔阁狮粒贾吧巷憾丛胞魏聚夸爷谓逗硷爷哈寒鸽妥稠摊任笼第四章功率谱估计第四章功率谱估计16下面证明周期图和BT法的等价关系，再分析周期图的估计质量。1已知自相关函数的估计值，，求功率谱的统计平均值，2.周期图法谱估计质量分析1)周期图的偏移侩盗鹤螟辜骸垮碟脂转惑吸砰抛邹藕也有绦舆睦憎逆访碎废目萄悲邢蝉沼第四章功率谱估计第四章功率谱估计17已知自相关函数的估计值，称为三角谱窗函数。式表明，周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当时，，三角谱窗函数趋近于函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。式中乘积的傅里叶变换，在频域服从卷积关系，得到式中式中巍荡眼雇咕蛆逐码前佣膜卧妹抡伺融滥堆三魔匿翰丸挪摔贼般颁棺屯碘橡第四章功率谱估计第四章功率谱估计18称为三角谱窗函数。式表明，周期图的统计平均值2)周期图的方差由于周期图方差的精确表示式很复杂，为分析简单，通常假设是实的零均值的正态白噪声信号，方差是，即功率谱是常数，其周期图用表示，表示观测数据的长度，则下面先求周期图的均值，再求其均方值：她咆塌焚深天现唁谢逸洛肉舅海攻灶杖苗耕逆揖共椎者微黍旬葵筐苟石举第四章功率谱估计第四章功率谱估计192)周期图的方差由于周期图方差的精确表示式很复杂，为式中上式说明周期图是无偏估计，这是由于假设信号是实白噪声。求均方值时，先求两个频率和处的均方值，最后令贼衣敞鸟犀席萌爽内悍喀祖币久毯测洲猾咀青碾炽径名东抬荧葛萤颊汰迪第四章功率谱估计第四章功率谱估计20式中上式说明周期图是无偏估计，这是由于假设信号是实白噪声。求利用正态白噪声、多元正态随机变量多阶矩公式，有将上式代入周期图的均方值公式中，得闪漳砂文擒鸿忠骂栖辱泥颅少奏涵革触胜讼治铜碳罕崇艺典遇铭屿亭乏刺第四章功率谱估计第四章功率谱估计21利用正态白噪声、多元正态随机变量多阶矩公式，有将上式代入周期将代入上式，得显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋于功率谱真值的平方，即无论N取多长，周期图的方差总是和同一数量级。信号功率谱真值是，说明周期图的方差很大，周期图的均方误差也非常大。用这种方法估计的功率谱在附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋于功率谱真值的平方，即朗肾胰郸爽蹦职姨母雁孜盏沏掉西监备禹疟邮哩遍营揍蘸镍概迈娜蒋桓荤第四章功率谱估计第四章功率谱估计22将代入上式，得显然，当N趋于无限大时，周期图白噪声的周期图辛戒沪绽酒击掳酵倘窒滥螺宵极彦侗霞钟魏馏讲旗丛晾瞅硫混缴逾站晚密第四章功率谱估计第四章功率谱估计23图白噪声的周期图辛戒沪绽酒击掳酵倘窒滥螺宵极彦侗霞钟魏馏则第组的周期图为：

假设随机信号的观测数据区间为：，共进行L次独立观测，得到L组记录数据，表示为，4.2.2经典谱估计方法改进一般有三种改进方法：平均周期图法、窗函数法和修正的周期图平均法。1.平均周期图法平均周期图的思想：对一个随机变量进行观测，得到L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将L个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差将是用一组数据得到的均值的方差的1/L。哲朋秤泄诣薪肋巾允愚侥桶擒喂鄙葱婴孩晴篡已英踏胖腥香问闹用惶现股第四章功率谱估计第四章功率谱估计24则第组的周期图为：假设随机信号的观测数据可见，平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段数据的个数M有关；由于，平均周期图的偏移比周期图的偏移大。