高等数学-概率22随机变量的分布课件

第二章随机变量第二节随机变量的分布第二章随机变量1

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

为了描述随机变量

X

，我们不仅需要知道随机变量X取哪些值，而且还应知道X取每个值的概率.一、离散型随机变量的分布设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,2

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1

且这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取33

定义1：设xk(k=1,2,…,n,…)是离散型随机变量X的所有可能取值，称

k=1,2,…,n,…

为离散型随机变量X的概率分布或概率函数.或可写为1、离散型随机变量的概率分布

称为离散型随机变量X的分布列定义1：设xk(k=1,2,…,n,…)是离散4

k=1,2,…

（1）（2）用这两条性质判断一个二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性质

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断2、概率分53、举例

例1.一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量来描述废品出现的情况，即写出的分布。

3、举例例1.一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行6常见的离散型随机变量的概率分布之一(I)两点分布

设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={1,2}表示其样本空间.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2两点分布或0－1分布常见的离散型随机变量的概率分布之一(I)两点分布设E是7例2.

产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60％、10％、20％、10％，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果并画出其概率函数图。

例2.产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和8例3.用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况。

例3.用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况。9例4.社会上定期发行一种奖券，每券1元，中奖率为。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖，下次再继续购买1张，直到中奖为止。求该人购买次数的分布。

例4.社会上定期发行一种奖券，每券1元，中奖率为。某人每10例5.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需用1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布。

例5.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，11小结：求分布列问题

（1）先求随机变量的所有可能取值；（2）再求取每个值的概率。小结：求分布列问题（1）先求随机变量的所有可能取值；（2）12思考.将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次抛掷得到的小的点数。试求，的分布列。

思考.将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以13二、随机变量的分布函数

概率函数可以完全地描述一个离散型随机变量，但连续型随机变量是无法用分布列来描述的。因为：

（1）连续型随机变量X的所有可能取值充满一个区间,不可列；

（2）X取某一个具体的值的概率为零，意义不大。二、随机变量的分布函数概率函数可以完全地描述一个离散14例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，一位乘客对该汽车的通车时间一无所知，则该乘客的候车时间是一个连续型随机变量X。（1）X的取值充满区间[0,5].（2）P{X=2.859}=0，无太大意义.（3）考虑P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，一位乘客对该汽车15对于连续型随机变量X：P{x1<X≤x2}对于离散型随机变量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。无论离散型r.v.还是连续型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率来统一描述，这就是随机变量的分布函数对于连续型随机变量X：对于离散型随机变量X：161、分布函数定义

2、分布函数的性质

设X()是一个随机变量（离散型或连续型），称函数

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

为随机变量X的分布函数.（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）单调性：F(x)是x的单调不减函数，即若x1<x2，则F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函数定义2、分布函数的性质17（4）右连续性：F(x＋0)＝F(x)，x为任意实数；（5）利用分布函数计算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列个间断点，并且在间断点处也右连续P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右连续性：（5）利用分布函数计算概率：183、离散型随机变量的分布函数例1、求0－1分布的分布函数，并画出图形。

已知概率函数3、离散型随机变量的分布函数例1、求0－1分布的分布函数，并19例2、求掷一枚骰子所得的点数的分布函数，并画出图形。

例2、求掷一枚骰子所得的点数的分布函数，并画出图形20例3、求已知离散型随机变量的分布函数如下，求的概率函数。例3、求已知离散型随机变量的分布函数如下，求21离散型r.v.的分布函数与概率函数的关系（1）从概率函数求分布函数离散型r.v.的分布函数与概率函数的关系（1）从概率函数求分22离散型随机变量X的分布函数图是阶梯曲线，在一切有正概率的点xk

都有一个跳跃，跃度为P{X=xk

}对F(x)任何连续点x，P{X＝x

}＝0。这一点对连续型随机变量也是成立的。离散型随机变量X的分布函数图是阶梯曲线，在一切有正概率的点x23（2）从分布函数求概率函数=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……离散型r.v.X在其分布函数F(x)的所有跳跃间断点处取值，而其概率则是跳跃的幅度。（2）从分布函数求概率函数=P{X=xk}pk=F(xk24三、连续型随机变量的分布

