「量子力学试题(2008年)含答案」

2０08２0０9郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业题号题号得分一二三总分光电子方向量子力学试题(A卷)（说明:考试时间1２0分钟,共6页,满分１00分）计分人: 复查人:一、填空题每题4分共４0 分）微观粒子具有波粒 二象性。德布罗意关系是粒子能量 E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为:E=, p=h/ 。３．根据波函数的统计解,(x,t)2dx的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。量子力学中力学量用厄米 算符表示。坐标的x分量算符和动量的x分量算符p 的对易关系:pi 。x(x）所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符F

的本征值 。得分得分评卷人i７. : (x,t)(x)e 定态波函数的形式为 。n８．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时且与哈密顿算符对易 。是_反对称＿ ＿ ＿_＿＿,玻色子体系的波函数_对称＿_ 。每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：。2（每题10分，共20分)1（1０分：[ˆ,ˆ]ˆx y z证明:

[ˆ,ˆ][ˆx y

,ˆy ˆ]z[yˆ

,zˆz

][zz

,zˆy

xˆ]z[ˆ

,z

][x

,z

][z

,y

][x

,xˆ]z[yˆ,zˆ][zˆ,xˆ]z x y z[ˆ

,z

][y,x

]ˆx [

,y

][z,z

]ˆy[ˆ,zˆ ][z,xˆ]ˆz x z yy[ˆ

,z

][x

,z]ˆz [z,

]ˆz

[z,x]ˆˆz yy(i)ˆx

x(i)ˆy得分评卷人i[xˆ yˆ得分评卷人ˆy xiLz2、(10分)由Sｃhröｄｉnger方程 2i (r,t)[ 2V(r)](r,t)t 2 证明几率守恒:

tJ0 其中几率密度(rt)(rt)(rt)(rt|2 i几率流密度J []2证明:考虑Scｈröｄinｇer方程及其共轭式： 2i t[22V

(1)2i 2

[ 2V]

(2)将(1)(2)式得：

t 2i

i

2 [22]t t 2（ i [ （ t 2在空间闭区域τ中将上式积分，则有:id（）d2

[]ddt 2d（）di

[]ddt 2d( r,t)d

Jddt tJ0三、计算题:(共40分)1、(1０分)设氢原子处于状态(r,,)1R (r)Y2 21 10

(,) R32 3

(r)Y

,)求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Ｚ分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。解:在此状态中,氢原子能量有确定值e2 e2E s s (n2，几率为１2角动量平方有确定值为

22

82得分得分评卷人2()222 ()，几率为1角动量Ｚ分量的可能值为L 0L Z1 Z2其相应的几率分别为1, 34 42、(10分）求角动量ｚ

L i d

的本征值和本征函数。解：

z d()i d ()l()z d z解得： ()

il z其中c是积分常数，亦可看成归一化系数。波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即:()()2l

eilz2

ilz

il(2)z于是

m0,1,2, l m m0,1,2,z求归一化系数

||20c2 0最后,得Lz

的本征函数

2c211212l mz

m0,1,2,2 ()2 m

eim3（２01 c 0 设ｃ<<1,应用微扰论求Ｈ本征值到二级近似。

Hc00

3 0 0 c2解：c<<１，可取0级和微扰Ｈamｉlton量分别为：1 0 0 0 c 0H 0 3 0 Hc 0 00 0 0 2 H是对角矩阵,是HaｍiltonH在自身表象中的形式。所以能量的０级近似为:０ ０Ｅ１（0) ＝1E2(0）=3E3(0)= 由非简并微扰公式

E(1)

H n

|H |2E(2) knnkn

E(0)n

E(0)k得能量一级修正：

E(1)

H0 1 11E(1)

H 0 2 22E(1)3

H c33能量二级修正为：E(2)

|Hk1

|H 21

|H 31

1c21 E(0)E(0)

E(0)E(0) E(0)E(0) 2kn 1

1 2 1 3E(2)

|H k2

|H 12

|H 32

1c22 E(0)E(0) E(0)E(0) E(0)E(0) 2kn 2 k 2 1 2 3E(2)

|H k3

|H