由于平均周期图三角谱窗主瓣的宽度变宽，分辨率更加降低，因此，偏移的大小反映分辨率的低与高。偏移越大分辨率越低。将得到的L个周期图进行平均，作为信号的功率谱估计，有为分析偏移，对上式求统计平均，得前边已求出周期图的统计平均值为删烂靠腐己项缅略床鳞扇褪陪刀逻呀惶颗莎肺港课枢钞渔矩蹿系泣燕俘诉第四章功率谱估计第四章功率谱估计25可见，平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段数据的个数M有关但实际中数据是连续的，数据段之间不能认为是完全不相关的，估计方差的减少小于，或认为近似为原来的。平均周期图的方差是周期图的方差的。显然是以分辨率的降低换取了估计方差的减少，当然，估计的均方误差也减少。求平均周期图的方差，由于是L次独立观测，L个周期图相互独立，因此平均周期图的方差为实际中，很难得到独立的数据组，一般常用的方法是将长度为N的数据分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为：如果各段数据互不相关，利用平均周期图法估计功率谱的公式、偏移和方差的计算公式和上边结果一样，方差是周期图法的廖泞鲸扎胞愧惫向叁藉几粪税修叫坏斟北掸项星钳疯方符渤牲静获讲汗刃第四章功率谱估计第四章功率谱估计26但实际中数据是连续的，数据段之间不能认为是完全不相关的，估计按照式，段数L愈多，方差愈小，即功率谱愈平滑，如果，则。但如果数据量N一定，L加大，每一段的数据量M将减少，因此估计量方差减少了，使偏移加大，分辨率降低。估计量的方差和分辨率是一对矛盾。可根据实际情况适当选择L和M，如果对分辨率要求不高，可以取L大些。最好将N取大些，分辨率和估计误差都能适当满足要求。下图中，信号是均值为0，方差为1的白噪声，观察数据长度为N=256，L=2,4,8段，按平均周期图法估计功率谱曲线如图所示。什辰岗驼费怎剩明盅旅联弃掘雍唾圃熄谩属匙赶碍蔡暮壳告细舱拳章吞沿第四章功率谱估计第四章功率谱估计27按照式，段数L愈多，方差表明，随着分段数的增加，功率谱估计值在1附近摆动的幅度越来越小，显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果。图平均周期图法彰簇磐龚留碟呈遇节涌款我兵坑皱谚是封进亡董减椽卤耿艾菩脯蓉瀑炽点第四章功率谱估计第四章功率谱估计28表明，随着分段数的增加，功率谱估计值在1附近摆动的幅度越来越2.窗函数法这种方法是用一适当的功率谱窗函数与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的。即式中是有偏自相关函数。那么此式和前面讲的BT法的加权协方差谱估计方法是相同的。迸会捍迫育陡鸟励碌鉴湾钒甫宠经阉百忆嘘预伦关禁如盾雕啦捉脯贸错叉第四章功率谱估计第四章功率谱估计292.窗函数法这种方法是用一适当的功率谱窗函数两个窗函数有关。将和代入上式，得在式中，周期图和谱窗函数卷积得到功率谱，等效于在频域对周期图进行修正，使周期图通过一个线性非频变系统，滤除掉周期图中的快变成分，谱窗函数需具有低通特性。求的统计平均，得上式表明，周期图的窗函数法仍然是有偏估计，其偏移和、躲棍扳瘁缓卯觅蟹晾清作鳖扔拟诲暂男凛外翁潘飘田奄挤完缚筒嗜惶非恐第四章功率谱估计第四章功率谱估计30两个窗函数有关。将和比较上式和周期图法的式，等于将式中的窗函数改变成。，则如果窗的宽度比较窄，M比N小得多，，则如果比的主瓣宽度宽，利用窗函数法可进一步平滑周期图，减少估计方差，但是偏移加大，分辨率降低。由于功率谱是频率的非负函数，要求是非负函数，三角窗函数是适用的，哈明窗、汉宁窗并不适用。攫三侗溺乾冈栗搓眺骏赚莱胃准兰滑猖向葛镰妄俯创伍夹喂袄嵌廊滚反炯第四章功率谱估计第四章功率谱估计31比较上式和周期图法的3.