虽然分布函数可以统一地描述离散型和连续型两类随机变量的概率规律，但是就离散型随机变量而言，用概率函数描述更为直观和方便。那么，对连续型随机变量，能不能也找到一种更加方便和直观的描述方式呢？这就是连续型随机变量的概率密度。三、连续型随机变量的分布虽然分布函数可以统一地描述离散型和25高尔顿钉板试验高26下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的密度曲线

可见，概率P{a<X≤b

}就是区间[a,b]上，红色曲线f(x)之下的曲边梯形的面积。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是271、定义

如果存在一非负实函数f(x)，，使随机变量X的分布函数F(x)可以表示成则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率分布密度函数，简称概率密度。记作X～f(x)1、定义如果存在一非负实函数f(x)，282、概率密度函数的性质（1）f(x)≥0；（2）；（3）区间概率P{a<X≤b}

这两条性质是判断一个函数f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要条件。（4）在f(x)的连续点x处，有（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

对，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函数的性质（1）f(x)≥0；（2）29

要注意的是，密度函数

f(x)在某点a处的高度，并不反映X取值a的概率。但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。这就很直观的描述了连续型随机变量的概率规律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函数f(x)在某点a处的高度，并不30例1、在区间[4,10]上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与原点的距离，则是一个随机变量。如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求的分布函数和概率密度。3、举例例1、在区间[4,10]上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与31常见的连续型随机变量的概率分布之一均匀分布如果随机变量的概率密度为则称服从区间[a,b]上的均匀分布，记作～U[a,b]。常见的连续型随机变量的概率分布之一均匀分布如果随机变量32例2、设连续型随机变量的分布函数为F(x)=A+Barctanx，（1）确定常数A，B；（2）求的概率密度函数f(x)；（3）求。例2、设连续型随机变量的分布函数为33例3、设连续型随机变量的概率密度为，求：（1）常数A；（2）的分布函数F(x)；（3）落入区间的概率。例3、设连续型随机变量的概率密度为34例4、设连续型随机变量的概率密度为

且，求常数a，b。例4、设连续型随机变量的概率密度为35复习与总结(1)F(x)=P{X≤x}求概率:

P{a<X≤b}=F(b)-F(a)；(2)离散型r.v.X，常用分布列描述

F(x)与分布列的关系（略）求概率:

P{a<X≤b}复习与总结(1)F(x)=P{X≤x}求概率:36(3)连续型r.v.X，常用概率密度f(x)描述

F(x)和f(x)的关系：求概率:

P{a<X≤b}(3)连续型r.v.X，常用概率密度f(x)描述37

第二章随机变量第二节随机变量的分布第二章随机变量38

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

为了描述随机变量

X

，我们不仅需要知道随机变量X取哪些值，而且还应知道X取每个值的概率.一、离散型随机变量的分布设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,39

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1

且这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取340

定义1：设xk(k=1,2,…,n,…)是离散型随机变量X的所有可能取值，称

k=1,2,…,n,…

为离散型随机变量X的概率分布或概率函数.或可写为1、离散型随机变量的概率分布

称为离散型随机变量X的分布列定义1：设xk(k=1,2,…,n,…)是离散41

k=1,2,…

（1）（2）用这两条性质判断一个二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性质

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断2、概率分423、举例

例1.一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量来描述废品出现的情况，即写出的分布。

3、举例例1.一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行43常见的离散型随机变量的概率分布之一(I)两点分布

设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={1,2}表示其样本空间.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2两点分布或0－1分布常见的离散型随机变量的概率分布之一(I)两点分布设E是44例2.

