第九章计数原理概率随机变量及其分布

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[知识能否忆起]1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝

种不同方法．m＋n2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法．m×n1．(教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 (

)A．50个 B．45个C．36个

D．38个[小题能否全取]2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(

)A．6种 B．12种C．24种 D．30种

3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 (

)A．8种

B．9种C．10种

D．11种．4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________．5．(教材习题改编)5名毕业生报考三所中学任教，每人仅报一所学校，则不同的报名方法的种数是________．1.两个原理的联系与区别：两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类方法中的每一种方法都能独立完成这件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事．2．对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用，即先分类再分步或先分步再分类．分类加法计数原理[例1]

若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为 (

)A．27

B．36C．39 D．481如图所示，在A、

B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接

点脱落导致断路，则电路不通．今发现A、B之间电路

不通，则焊接点脱落的不同情况有 (

)A．9种

B．11种

C．13种

D．15种分步乘法计数原理[例2]

(1将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 (

)A．12种B．18种C．24种

D．36种(2)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 (

)A．240种 B．360种C．480种 D．720种2．用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为 (

)A．120 B．72C．48 D．36[例3]

现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (

)A．232

B．252C．472 D．484两个原理的综合应用3．一天有语文、数学、英语、政治、生物、体育六节课，体育不在第一节上，数学不在第六节上，这天课程表的不同排法种数为 (

)A．288 B．480C．504 D．696[典例]

方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(

)A．60条B．62条C．71条

D．80条某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (

)A．36种B．42种C．48种

D．54种1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 (

)A．10 B．11C．12 D．152．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (

)A．72 B．96C．108 D．1443.如图，用5种不同的颜色给图中A、B、

C、D四个区域涂色，规定每个区域只

涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求

有多少种不同的涂色方法？4．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．[知识能否忆起]

一、排列与排列数

1．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_________

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数2．排列数二、组合与组合数

1．组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号

表示．合成一组所有不同组合的个数三、排列数、组合数公式及性质n(n－1)…(n－m＋1)n！11[小题能否全取]1．(教材习题改编)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 (

)A．24种 B．60种C．90种

D．120种2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有 (

)A．63种

B．31种C．8种

D．7种3．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有 (

)A．180种

B．360种C．720种

D．960种4．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．5．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)[例1]由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 (

)A．210个 B．300个C．464个

D．600个排列问题本例所求的6位数中，有多少个偶数？求排列应用题的主要方法(1)对无限制条件的问题——直接法；(2)对有限制条件的问题，对于不同题型可采取直接法或间接法，具体如下：①每个元素都有附加条件——列表法或树图法；②有特殊元素或特殊位置——优先排列法；③有相邻元素(相邻排列)——捆绑法；④有不相邻元素(间隔排列)——插空法．1．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．[例2]

(1)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 (

)A．10种B．15种C．20种

D．30种组合问题(2)甲、乙、丙3个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出的不同值班表有 (

)A．90种

B．89种C．60种

D．59种2．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 (

)A．11种 B．20种C．21种 D．12种排列组合的综合应用[例3]

(1)三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有 (

)A．72个 B．120个C．240个

D．360个(2)现有4位教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有

(

)A．288种

B．144种C．72种

D．36种3．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为 (

)A．720 B．520C．600 D．3601．特殊元素、位置优先法[典例1]

1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有 (

)A．450种 B．460种C．480种

D．500种2．捆绑法、插空法[典例2]

有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是 (

)A．12

B．24C．36 D．483．正难则反排除法[典例3]

从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(

)A．36种

B．30种C．42种

D．60种1．有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙2人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为 (

)A．240 B．384C．480 D．7682.在一次射击比赛中，有8个泥制靶子排

成如图所示的三列(其中两列有3个靶

子，一列有2个靶子)，一位神枪手按

下面的规则打掉所有的靶子：首先他选择一列，然后

在被选中的一列中打掉最下面的一个没被打掉的靶

子．则打掉这8个靶子共有________种顺序．1．2012年某校获得校长实名推荐制的资格，该校高三奥赛班有5名同学获得甲、乙、丙三所高校的推荐资格，且每人限推荐一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学获得推荐，那么这5名同学不同的推荐方案共有 (

)A．144种

B．150种C．196种

D．256种教师备选题（给有能力的学生加餐）2.用6种不同的颜色给如图所示的4个格

子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最

多使用3种颜色且相邻的2个格子不同

色，不同的涂色方法共有________种．3．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．[知识能否忆起]一、二项式定理1．展开式(a＋b)n＝______________________________________所表示的定理叫做二项式定理．2．通项Tk＋1＝