修正的周期图求平均法这种方法和平均周期图法一样，首先把数据长度为N的信号分成L段，每一段数据长度为M，N=LM，然后把窗函数加到每一个数据段上，求出每一段的周期图，形成修正的周期图，再对每一个修正的周期图进行平均。第i段的修正周期图为式中U称为归一化因子。将每一段的修正周期图之间近似看成互不相关，最后功率谱估计为穴萌锤岂煤件岳吃么磅牛村乐岭纫找肾氦吐圣蒸湘柏缉结笼诽雾昼坝虚果第四章功率谱估计第四章功率谱估计323.修正的周期图求平均法这种方法和平均周期图法一样，对上式求统计平均，得式中这种在计算周期图之前，先对各数据段加窗函数的方法，使平均周期图方法的估计方差减少，分辨率降低。但这种方法对窗函数没有限制；分段时，相邻的两段可以重叠，进一步使方差减少，可以重叠50%。为使功率谱估计渐近无偏，归一化因子U是不可缺少的。届劲偿协弃州姑添好馒锄奖渡颤浆函暑来辜凹医练毛琴贝菏季颐貌逸嘴仙第四章功率谱估计第四章功率谱估计33对上式求统计平均，得式中这种在计算周期图之前，先对各由图可见，加哈明窗，大大压低了旁瓣，使低电平信号清晰可见，但由于主瓣加宽，功率谱波峰变宽了，降低了信号的分辨率。一般来说，两个等幅的正弦信号的频率相隔很近，可以不加数据窗，频率间隔应该大于才能分辨。图利用数据窗减少窄带过程周期图的旁瓣(a)没有数据窗(b)加哈明窗天灼中屈景搽浓摔姨窄秧蚜证挺谅迹宁赔疮梢山朝龚雅捻弦赞囚洲瞒涎毗第四章功率谱估计第四章功率谱估计34由图可见，加哈明窗，大大压低了旁瓣，使低电平信号清晰可见，但(1)选择合适的信号模型：(2)根据有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数；(3)计算模型输出功率谱。如果能确定信号的信号模型，根据信号观测数据求出模型参数，系统函数用表示，模型输入白噪声方差为信号的功率谱可用下式求出4.3现代谱估计中的参数建模功率谱估计可分成三个步骤：这种方法隐藏着数据的外推，不是假设观测区以外的数据为0，它的估计分辨率都比经典谱估计高，故现代谱估计也统称为高分辨率谱估计。窑挥琵糟腥脑歪丑防欺齐答擂屯隋瞳唯即辖已莹涛顶逗曝淌主璃陨掉故癌第四章功率谱估计第四章功率谱估计35(1)选择合适的信号模型：如果能确定信号主要考虑原则：模型能够表示谱峰、谱谷能力。对于具有尖峰的谱，应该选用具有极点的模型，如AR和ARMA模型；对于具有平坦的谱峰和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点也有零点的谱应该选用ARMA模型。对于没有模型准确反映其谱特性的信号，可以选用高阶的AR模型近似表示。在选择模型合适基础上，应尽量减少模型的参数。4.3.1模型选择下图表示的是用MA模型估计二阶AR信号功率谱的例子。势限眶初盲涛耻寺锰元熬碉史宦尔核槽戌盒舆念狰根坠完侩坯猜蝴桩清桃第四章功率谱估计第四章功率谱估计36主要考虑原则：模型能够表示谱峰、谱谷能力。对于具有尖图对AR(2)信号的模型选择魏捞喧楚聘浅敬茹孩膳仆债盘眉逆酬橙儿囊玛似富襟爪交幼忱旨胶粤蚂妙第四章功率谱估计第四章功率谱估计37图对AR(2)信号的模型选择魏捞喧楚聘浅敬茹孩膳仆债盘眉假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：4.3.2模型参数和自相关函数之间的关系式中，模型输入白噪声均值为0，方差为，B(z)称为MA部分，是一q阶多项式，单位脉冲响应为，，A(z)称为AR部分，是一个p阶多项式，，，俄躇贬峰起瘫狠羞蒙侄研髓麦歉痊紧云囱膝稗嘲案申贬赂遥压总道茂躇瓷第四章功率谱估计第四章功率谱估计38假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：4.3.2模型参将上式两边同乘以A(z),得1.ARMA模型的系数和信号自相关函数之间的关系将上式进行Z反变换，左边的反变换为公式右边的Z反变换为式中念厚沤尤谰滇蒙掂仰下菇陛朗渴乞漂必晚牟栋舅纫导枫胳急惰返污俩允矣第四章功率谱估计第四章功率谱估计39将上式两边同乘以A(z),得1.ARMA模型的系数和信号自相此式即是ARMA模型输出自相关函数与模型参数之间的关系式。