高考数学二轮复习知识点总结概率

概率【高考考情解读】1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分.3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力．1．概率的五个基本性质(1)随机事件A的概率：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．2．两种常见的概型(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②概率公式：P(A)＝eq\f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数).(2)几何概型①特点：无限性，等可能性．②概率公式：P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).考点一古典概型例1(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括的事件有3个，故P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．则P(N)＝eq\f(3,10).求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).(1)(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案B解析利用古典概型求解．设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选B.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ()A.eq\f(11,36) B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6) D.eq\f(4,9)答案D解析根据题目条件知所有的数组(a，b)共有62＝36组，而满足条件|a－b|≤1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).故选D.(3)盒中有6个小球，其中3个白球，记为a1，a2，a3,2个红球，记为b1，b2,1个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别．①求从盒中取一球是红球的概率；②从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率．解①所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共计6种．记“从盒中取一球是红球”为事件A，事件A包含的基本事件为：b1，b2，∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).∴从盒中取一球是红球的概率为eq\f(1,3).②记“两次取球得分之和为5分”为事件B，总事件包含的基本事件为：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，a3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(c1，a1)，(c1，a2)，(c1，a3)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，共计36种．而事件B包含的基本事件为：(b1，c1)，(b2，c1)，(c1，b1)，(c1，b2)，共计4种．∴P(B)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).∴“两次取球得分之和为5分”的概率为eq\f(1,9).考点二几何概型例2(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,0≤y≤4,|x－y|≤2))，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)(2)(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)答案(1)D(2)A解析(1)因为f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，故函数f(x)在[－1,1]上单调递增，故函数f(x)在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋1≥0，,a－b＋1≥0.))设点(a，b)，则基本事件所在的区域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤2，,0≤b≤2，))画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是eq\f(7,8).故选D.(2)方法一解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解．设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).方法二连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积．设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝eq\f(S阴影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).考点三互斥事件与对立事件例3某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为eq\f(1,2)，通晓中文和日语的概率为eq\f(3,10).若通晓中文和韩语的人数不超过3人．(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．解(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y＋z)＝\f(1,2)，,\f(y,x＋y＋z)＝\f(3,10)，,0<z≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3，,z＝2，))所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.(2)设通晓中文和英语的人为A1，A2，A3，A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2，乙为B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A1，B1)1种．所以甲和乙不全被选中的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))5，共1种；数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6种；数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种；数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝eq\f(7,15)；因为去唱歌的概率为P2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).1．互斥事件与对立事件的关系(1)对立一定互斥，互斥未必对立；(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)来求P(A)．2．古典概型与几何概型古典概型特点①有限性②等可能性计算公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件个数m,总的基本事件个数n)几何概型特点①无限性②等可能性计算公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)

1．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 ()A.eq\f(1,180) B.eq\f(1,288) C.eq\f(1,360) D.eq\f(1,480)答案C解析因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为eq\f(4,1440)＝eq\f(1,360).2．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．答案eq\f(1,2)解析从四个不同的数中选三个的情况有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2,3,4)和(2,4,6)，共两种．故所求概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；从中学中抽取的学校数目为6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；从大学中抽取的学校数目为6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以，所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故选B.2．(2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)答案D解析由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝eq\f(9,10).3．(2012·北京)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)答案D解析根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是eq\f(4－π,4)，故选D.4．第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学生志愿者，从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，则至少有一名A大学志愿者的概率是 ()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(14,15)答案C解析若这2名学生来自两所大学，则P1＝eq\f(2×4,15)＝eq\f(8,15)；若这2名大学生来自A大学，则P2＝eq\f(1,15).故至少有一名A大学志愿者的概率是eq\f(8,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为 ()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,25) D.eq\f(4,25)答案D解析有放回地摸球，基本事件总数为25；两次都是白球所包含的基本事件为4.所以两次摸出的球都是白球的概率为eq\f(4,25).6．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根的概率为 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)答案B解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).二、填空题7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧eq\x\to(AB)的长度小于1的概率为________．答案eq\f(2,3)解析如图，设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取在优弧eq\x\to(MAN)上时，对劣弧eq\x\to(AB)来说，其长度小于1，故其概率为eq\f(2,3).8．(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．答案eq\f(20,63)解析P＝eq\f(4×5,7×9)＝eq\f(20,63).9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则eq\f(x,y)为整数的概率是________．答案eq\f(1,2)解析将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本事件，其中eq\f(x,y)为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).10．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)＝________.答案eq\f(1,4)解析作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为eq\f(1,2)×10×10＝50，区域A(阴影部分)的面积为eq\f(1,2)×5×5＝eq\f(25,2).故该点落在区域A的概率P(A)＝eq\f(\f(25,2),50)＝eq\f(1,4).三、解答题11．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解从图中可以看出，3个球队共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A.所以P(A)＝eq\f(3＋5＋4,20)＝eq\f(3,5).故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为eq\f(3,5).(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B.则P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为eq\f(9,10).12．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中