产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60％、10％、20％、10％，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果并画出其概率函数图。

例2.产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和45例3.用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况。

例3.用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况。46例4.社会上定期发行一种奖券，每券1元，中奖率为。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖，下次再继续购买1张，直到中奖为止。求该人购买次数的分布。

例4.社会上定期发行一种奖券，每券1元，中奖率为。某人每47例5.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需用1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的分布。

例5.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，48小结：求分布列问题

（1）先求随机变量的所有可能取值；（2）再求取每个值的概率。小结：求分布列问题（1）先求随机变量的所有可能取值；（2）49思考.将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次抛掷得到的小的点数。试求，的分布列。

思考.将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以50二、随机变量的分布函数

概率函数可以完全地描述一个离散型随机变量，但连续型随机变量是无法用分布列来描述的。因为：

（1）连续型随机变量X的所有可能取值充满一个区间,不可列；

（2）X取某一个具体的值的概率为零，意义不大。二、随机变量的分布函数概率函数可以完全地描述一个离散51例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，一位乘客对该汽车的通车时间一无所知，则该乘客的候车时间是一个连续型随机变量X。（1）X的取值充满区间[0,5].（2）P{X=2.859}=0，无太大意义.（3）考虑P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，一位乘客对该汽车52对于连续型随机变量X：P{x1<X≤x2}对于离散型随机变量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。无论离散型r.v.还是连续型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率来统一描述，这就是随机变量的分布函数对于连续型随机变量X：对于离散型随机变量X：531、分布函数定义

2、分布函数的性质

设X()是一个随机变量（离散型或连续型），称函数

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

为随机变量X的分布函数.（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）单调性：F(x)是x的单调不减函数，即若x1<x2，则F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函数定义2、分布函数的性质54（4）右连续性：F(x＋0)＝F(x)，x为任意实数；（5）利用分布函数计算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列个间断点，并且在间断点处也右连续P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右连续性：（5）利用分布函数计算概率：553、离散型随机变量的分布函数例1、求0－1分布的分布函数，并画出图形。

已知概率函数3、离散型随机变量的分布函数例1、求0－1分布的分布函数，并56例2、求掷一枚骰子所得的点数的分布函数，并画出图形。

例2、求掷一枚骰子所得的点数的分布函数，并画出图形57例3、求已知离散型随机变量的分布函数如下，求的概率函数。例3、求已知离散型随机变量的分布函数如下，求58离散型r.v.的分布函数与概率函数的关系（1）从概率函数求分布函数离散型r.v.的分布函数与概率函数的关系（1）从概率函数求分59离散型随机变量X的分布函数图是阶梯曲线，在一切有正概率的点xk

都有一个跳跃，跃度为P{X=xk

}对F(x)任何连续点x，P{X＝x

}＝0。这一点对连续型随机变量也是成立的。离散型随机变量X的分布函数图是阶梯曲线，在一切有正概率的点x60（2）从分布函数求概率函数=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……离散型r.v.X在其分布函数F(x)的所有跳跃间断点处取值，而其概率则是跳跃的幅度。（2）从分布函数求概率函数=P{X=xk}pk=F(xk61三、连续型随机变量的分布

虽然分布函数可以统一地描述离散型和连续型两类随机变量的概率规律，但是就离散型随机变量而言，用概率函数描述更为直观和方便。那么，对连续型随机变量，能不能也找到一种更加方便和直观的描述方式呢？这就是连续型随机变量的概率密度。三、连续型随机变量的分布虽然分布函数可以统一地描述离散型和62高尔顿钉板试验高63下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的密度曲线

可见，概率P{a<X≤b

}就是区间[a,b]上，红色曲线f(x)之下的曲边梯形的面积。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是641、定义

如果存在一非负实函数f(x)，，使随机变量X的分布函数F(x)可以表示成则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率分布密度函数，简称概率密度。记作X～f(x)1、定义如果存在一非负实函数f(x)，652、概率密度函数的性质（1）f(x)≥0；（2）；（3）区间概率P{a<X≤b}

这两条性质是判断一个函数f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要条件。（4）在f(x)的连续点x处，有（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

对，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函数的性质（1）f(x)≥0；（2）66

要注意的是，密度函数

f(x)在某点a处的高度，并不反映X取值a的概率。但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。这就很直观的描述了连续型随机变量的概率规律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函数f(x)在某点a处的高度，并不67例1、在区间[4,10]上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与原点的距离，则