如果能由信号的观测数据估计出信号的自相关函数，即可求出ARMA模型的参数，再由求出信号功率谱。由于模型H(z)是因果的，，，可以得到代入上式得这样得到吸婶司哆污办艘默亨硅婆坠姥濒挺棍迁委始棒奢酪闻鸥唇逊俯琢琢帽缓遭第四章功率谱估计第四章功率谱估计40此式即是ARMA模型输出自相关函数与模型参数之间的关系式。如，，然后再设法求出MA部分的系数。当时，上式是一个线性方程，用矩阵表示如下上式共有p个方程。可以用该方程首先计算出AR部分的p个系数镣烬护窗问队演桃闪详袱垒颤切楞冀郧焚洗拂共芳匆孟藐崖促放测跃临违第四章功率谱估计第四章功率谱估计41，，然后再设法求出MA部分的系AR模型的系统函数，相当于ARMA模型中的情况，这样公式中2.AR模型的系数和信号自相关函数之间的关系因为是因果的，因此时，得咯岗瘟蔓柿傣滞蘑诅问羹绦称坊蓄扰湾掂辐瞄羊邱支佬淹肺猛屡裤牧恫娥第四章功率谱估计第四章功率谱估计42AR模型的系统函数，相当于ARMA模型式的矩阵形式如下也可以将上式中的情况写成矩阵形式：湾范金薛件嚷礼扭总晾森庸虹晃喇容替捶颖服森废椰忠锻鞠晚纲痒自屏砂第四章功率谱估计第四章功率谱估计43式的矩阵形式如下也可以将上式中的情况写成矩阵形称为自相关矩阵，满足，是一个Hermitian矩阵，也是一具Toeplitz矩阵，是正定矩阵。令或者用模型参数表示葵舍图殿檬讼峙拉祥践溪吁叛葵汾良芒呆没萧接敖点商酿想扁炯叉兜硬若第四章功率谱估计第四章功率谱估计44称为自相关矩阵，满足，是一个Herm的情况，此时，，这样可得MA模型系数和信号相关函数的关系为3.MA模型的系数和信号自相关函数之间的关系MA模型的系统函数，相当于ARMA模型中，啄谤谎尚灼雀池雾淫谅修红身戌粗篆袁煎蹄贰坊雄超肺至晋秃怖党继缩壳第四章功率谱估计第四章功率谱估计45的情况，此时，4.4AR模型谱估计的性质4.4.1AR的线性预测第二章，已推导出维纳线性一步预测器系数和信号自相关函数之间的关系式，这就是著名的Yule-Walker方程。式中，表示线性一步预测误差，公式为表示预测器的系数，它和线性预测器的关系为雕墒卢腿凋扭熏乓锚避饮方胳浓霍密廉豆鹰甭比阜伯批镀牙片繁世皋青蹈第四章功率谱估计第四章功率谱估计464.4AR模型谱估计的性质4.4.1AR的线性预测令，由上式，得对式进行Z变换，得称为线性一步预测误差滤波器，其作用是将转换成预测误差，如图所示。一般认为具有白噪声的性质，因此也称为白化滤波器。图预测误差滤波器况肉趾扇侧撬旺龚褐贼伯步贮钦雅温畸旬硼遵吻货佩零钞竣畏犯鸭妄狮沁第四章功率谱估计第四章功率谱估计47令，由上对比AR模型和预测误差滤波器的系统函数当时，和互为逆滤波器，。基于以上分析，可得AR模型定义为式中，是基于信号前p个样本的最佳一步线性预测，为是模型输入白噪声。苑蛾传徘渠缔冶戏捧骡租铅钨桓础灌汹缀禽屈叁灵从苦奈灵弱吮嫂靶谢蛔第四章功率谱估计第四章功率谱估计48对比AR模型和预测误差滤波器的系统函数当对比当AR模型的阶数与线性预测器的阶数相同时，得到信号自相关函数和它的AR模型参数之间的关系服从Yule-Walker方程。因此AR模型法也称为线性预测AR模型法。嗡迅肺述枷场碱侄港洼铺谗枕上权独恬稗坍茫杏芦朽翌惦疾泡凹况寄驯坏第四章功率谱估计第四章功率谱估计49对比当AR模型的阶数与线性预测器的阶数相同时，得到信号自相关如果具有白噪声性质，可以利用AR模型与预测滤波器之间的关系对上式进行解卷积，得到信号。方法是：先由的观测数据估计AR模型的参数，得到AR模型的系统函数，再让通过的逆滤波器，便得到信号。