为第

项．k＋1二、二项式系数1．定义式子

(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数．2．性质2n2n－1(4)二项式系数最值问题：①当n为偶数时，中间一项

的二项式系数最大；②当n为奇数时，中间两项

和

的二项式系数相等且最大．三、项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号，与二项式系数一般不同．[小题能否全取]A．－84

B．84C．168 D．－1682．(教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.则a0＋a2＋a4的值为 (

)A．9 B．8C．7 D．63．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝ (

)A．6 B．7C．8 D．9A．10

B．－10C．40 D．－40求展开式中的特定项(或系数)本例(2)中条件不变试求展开式中是否存在无理项？展开式中的中间项是多少？1．化简通项时注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第k项．2．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项是指通项中字母的指数为整数的项．1．(1)在(1＋ax)8的展开式中，x3项系数是x2项系数的2倍，则a的值为 (

)A．160 B．－160C．240 D．－240[例2]

若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5＝ (

)A．122

B．123C．243 D．244赋值法的应用2．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.项的系数最值问题3．若x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为 (

)A．第8项 B．第9项C．第8项和第9项

D．第11项A．－40

B．－20C．20 D．40在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是(

)A．－297

B．－252C．297 D．2071．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy＜0，则x的取值范围是(

)教师备选题（给有能力的学生加餐）(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[知识能否忆起]一、事件1．在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的必然事件．2．在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．3．在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的随机事件．一定会发生一定不会发生可能发生也可能不发生二、概率和频率

1．用概率度量随机事件发生的

能为我们决策提供关键性论据．

2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加

概率P(A)，因此可以用________来估计概率P(A)．可能性大小稳定于频率fn(A)三、事件的关系与运算文字表示符号表示包含关系如果事件A

，则事件B____

，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)____________相等关系若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等_______并事件(和事件)若某事件发生_______________

，则称此事件为事件A与事件B的_______(或和事件)____________发生一定B⊇A(或A⊆B)A＝BA∪B(或A＋B)当且仅当事件A发生或事件B发生并事件发生文字表示符号表示交事件(积事件)若某事件发生_________________

发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)___________互斥事件若A∩B为

事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为

事件，A∪B为

，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B(或AB)不可能不可能必然事件且事件B当且仅当事件A发生四、概率的几个基本性质1．概率的取值范围：

.2．必然事件的概率P(E)＝

.3．不可能事件的概率P(F)＝

.4．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

．5．对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝

，P(A)＝

．0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)11－P(B)[小题能否全取]1．(教材习题改编)掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是 (

)2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 (

)A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球4．(教材习题改编)2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27，那么中国选手不输的概率为________．5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．2．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．[例1]

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：随机事件的频率与概率(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．1．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指 (

)A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖B．这人个每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001D．以上说法都不正确互斥事件的概率

[例2]

等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．应用互斥事件的概率加法公式的关键是判断事件是互斥事件．对立事件的概率[例3]一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．3．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比/%2829835

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[典例]抛掷一枚骰子，事件A表示“朝上一面的点数是奇数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过2”．求：(1)P(A)；(2)P(B)；(3)P(A∪B)．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为 (

)A．0.95

B．0.7C．0.35 D．0.051．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是(

)A．A与B为互斥事件

B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件

D．A与C为互斥事件教师备选题（给有能力的学生加餐）2．从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 (

)3．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为(

)[知识能否忆起]一、基本事件的特点

1．任何两个基本事件是

的．

2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成_______

．互斥基本事件的和二、古典概型的两个特点

1．试验中所有可能出现的基本事件只有

个，即

．

2．每个基本事件出现的可能性

，即

．

[提示]确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．

三、古典概型的概率公式

P(A)＝

.有限有限性相等等可能性[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 (

)2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是 (

)3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是 (

)4．将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．5．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．1.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．[例1]

袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(

)简单的古典模型在本例条件下，求两球不同色的概率．计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是

(

)复杂的古典概型

[例2]

如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

(2)求这3点与原点O共面的概率．2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 (

)古典概型在高考中单独命题时常为选择题、填空题，与其他知识结合时常出现在解答题中．考查的主要内容是通过题意判断所给事件为古典概型；将基本事件准确列出，由古典概型概率公式求得结果．以考查理解问题、分析问题、解决问题的能力和应用分类讨论思想、化归思想的能力为主．“大题规范解答——得全分”系列之(十一)求古典概型概率的答题模板[典例]袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为 (

)教师备选题（给有能力的学生加餐）2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．3．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

(

或

)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为

．长度面积体积几何概型2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为 (

)2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(

)3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 (

)4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．[例1]

已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．1．(1)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在

BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为___．[例2]

(1)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 (

)2．如图，已知函数y＝sin

x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是(

)[例3]