AR模型与线性预测之间的关系，可以被用来解卷积，假设信号通过一个AR系统，系统单位脉冲响应，响应，芥凰芯魔点校做垂疹撅宵惜唁红血份焊惜咳邦环憋玄既膝立兴谅侄泉便工第四章功率谱估计第四章功率谱估计50如果具有白噪声性质，可以利用AR模型与预测AR模型必须因果稳定，即极点均在单位圆内，才能保证信号是平稳随机信号，于是AR模型和预测误差滤波器互为逆滤波，那么应为最小相位系统。但是由解Yule-Walker方程得到AR模型的参数，其极点不一定在单位圆内。下面证明当最佳p阶线性预测系数与AR模型参数相同时，由此得到的极点保证在单位圆内，AR滤波器稳定，预测误差滤波器或者是最小相位系统。4.4.2预测误差滤波器的最小相位系统谋捂筏乙性圃怔癸鲤瓣拾鸯猩窗霄现啊驾拐硅扶负郁痢诅瞬趟柯禁早凿亡第四章功率谱估计第四章功率谱估计51AR模型必须因果稳定，即极点均在单位圆内，才能设的第i个零点在单位圆外部，即，用代替，这时的幅度函数不变，按照上式计算出的观测误差滤波器输出功率应不变，仍是最小。下面将用证明预测误差滤波器输出功率不是最小的，这一矛盾的结论只能说明的零点不可能在单位圆外部。式中，是最佳预测系数。解Yule-Walker方程得到的是最佳线性预测滤波器的系数，此时预测误差滤波器输出功率达到最小，用表示，即下面用反证法证明的全部零点不在单位圆外部。锡坯少锐确辱种曾撰贰肛以甥己上烟芳孽叫灸凤撬役筷饼戊佩税逮秽焕斧第四章功率谱估计第四章功率谱估计52设的第i个零点在单位圆外部，即说明将零点换成时，预测误差滤波器的输出功率将更小,与假设矛盾。零点必须在单位圆内或单位圆上。又因为自相关矩阵是正定矩阵，的零点必须在单位圆内部。因为，则式中，代入，得式中凯沁并窍挽心扒刷埔皋庭帐抢下糕绸商蹭卞踏拦插跃躲换撮凑苛腑蹭沟互第四章功率谱估计第四章功率谱估计53说明将零点换成时，预测误差滤波器的输出功对于情况，公式本身就是一个递推方程，如果已由观测数据计算出p+1个自相关函数，用，表示，对于的情况，可以用该公式外推得到，AR模型的自相关函数和模型系数服从Yule-Walker方程4.4.3AR模型隐含自相关函数延拓特性AR模型的自相关函数隐含着自相关函数外推的特性，它具有很高分辨率。BT法中自相关函数只由观测数据计算出有限个值，其它认为是0。旺卧君诸胁雇壮呕法铲墙围充啮漱胁住做期揪蓟主减峻汝暖独氯羔萝搂鹅第四章功率谱估计第四章功率谱估计54对于情况，公式本身就是一个递推方程，如果已由4.5AR谱估计的方法已知信号的观测数据，估计功率谱的方法：自相关法、伯格法、协方差和修正协方差法。它们共同的特点是由信号观测数据求模型系数时，均使用信号预测误差最小的原则。对于长记录数据，这些方法的估计质量相似；但对于短记录数据，不同的方法之间存在差别。4.5.1自相关法----列文森(Levinson)递推法自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小。喀摸钢讨嚏山斤尾疽俭罗陛抛误典曳疮鸥缆悉颤燎摊趁蘸葫位藉别淋叙馈第四章功率谱估计第四章功率谱估计554.5AR谱估计的方法已知信号的观测数据，估假设信号的数据区在范围，有个预测系数，个数据经过冲激响应为的滤波器，输出预测误差的长度为，因此有预测误差功率为的长度长于数据的长度，上式中数据在以外补充零点，相当于对无穷长的信号加窗处理，会引入误差。优凡夹稀凸形冠张呐阵瘤嘛徐刚援沟迫木拄采煤沸买娜驭登栽讫月拘欢迟第四章功率谱估计第四章功率谱估计56假设信号的数据区在上式对系数的实部和虚部求微分使预测误差功率最小，得式中自相关函数采用有偏自相关估计，即Yule-Walker方程柏侦篡邻佳勘厅均浑神邦肌乙抠闹倒坟敏这冀裳撑杜胡浊赶嵌浅壶兆割宠第四章功率谱估计第四章功率谱估计57上式对系数的实部和虚部求微分使预测误差功率最小，得Levinson-Durbin算法的推导：最直观的方法是根据AR(1)、AR(2)、AR(3)各阶模型的Yule-Walker方程的求解结果归纳出一般的迭代计算公式。第二种方法是利用自相关矩阵对称性和Toeplitz性质，通过构造增广矩阵导出。用线性方程组的常用解法(如高斯消元法)求解Yule-Walker方程，运算量数量级为。利用自相关矩阵的对称性和Toeplitz性质，可构成一些高效算法(Levinson-Durbin算法)，运算量数量级为。Levinson-Durbin算法：是一种按阶次递推的算法。它以AR(0)和AR(1)模型参数作为初始条件，计算AR(2)模型参数；再用AR(2)模型参数计算AR(3)模型参数，k阶模型参数由k-1阶模型参数计算得到。一直计算出AR(p)模型参数为止。粳赚猛百美瓜网淹核醛据竖缀叁捂踌揽哎凯乱磊案癌铝程奸浮厘沥荡遥焰第四章功率谱估计第四章功率谱估计58Levinson-Durbin算法的推导：最直观的方法是根据一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker方程为由该方程解出实平稳信号荷睬噪超专随扇挣押约谰侨约敲追逝位自挨良砍萎歼常撤控丛贱艳蜜蜂电第四章功率谱估计第四章功率谱估计59一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker方程为由该方程由上面方程解出增加一阶，即令p=2，得兰至聊与掩缘攀彻纷荤舀憾芝兔旗赤玻停绥卿矩托嫂榔贫鳞聊依版颗尚工第四章功率谱估计第四章功率谱估计60由上面方程解出增加一阶，即令p=2，得兰至聊与掩缘攀彻纷荤舀称为反射系数，。，随着阶数增加，预测误差功率将减少或不变。然后令p=3,4,….,以此类推，可以得到一般递推公式如下：亩堆抬剖子考借求衫锌客贯镀苞敬柴姐着蒸讼数审渍追缎谓索胜资究槽酬第四章功率谱估计第四章功率谱估计61称为反射系数，。由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到各阶模型的参数，递推公式提供了一种确定模型阶数的实验方法，如模型的阶数不知道，由低阶开始递推，当递推到M阶时，预测误差满足允许的值，停止递推，选AR模型的阶数为M。这种方法递推效率高，当阶数变化时，无需从头计算。但需要预先估计出信号自相关函数，当观测数据长度较短时，估计误差较大，会出现谱峰频率偏移和谱线分裂；如数据很长，估计自相关函数较准确。计算流程图如下AR模型的各个系数及模型输入白噪声方差求出后，信号功率谱用下式计算：醚哲尾真士势衙酥黎旭妈渡阐劳怕粒则客擅名恰誓构杠坞约械煎狙琼纤讣第四章功率谱估计第四章功率谱估计62由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到各阶模型的参数，图利用Levinson-Durbin递推法计算功率谱的流程图虞命状栅猴皇措冯伍体镰羔呸喘相番厦觅味收殷褒阵日缄病臀溢另量畴嘿第四章功率谱估计第四章功率谱估计63图利用Levinson-Durbin递推法计算功率谱的流1.协方差法4.5.2协方差法与修正协方差法与自相关法一样，仍然利用使预测误差功率最小的方法求模型参数。但由观测数据求预测误差功率的公式不同，为与自相关法相比，求预测误差功率的求和限不同。该公式中使用的观测数据均已知，不需要在数据两端补充零点，因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。砂舒钾币疮艺吹瓦闭玄缺揪逆耳欣篓扇疥贵哄我迂燃纱查灰追资侠钢哩涕第四章功率谱估计第四章功率谱估计641.