(1)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 (

)(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为 (

)[典例]某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人．(1)求n的值；(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，B＝{(x，y)∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率是________．教师备选题（给有能力的学生加餐）1.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q

取自△ABE内部的概率等于 (

)2．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．[知识能否忆起]一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、ξ、η…表示．所有取值可以

的随机变量称为离散型随机变量．一一列出

二、离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.则表Xx1x2…xi…xnP______…___…___称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也用等式_________________

表示X的分布列．p1p2pipnP(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n三、离散型随机变量分布列的性质1．

≥0，i＝1,2，…，n；1pi四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布像这样的分布列叫做两点分布列.X01P______如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从

分布，而称p＝

为成功概率．1－pp两点P(X＝1)2．超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

即X01…mP_________________…________其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是 (

)A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤54．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.5．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：X012Pabc则a＝________，b＝________，c＝________.1.在试验之前不能断言随机变量取什么值，即其具有随机性，但可确定其所有可能的取值．2．随机变量的分布列指出了随机变量X所有可能的取值以及取这些值的概率，注意根据分布列的两条性质来检验求得的分布列的正确性．[例1]

(2012·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：离散型随机变量分布列的性质X－101P1－2qq2则q等于 (

)要充分注意到分布列的两条重要性质：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性．1．已知离散型随机变量X的分布列为：则k的值为 (

)分布列的求法

[例2]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．2．某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：20155参加人数321培训次数(1)从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；(2)从40人中任选2名学生，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．超几何分布[例3]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．在本例条件下，记取出的3个球中白球的个数为Y，求Y的分布列．3．某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)．应聘者获知：男性身高在区间[174,182]，女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X为抽取到的男生人数，求X的分布列及期望E(X)．[典例]某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制．若设“社区服务”得分为X分，“居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球次数X的分布列．1．如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．教师备选题（给有能力的学生加餐）(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．2．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10,15)50.25[15,20)12n[20,25)mp[25,30)10.05合计M1(1)求出表中M、p及图中a的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在区间[25,30)内的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在区间[20,25)内的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在区间[15,20)内的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在区间[10,15)内的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此2人所获得学习用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E(X)．3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可判断2个选项是错误的，有1道题可以判断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数X的分布列．[知识能否忆起]一、条件概率及其性质

1．条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．2．条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝ .3．条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝

．P(B|A)＋P(C|A)二、事件的相互独立性

1．设A，B为两个事件，若P(AB)＝

．则称事件A与事件B相互独立．

2．如果事件A与B相互独立，那么

与

，

与

，

与

也都相互独立．三、二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝_______

，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作

，并称

为成功概率．P(A)P(B)ABX～B(n，p)p)n－kp[小题能否全取]2．(教材习题改编)某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 (

)3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(

)4．一个箱子里装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的条件下，该颜色是白色的概率为________．5．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出2个红球的概率为________．2．“相互独立”与“事件互斥”的区别：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．条件概率[例1]如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.条件概率的求法可用如下两种方法：1．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 (

)A．0.665

B．0.56C．0.24 D．0.285相互独立事件的概率独立重复试验与二项分布[例3]某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)，单位：元)．(1)估计居民月收入在[1500,2000)上的概率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月收入在[2500,3500)上的居民数X的分布列．

1．判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复，相互独立进行．(2)试验结果要么发生，要么不发生．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列．1．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．教师备选题（给有能力的学生加餐）(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．2．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏；(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．3．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．[知识能否忆起]一、均值1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝

为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝

.3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝

；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝

.二、方差1．设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnaE(X)＋bnpp则

描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝

为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的

．称D(X)为随机变量X的方差，并称其

为随机变量X的标准差．2．D(aX＋b)＝

．3．若X服从两点分布，则D(X)＝

．4．若X～B(n，p)，则D(X)＝

．(xi－E(X))2平均偏离程度a2D(X)p(1－p)np(1－p)1．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴

，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线

对称；(4)曲线与x轴之间的面积为

；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；上方x＝μx＝μ

1(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越

，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越

，表示总体的分布越

．“瘦高”“矮胖”分散2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝

；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝

；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝

.0.68260.95440.9974[小题能否全取]1．(教材习题改编)设随机变量X～B(n，p)且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28则 (

)A．n＝8

p＝0.2

B．n＝4

p＝0.4C．n＝5

p＝0.32 D．n＝7

p＝0.45

2．(教材习题改编)已知X的分布列为：A．0 B．1C．2 D．33．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝ (

)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977

4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.5．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________.1.均值与方差：(1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散．2．由正态分布计算实际问题中的概率百分比时，关键是把正态分布的两个重要参数μ、σ求出，然后确定三个区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]与