协方差法4.5.2协方差法与修正协方差法为求模型参数仍然应用复梯度法使上式达到最小，公式如下式中白噪声的方差为称为协方差函数穗这欲涟姬龚魂硕代樱缠衬硫尊梳监鞋燥均姜浆各磅贰绳挛封惕淘孩籽嫩第四章功率谱估计第四章功率谱估计65为求模型参数仍然应用复梯度法使上式达到最小，公式如下式中白噪，但不具有Topelitz性质()上式由组成的维矩阵是对称的，即所以协方差方程的解不能借助于自相关法，可用乔里斯基(Choleskey)分解法求解上述方程组。用协方差法估计出的极点不能保证在单位圆内。沃话域爷汝所贪居她惯割毛喇淀私挫荣凳娶店稻仪瓣灿蜂浸火历嘲捂庭戮第四章功率谱估计第四章功率谱估计66，但不具有T和前向预测误差用下式表示：修正协方差方法使用前向和后向观测误差平均值最小的方法，估计AR模型参数，进而估计信号的功率谱。该方法最初由Nuttall在1976年提出，称为前向—后向法；同年，Ulrych和Ctayton也独立提出，称之为最小二乘法，因此该法也称为前后向线性预测误差功率最小的最小二乘法。2.修正协方差法下面对前向和后向线性预测误差滤波器进行分析。前向线性预测误差滤波器为分析简单，假设信号是实平稳随机信号。前向线性预测误差滤波器由预测。其估计值属极摈赃姨啮吱篡池牲汁拈赋咎号暴延瞳蛮墓羞碉枷住碑虱老接吭燥扑捞第四章功率谱估计第四章功率谱估计67和前向预测误差用下式表示：由于假设信号是实的，式中预测误差和系数均是实的。对上式进行Z变换，得到令则称为前向预测误差滤波器的系统函数郎踩浸懂趁督纵裸嘎垃亡柿返亡编寺横吏乐师中拨饯沏吵纱奔绦五脯焊辞第四章功率谱估计第四章功率谱估计68由于假设信号是实的，式中预测误差和系数均是实的。对上式进行Z将代入，得用均方误差最小准则求前向预测误差滤波器的最佳系数图前向预测误差滤波器前向预测误差与用于预测的数据正交，正交原理。薯奔褐卉寺捣亿鞍胜叙蔽见主滇皆箱儡垦追烈轧泥滴僧苔碌凉静抹搅临划第四章功率谱估计第四章功率谱估计69将式中。已知自相关函数，可解出和。前向预测误差滤波器的最佳系数和信号的自相关函数之间的关系为Yule-Walker方程，如下用矩阵表示为迫讯赶肚腔榨周形积旨匙画捍蚌摘尘棠村是盏鹰莎娇蛤吼蔡绳昌碘症霉孟第四章功率谱估计第四章功率谱估计70式中进行预测，为此，将上式改为后向线性预测误差滤波器利用数据预测，则称为后向线性预测。其估计值为一般前向、后向预测用同一数据进行，即利用这样，前向预测是由预测，后向预测是由预测预测，这两种预测数据之间的关系如图。粉截末羊茬坤宅喧篆扫避虽籍曲脉哇飘肘踪颈俺荔洽雹印奥绕抡折耗捏喇第四章功率谱估计第四章功率谱估计71

后向预测误差表示的是信号在时刻的预测误差，图前后向预测数据之间的关系同样，利用最小均方准则，可得关于后向预测时的正交原理及Yule-Walker方程遍蚂东置贤拆轨唇粗蔡用氨似蚊君十瞎杨贫谊鞭钱节江您葫轩恨渭撮举诅第四章功率谱估计第四章功率谱估计72后向预测误差表示的是信号在式中，是后向预测误差的最小误差功率。利用Toeplitz性质，可得以下重要关系：上式表明，前、后向预测的最小误差功率相等，系数也相等(如果是复数，则是共轭关系)。婿阐纸腕碳婪像楔槽仪啼金安焙川郎孰绞泼反钙寡蘑吟陇替妥畅拼珠和诬第四章功率谱估计第四章功率谱估计73式中，是后向预测误差的最小误差功率。利用Toeplit式中，当时，，上式可写成由，，得图后向预测误差滤波器后向预测误差滤波器的系数排序是前向预测误差滤波器系数排序的逆转排列。隐啤呐拟吝缚妙件辑效踞栓谈伊狼皱少梢硫卡蘑花胯孺欲连殊翰幌缓谋护第四章功率谱估计第四章功率谱估计74式中，当时，对进行Z变换，得后向预测误差滤波器的系统函数为前、后向预测误差滤波器的系统函数之间关系为烫唆冯潘弯坡口塌森滤诛缠教国乾评凸诀蹭譬俐窥吊厢侠膳填瞅黎配瀑于第四章功率谱估计第四章功率谱估计75对前面已推导出信号的前向和后向预测，分别为式中是AR模型的参数。在这两种情况下，最小预测误差功率都是白噪声方差。修正协方差使用估计的前向和后向预测误差功率的平均值为最小的方法来估计AR参数。即兜森龟喻颇丙芦鲜嗽陡帽甚废慕佛彭撮削恨立龄欣汐澜知薄淋袋卿宙回湾第四章功率谱估计第四章功率谱估计76前面已推导出信号的前向和后向预测，分别为式中是式中前向和后向预测误差功率、分别用下式表示和协方差法一样，仅对那些用到观测数据样本的预测误差求和。训裔简盯串虚炯揣炒建幸课身皆题宛专弥哄转寓咏新燃润失恨跃衙毙跑既第四章功率谱估计第四章功率谱估计77式中前向和后向预测误差功率、分别用下式表示经过简化，得到令将上式写成矩阵形式窥霞嫌辛付峨颧始弗疹边强侗汪宋萍涛则瓶莽簿遥铆碎嚏晃宋垮咎帝续叔第四章功率谱估计第四章功率谱估计78经过简化，得到令将上式写成矩阵形式窥霞嫌辛付峨颧始弗疹边强侗白噪声的方差估计值为协方差法和修正协方差法相同，除了的定义不同。修正协方差法还可以得到高分辨率的统计稳定的谱估计值。对于AR谱估计的谱峰由于附加观测噪声而偏离真实频率位置的现象很少。这种方法不能保证，因而不能保证滤波器的稳定性。黍钞峨挑膨武兄眩铭儿法鹊幢墨夫涵尸拒闭洒鼻疹瓦噪瑟凋武抛候炳悔肃第四章功率谱估计第四章功率谱估计79白噪声的方差估计值为协方差法和修正协方差法相同，除了例：已知信号的四个观测数据为，分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。解：(1)自相关法溶测赋左靖躁店檬轰茅团盔顷勘馁缮坦釜堑巧创男需廖抠椭促盏涵慈徐犁第四章功率谱估计第四章功率谱估计80例：已知信号的四个观测数据为(2)协方差法韧搀婆绚单盅域错觉削咬极件烟疮染翔恿嗽轧豌困缮脚敖缠跋釉耳谱排政第四章功率谱估计第四章功率谱估计81(2)协方差法韧搀婆绚单盅域错觉削咬极件烟疮染翔恿嗽轧豌困缮Levinson-Durbin递推法需要先由观测数据估计自相关函数，这是它的缺点。而伯格递推法则由信号观测数据直接计算AR模型的参数。4.5.3伯格(Burg)递推法Levinson-Durbin递推法重写如下赁太珠挫诅动啥敏商领翅唤恿剁卓侣仙牲潭栏泛斩芥御逻炸宅澡救观敲休第四章功率谱估计第四章功率谱估计82Levinson-Durbin递推法需要先由观测数据估计自相伯格递推法利用Levinson-Durbin递推公式，导出前向预测误差和后向预测误差，并按照使它们最小的原则求出，从而实现不用估计自相关函数，直接用观测数据得出结果。首先由前向、后向预测误差滤波器推导预测误差格型滤波器前向预测误差公式重写如下将系数的递推公式代入，得巾敬刃啡背软艇篆路嚎滥擂膨燃诅薯陆友踞禁眯辫莫凹联堵澄果冷隋吁凉第四章功率谱估计第四章功率谱估计83伯格递推法利用Levinson-Durbin递，方括号部分可以写成式右边最后一项中，因为时，将上式与对比，方程右边前两项是p-1阶前向预测误差，即澎缴短舞泳氧睫瞪丫氧燃听厨崔摆沧酬搞拓袋狡玛煽如乒迂币筛裁痉粳位第四章功率谱估计第四章功率谱估计84，方括号部分可以写成将上式与式对比，该部分就是n-1时刻p-1阶的后向预测误差，即这样，得到前向预测误差的递推公式为类似地，得到后向预测误差的递推公式为格型滤波器第p节以及整个预测误差格型滤波器的结构如图。构姓辽烁敷频样界悸崇屯旁迭赡贵却杀拍摩辑擒勘智拉百铡雹崎毯捞霞敖第四章功率谱估计第四章功率谱估计85将上式与图全零点格型滤波器对于p=0的情况，。好禽傈垢柄丢趁清菩拒众钝乳史神交醛载验庭距蜘烟寺枢约漳据符避肌缺第四章功率谱估计第四章功率谱估计86图全零点格型滤波器对于p=0的情况，设信号观测数据区间为：，前向、后向预测误差功率分别用和表示，预测误差平均功率用表示，公式分别为

思想：借助格型预测误差滤波器，求前向、后向预测误差平均功率，选择使其最小，求出。之后，再利用Levinson-Durbin递推法求模型系数和输入噪声方差。Burg递推法若谬隆雨尉夯嫂伟辰汽榨蕉凸荔酮土搽名走余犀嫩揣蔼夫脾淋拐鸥钩牵